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解几 I · 向量代数与平面直线

解析几何是"用代数算几何"的第一门课，实用核心两块：三种向量乘积（每种对应一类几何量）与平面/直线的方程与位置关系。它同时是高代的几何素材库与多元微积分的舞台布景——复习定位是把"公式—几何含义"的对照表擦亮。

1. 三种乘积：一表定乾坤

乘积	定义	结果	几何含义	检验什么
内积 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)	\(\lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\cos\theta\)	数	投影、夹角	垂直（\(= 0\)）
外积 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\)	模 \(\lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta\)，右手定向	向量	平行四边形面积 + 公垂方向	平行（\(= \mathbf 0\)）
混合积 \((\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c) = (\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c\)	\(3\times3\) 行列式	数	平行六面体体积（带定向）	共面（\(= 0\)）

坐标算法：内积=对应分量乘加；外积=形式行列式 \(\begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}\)；混合积=三行行列式（行列式的几何意义=体积——高代 II 那句话的出生地）。

反交换 \(\mathbf a\times\mathbf b = -\mathbf b\times\mathbf a\)、不满足结合律；双重外积公式 \(\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c) = \mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c) - \mathbf c(\mathbf a\cdot\mathbf b)\)（"BAC-CAB"）。

2. 平面与直线：方程的四副面孔

平面（本质数据：一点 + 法向量 \(\mathbf n = (A,B,C)\)）：

\[ \text{点法式 } A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{一般式 } Ax + By + Cz + D = 0 \]

读方程先读法向量——平面题的第一反射。三点定平面：两条边向量的外积给 \(\mathbf n\)。

直线（本质数据：一点 + 方向向量 \(\mathbf s = (m, n, p)\)）：

\[ \text{点向式 } \frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}, \qquad \text{参数式 } \mathbf r = \mathbf r_0 + t\mathbf s \]

一般式（两平面之交）化点向式：\(\mathbf s = \mathbf n_1 \times \mathbf n_2\)。

距离公式全家（结构统一：投影长）：

点到平面：\(d = \dfrac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)（差向量在 \(\mathbf n\) 上的投影）；
点到直线：\(d = \dfrac{|\overrightarrow{PM}\times\mathbf s|}{|\mathbf s|}\)（平行四边形面积÷底）；
异面直线距离：\(d = \dfrac{|(\overrightarrow{M_1M_2},\ \mathbf s_1,\ \mathbf s_2)|}{|\mathbf s_1\times\mathbf s_2|}\)（体积÷底面积——混合积的招牌应用）。

位置关系与夹角：线线/线面/面面的平行垂直全部翻译成 \(\mathbf s, \mathbf n\) 的平行垂直（乘积表检验）；夹角用内积算余弦（线面角与法向量算的是余角——常错点）。

3. 典型例题

例 1（外积定平面） 过 \(A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3)\) 的平面：\(\mathbf n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (6, 3, 2)\) ⇒ \(6x + 3y + 2z = 6\)（也可直接写截距式 \(\frac x1 + \frac y2 + \frac z3 = 1\) 对账）。

例 2（异面距离全流程） \(l_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}\)（\(x\) 轴），\(l_2\) 过 \((0,1,0)\) 方向 \((0,0,1)\)：\(\mathbf s_1\times\mathbf s_2 = (0,-1,0)\)，\(\overrightarrow{M_1M_2} = (0,1,0)\)，混合积 \(= -1\) ⇒ \(d = 1\)。

例 3（投影点） 求 \(P(2,1,3)\) 在平面 \(x + y + z = 3\) 上的投影：过 \(P\) 沿 \(\mathbf n = (1,1,1)\) 的参数线 \((2+t, 1+t, 3+t)\) 代入平面解 \(t = -1\) ⇒ 投影 \((1, 0, 2)\)。（"沿法向走到平面"——最小二乘投影的三维具象，高代 VI/泛函 II 的远亲。）\(\blacksquare\)

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