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建模 II · 经典模型谱（全站毕业典礼）

四个传世模型，每个都是"简单假设 → 深刻结论"的典范，也各自调用全站三四页的工具。读法建议：先自己按建模循环推一遍假设，再看模型——经典模型的价值不在结论而在示范"如何用最少的假设抓住机制"。

1. 人口模型：从 Malthus 到 Logistic

Malthus（1798）：增长率正比于人口 \(N' = rN \Rightarrow N = N_0 e^{rt}\)——短期准、长期爆（资源无限的假设破产）。修假设（建模循环第 6 步的示范）：增长率随拥挤衰减 \(r(1 - N/K)\)：

\[ N' = rN\Big(1 - \frac{N}{K}\Big) \quad\Rightarrow\quad N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}\ \text{（S 形曲线）} \]

定性分析不解方程已知全局（ode-01 相线：\(N = K\) 稳定平衡）；无量纲化后无参数（model-01 例 3）。S 曲线的普适性：技术扩散、市场渗透、菌落生长——"先指数后饱和"是资源受限增长的通用形状（产品渗透率预测的第一模型）。

2. SIR 传染病模型（本页主菜）

假设：人群分三仓 \(S\)（易感）\(I\)（感染）\(R\)（移出），总数不变；感染速率 \(\propto S \times I\)（充分混合），康复速率 \(\propto I\)：

\[ S' = -\beta SI, \qquad I' = \beta SI - \gamma I, \qquad R' = \gamma I \]

不解方程读出全部大局（ODE 定性分析的展销会）：

爆发判据：\(I' = I(\beta S - \gamma) > 0 \iff S > \gamma/\beta\)。定义基本再生数

\[ R_0 = \frac{\beta S_0}{\gamma} \quad (\text{一个感染者在全易感人群中平均传染的人数}) \]

\(R_0 > 1\) 爆发、\(< 1\) 自灭——疫情防控的中心参数（口罩降 \(\beta\)、隔离降接触、疫苗降 \(S_0\)，一切手段都是在把 \(R_0\) 压到 1 以下；2020 年全世界补习的这个符号，出自这三行 ODE）；

群体免疫阈值：使 \(R_0^{\text{eff}} < 1\) 需免疫比例 \(> 1 - \frac{1}{R_0}\)（\(R_0 = 3 \Rightarrow\) 67%）——一行代数，公共卫生政策的地基；
疫情不会感染所有人：\(S\) 降到 \(\gamma/\beta\) 后疫情转衰，最终规模由超越方程定（首次积分 \(\frac{dI}{dS} = -1 + \frac{\gamma}{\beta S}\) 给守恒量——ode-03 的手法）。

模型的谱系繁殖：加仓室（SEIR 潜伏期）、加网络（放弃充分混合——图上的传染）、加随机（小人群用 Markov 链，随机过程 II）——"从骨架模型逐层加真"的教科书路径。信息传播/爆款扩散同构套用（"病毒式传播"是数学同构不是修辞）。

3. Lotka–Volterra 捕食者-猎物

\[ x' = x(a - by), \qquad y' = y(-c + dx) \qquad (x \text{ 兔}, y \text{ 狐}) \]

结论（ode-03 已证）：闭轨道永恒振荡，且轨道平均恰为平衡点 \((\bar x, \bar y) = (c/d,\ a/b)\)。Volterra 原理（历史出发点：一战后亚得里亚海鲨鱼比例为何上升）：无差别捕捞（\(a \downarrow, c \uparrow\)）反而提高捕食者平衡占比的猎物端——直觉难及、模型一眼：干预生态系统的后果常反直觉，先算再动手。农药悖论（喷药后害虫反弹更凶）同款机理。

4. 排队模型 M/M/1（随机过程的实战合成）

假设：顾客 Poisson 到达（率 \(\lambda\)，随机过程 I）、服务时间指数（率 \(\mu\)）、单服务台——队长是生灭 Markov 链（随机过程 II/III）。记 \(\rho = \lambda/\mu\)（利用率），\(\rho < 1\) 时平稳分布为几何分布 \(\pi_n = (1-\rho)\rho^n\)，立得：

\[ \text{平均队长 } L = \frac{\rho}{1 - \rho}, \qquad \text{平均逗留时间 } W = \frac{L}{\lambda} = \frac{1}{\mu - \lambda}\ \text{（Little 公式）} \]

读曲线（运营直觉的数学来源）：\(L(\rho)\) 在 \(\rho \to 1\) 时发散——利用率 80% 时队长 4，95% 时 19：追求满负荷 = 制造无限排队，服务系统必须留余量（医院床位、客服坐席、服务器水位线的共同铁律；你 Medusa 的任务调度同理）。Little 公式 \(L = \lambda W\) 更是普适守恒律（对几乎任何稳态排队系统成立）——库存周转、在制品管理的万能刻度尺。

5. 收官：全站地图的用法

四个模型的工具账单：Logistic（ode + 相线）、SIR（ODE 定性 + 守恒量 + 一行代数改变政策）、L–V（ode-03 + 首次积分）、M/M/1（Poisson + Markov 平稳分布）——建模是全站知识的"组装车间"。此外的现代谱系各有出口：优化建模（生产/调度/组合——优化线四页）、统计与数据建模（回归/时序——统计线）、模拟建模（Monte Carlo——概率 V/数值 IV）、以及机理与机器学习的混血（灰箱——两门 AI 姊妹课程的世界）。

本站至此全部建成。十七门课、一张互相引用的网——复习时任何一页都是入口，顺着 🔗 走，四年的数学是一个整体。

典型例题

例 1（SIR 政策算术） 某病 \(R_0 = 2.5\)，疫苗有效率 90%，需接种比例？\(p \cdot 0.9 \geq 1 - \frac{1}{2.5} = 0.6 \Rightarrow p \geq 67\%\)。（有效率折扣别忘——建模循环"解释"步的细节。）

例 2（M/M/1 容量决策） 客服 \(\lambda = 8\)/时，\(\mu = 10\)/时：\(\rho = 0.8,\ W = \frac{1}{10-8} = 0.5\) 时（30 分钟！）。若要 \(W \leq 10\) 分钟需 \(\mu \geq 14\)——服务能力要按等待目标反解，不按"够用"正推。

例 3（Logistic 拟合预警） 用前期数据拟合 S 曲线预测市场饱和量 \(K\)：拐点（\(N = K/2\)）之前的数据对 \(K\) 极不敏感（灵敏度分析！）——早期外推 \(K\) 的置信区间宽到没用（统计 III 的区间 + model-01 的验证步合演）。知道模型何时"还不能说话"，与会解模型同样重要。\(\blacksquare\)