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微分几何 I · 曲线论

微分几何 = 用微积分研究弯曲的对象。第一站是空间曲线：一条曲线的全部几何由两个函数决定——曲率（弯多快）与挠率（扭多快）。这个"完全分类"由 Frenet 标架实现：给曲线随身携带一个正交坐标系，微积分与线性代数在此合演。

1. 参数曲线与弧长

正则曲线 \(\mathbf{r}(t): I \to \mathbb{R}^3\)，\(\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf 0\)（速度不歇——保证处处有切方向）。弧长

\[ s(t) = \int_{t_0}^{t}|\mathbf{r}'(u)|\,du \]

（数分 III 弧长公式的空间版。）弧长参数化（\(|\mathbf{r}'(s)| \equiv 1\)，匀速单位速）是理论的标准挡位：一切公式在它之下最干净；实算时用一般参数的换算公式（§3 表）。

2. Frenet 标架：曲线的随身坐标系

密切圆半径等于曲率倒数 — 图 1.1曲率 \(\kappa\) 的几何：密切圆是与曲线二阶相切的圆，半径 \(R=1/\kappa\)——曲线拐得越急、密切圆越小。

弧长参数下（记 \(' = \frac{d}{ds}\)）：

单位切向量 \(\mathbf{T} = \mathbf{r}'\)；
曲率 \(\kappa(s) = |\mathbf{T}'|\)——切方向的转速，"弯的程度"；\(\kappa \equiv 0 \iff\) 直线；
主法向量 \(\mathbf{N} = \mathbf{T}'/\kappa\)（指向弯曲的凹侧）；
副法向量 \(\mathbf{B} = \mathbf{T}\times\mathbf{N}\)（右手系补全；\(\mathbf{T,N}\) 张成的平面 = 密切平面——"最贴曲线的平面"）；
挠率 \(\tau\)：\(\mathbf{B}' = -\tau\mathbf{N}\)——密切平面的翻转速度，"扭出平面的程度"；\(\tau \equiv 0 \iff\) 平面曲线。

Frenet 公式（标架的运动方程，反对称矩阵形式——正交标架求导必反对称，高代 VI 正交阵的无穷小版本）：

\[ \begin{pmatrix}\mathbf{T}\\\mathbf{N}\\\mathbf{B}\end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0\\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathbf{T}\\\mathbf{N}\\\mathbf{B}\end{pmatrix} \]

定理（曲线论基本定理） 给定连续函数 \(\kappa(s) > 0\) 与 \(\tau(s)\)，存在唯一（差一个刚体运动）以之为曲率挠率的曲线。 ——\((\kappa, \tau)\) 是曲线的全部内在信息（"自然方程"）；证明即对 Frenet 方程组用 ODE 存在唯一性定理（ode-01 的定理在几何里收租）。分类哲学的又一实例：找全不变量 ⇒ 完全分类（与高代的标准形、拓扑的指纹同一战略）。

3. 一般参数的实算公式（考试主力）

\[ \kappa = \frac{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^3}, \qquad \tau = \frac{(\mathbf{r}',\ \mathbf{r}'',\ \mathbf{r}''')}{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|^2} \]

（分子分别是外积模与混合积——解几 I 的三件套在此就业；平面曲线 \(y = f(x)\) 特例：\(\kappa = \frac{|f''|}{(1 + f'^2)^{3/2}}\)——数分 II 见过的公式认祖归宗。）

曲率的两个具象：密切圆半径 \(R = 1/\kappa\)（最贴曲线的圆——"弯道半径"，公路与铁路设计的直接参数：缓和曲线就是让 \(\kappa\) 连续变化避免方向盘突跳）；单摆线/悬链线等名曲线各有标志性 \(\kappa(s)\)。

🔗 衔接：曲率是"二阶几何量"（一阶给方向、二阶给弯曲——与 Taylor/Hessian 的层级一致，数分 II/V）；样条曲线（数值 III）的 \(C^2\) 拼接条件正是"曲率连续"；机器人轨迹规划、自动驾驶的路径平滑都在优化 \(\kappa\) 的连续性与上界。

4. 典型例题

例 1（圆柱螺旋线全套，本章的果蝇） \(\mathbf{r} = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)\)：\(|\mathbf{r}'| = \sqrt{a^2 + b^2}\)（匀速——弧长参数只差常数缩放）；套公式得

\[ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2} \]

曲率挠率皆常数——基本定理反推：常 \((\kappa, \tau)\) 的曲线只有螺旋线（含退化：\(b = 0\) 圆、\(a = 0\) 直线）。DNA 双螺旋、弹簧、螺纹的数学身份证。

例 2（判平面曲线） \(\mathbf{r} = (t, t^2, t^3)\) 是平面曲线吗？\(\tau\) 的分子 \((\mathbf{r}', \mathbf{r}'', \mathbf{r}''') = \det\begin{pmatrix}1 & 2t & 3t^2\\ 0 & 2 & 6t \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix} = 12 \neq 0\)——\(\tau \neq 0\)，真三维扭曲（"扭曲三次曲线"）。判平面性 = 验混合积，一步到位。

例 3（密切圆） 抛物线 \(y = x^2\) 顶点处：\(\kappa = \frac{2}{(1+0)^{3/2}} = 2\) ⇒ 密切圆半径 \(\frac12\)，圆心 \((0, \frac12)\)——顶点附近抛物线与该圆二阶吻合（Taylor 到二阶相同的几何说法）。\(\blacksquare\)

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