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复变 III · 级数、奇点与留数定理

收官页三步走：Taylor/Laurent 级数（解析函数的显微镜）→ 奇点分类（病灶的病理学）→ 留数定理（把积分变成数系数的机械操作，反手收割一批实积分）。数分 IV 留下的那个收敛半径之谜也在本页揭晓。

学习层：先审计围道，再让留数定理出具证书

1. 预测门：每一个极点真的能被普通定理接纳吗？

本实验固定一族有理型 Laurent 数据：每个极点都有极点阶数和留数，围道是一个可改变方向、半径和绕行次数的圆。先预测三件事：

  1. 是否存在 on-contour 极点；若有，普通留数定理是否还能直接给出围道积分？
  2. 对一个严格在圆内的极点，顺时针一次还是逆时针一次的 winding sign 应该是什么？绕两圈会怎样？
  3. 留数和究竟只收 inside，还是把 outside 也加进来，或把 on-contour 当成“半个 inside”？

点击揭晓前，极点分类、绕数、留数和、SVG 与审计表都隐藏。换预设、半径、方向或绕行次数会重新锁住预测。

2. 透明模型：位置、阶数和 winding 分账

设围道是圆 \(C\)，中心 \(c\)、半径 \(R\)，方向符号为 \(\varepsilon\in\{+1,-1\}\)，绕行次数为 \(n\)。对极点 \(z_k\)，实验先按

\[ \lvert z_k-c\rvert < R,\quad =R,\quad >R \]

审计为 inside / on-contour / outside。只有在第一或第三种情形，绕数才定义为

\[ n(C,z_k)= \begin{cases} \varepsilon n,&z_k\text{ inside},\\ 0,&z_k\text{ outside}. \end{cases} \]

on-contour 的绕数在本实验中记为 undefined，不是 \(1/2\)。当且仅当没有极点落在围道上，透明证书才是

\[ \oint_C f(z)\,dz=2\pi i\sum_k n(C,z_k)\operatorname{Res}(f,z_k). \]

这些数据可以实现为一个具体有理函数：对每个 \(m_k\) 阶极点，若 \(m_k=1\) 取 \(r_k/(z-z_k)\)；若 \(m_k\ge2\) 取 \((z-z_k)^{-m_k}+r_k/(z-z_k)\)，再对 \(k\) 求和。默认三个位置互异，所得函数确有给定阶数和留数。加上任意整函数不改变围道积分。

这里的“极点阶数”仍要单独登记：二阶、三阶极点并不会因为留数表只显示一个 \(c_{-1}\) 就变成单极点；阶数判定与留数计算是两本账。

JavaScript 失效时的静态 fallback：默认取逆时针单位圆、绕行一次，极点为 \(z=0\)（一阶，\(\operatorname{Res}=1\)）、\(z=1/2\)（二阶，\(\operatorname{Res}=-1/2\)）和 \(z=3/2\)（三阶，\(\operatorname{Res}=2\)）。因此前两个是 inside，后一项是 outside：

极点 阶数 位置 winding 留数 winding × 留数
\(0\) 1 inside \(+1\) \(1\) \(1\)
\(1/2\) 2 inside \(+1\) \(-1/2\) \(-1/2\)
\(3/2\) 3 outside \(0\) \(2\) \(0\)

inside 留数和为 \(1/2\)，winding 加权和也为 \(1/2\)，所以普通定理给出 \(\oint_C f\,dz=\pi i\)。若把围道改为顺时针双绕，加权和会变成 \(-1\)；若把极点移到 \(|z|=1\) 上，普通留数定理不可直接使用，实验只给出 on-contour 警告，不给出积分数值。有限阶数、inside/outside/on-contour、方向和 winding 必须全部先通过审计。

3. 读账规则与边界

  • 普通定理有前提。极点在围道上时，主值、缩进围道或半留数需要额外的局部几何与积分定义；它们不是本页普通定理的自动分支。
  • 方向不是装饰。逆时针给正 winding，顺时针给负 winding；多重绕行按次数线性累加。
  • 外部奇点不入账。它们可以影响函数的全局解析表达式，却不进入当前围道的 residue sum。
  • 有限实验不是一般证明。SVG 只画所选圆与有限个极点；留数定理的适用仍由“闭曲线、有限孤立奇点、无极点在曲线上”等条件保证。

4. 迁移题：高阶极点也只让一个系数入账

  1. 对 \(f(z)=z^{-2}+3z^{-1}\)，单位圆顺时针两圈积分为多少？
  2. 对 \(f(z)=e^{1/z}\) 的单位圆正向积分，为什么本性奇点仍可用留数定理？
  3. 默认模型若把半径增到 \(R=2\)，逆时针一次的积分变成多少？若半径恰为 \(3/2\) 呢？
展开核对：阶数、留数与定义域
  1. 极点阶数是 \(2\)，留数是 \(3\)，绕数 \(-2\)，所以积分为 \(-12\pi i\)。
  2. Laurent 级数中 \(z^{-1}\) 的系数是 \(1\)；奇点虽为本性，却仍孤立且不在围道上，因此积分为 \(2\pi i\)。定理不限于极点。
  3. 全部三项入账，留数和 \(1-1/2+2=5/2\)，积分 \(5\pi i\)；\(R=3/2\) 时第三个极点在路径上，普通定理不适用。实验的边界分类带浮点容差，临界附近应读为数值边界警告。

先修：Cauchy 公式与方向、级数收敛。

1. Taylor 级数与收敛半径之谜

定理 \(f\) 在 \(z_0\) 邻域解析，则其 Taylor 级数在以 \(z_0\) 为中心的最大可单值解析延拓圆盘内表示该函数。若收敛半径 \(R<\infty\)，边界上至少有一处不可解析延拓的点；整函数则 \(R=\infty\)。“到最近奇点的距离”应按这个解析延拓意义理解，人为限制的定义域边界不是自动的奇点。

（来源：Cauchy 积分公式中把 \(\frac{1}{z - z_0}\) 展成几何级数——解析与幂级数在复平面是同义词。）

兑现数分 IV 的悬案：\(\frac{1}{1 + x^2}\) 在实轴上处处光滑，为何 Taylor 级数只在 \(|x| < 1\) 收敛？——因为奇点在 \(\pm i\)，到原点的距离是 \(1\)。实轴上看不见的复奇点决定了实级数的命运：不上复平面，这题无解。

2. Laurent 级数与奇点分类

在环域（挖掉奇点的圆环）上，解析函数展成双向幂级数：

\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z - z_0)^n \]

负幂部分称主部。孤立奇点按主部三分类（病理学）：

类型 主部 判据 例
可去奇点 无 \(\lim f\) 存在有限 \(\frac{\sin z}{z}\) 在 \(0\)（补定义即愈）
\(m\) 阶极点 有限项（到 \(c_{-m}\)） \(\lim\lvert f\rvert = \infty\)；\((z-z_0)^m f\) 解析非零 \(\frac{1}{z^2}\)
本性奇点 无穷项 极限不存在也不趋 \(\infty\) \(e^{1/z}\) 在 \(0\)

本性奇点的狂野一嘴（Picard 大定理）：任意去心小邻域内，除至多一个例外值外，每个复值都被取到无穷多次——病得最重也最深刻。

3. 留数定理（本课程的收官大定理）

围道积分等于内部留数和

图 3.1留数定理：正向简单闭围道的积分等于 \(2\pi i\) 乘以内部各孤立奇点的留数之和——围道外的奇点毫不相干。

定义 留数 \(\mathrm{Res}(f, z_0) = c_{-1}\)（Laurent 展开中 \(\frac{1}{z - z_0}\) 的系数——复变 II 基础例说过：只有这一项在围道积分中幸存）。

定理（简单围道版本） \(C\) 为分段 \(C^1\) 的正向简单闭曲线，\(f\) 在包含 \(C\) 及其内部的开集上，除内部有限个孤立奇点 \(z_k\) 外解析，且 \(C\) 上没有奇点，则：

\[ \oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \mathrm{Res}(f, z_k) \]

（思路：Cauchy 定理的围道变形——大围道缩成绕各奇点的小圈，每圈只有 \(c_{-1}\) 存活。）积分 = 数系数，从此复积分是机械劳动。

若在一个单连通开集内取一般分段光滑闭路，\(f\) 除有限孤立奇点外解析且曲线上无奇点，则要改成学习层的 \(2\pi i\sum n(C,z_k)\operatorname{Res}(f,z_k)\)；反向、多绕不能沿用未加权的正号公式。更一般域需额外的同调条件，见 Lebl《Guide to Cultivating Complex Analysis》。

留数速算三式：

4. 收割实积分（留数定理的名场面）

型 I（三角有理式） \(\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta\)：令 \(z = e^{i\theta}\)（\(\cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}\)，\(d\theta = \frac{dz}{iz}\)），化为单位圆围道积分——数圈内留数。

型 II（有理函数全线积分） \(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}dx\)（\(\deg Q \geq \deg P + 2\)，\(Q\) 实轴无零点）：上半平面加大半圆封口（ML 不等式证明半圆贡献 \(\to 0\)）：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} = 2\pi i \sum_{\text{上半平面}} \mathrm{Res} \]

型 III（含振荡因子） \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}e^{i\omega x}dx\)，假设 \(Q\) 在实轴无零点、\(\omega\ne0\)。\(\omega>0\) 在上半平面闭合，\(\omega<0\) 在下半平面顺时针闭合，后者带负号；Jordan 引理允许 \(\deg Q\ge\deg P+1\)。当 \(\omega=0\) 时需回到非振荡的衰减条件。——Fourier 变换的围道算法：数分 IV/概率 IV 特征函数表里那些"查表"结果（如 Cauchy 分布的 \(\varphi(t) = e^{-|t|}\)），出厂车间就是这里。

5. 典型例题

以下圆周取逆时针一圈。

例 1（留数定理主流程） \(\oint_{|z|=2}\frac{z}{(z-1)(z+3)}dz\)：圈内仅单极点 \(z=1\)，\(\mathrm{Res} = \frac{1}{4}\) ⇒ 积分 \(= \frac{\pi i}{2}\)。

例 2（型 II 实积分） \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1 + x^4}\)：上半平面极点 \(e^{i\pi/4}, e^{3i\pi/4}\)，用 \(\frac{P}{Q'}\) 式：\(\mathrm{Res} = \frac{1}{4z^3}\big|_{z_k} = -\frac{z_k}{4}\)；和 \(= -\frac{1}{4}(e^{i\pi/4} + e^{3i\pi/4}) = -\frac{i\sqrt2}{4}\) ⇒ 积分 \(= 2\pi i \cdot(-\frac{i\sqrt2}{4}) = \frac{\pi}{\sqrt 2}\)。（也可用实变量部分分式或 Beta 积分计算；这里展示留数法如何统一处理。）

例 3（奇点判型） \(f = \frac{1 - \cos z}{z^2}\) 在 \(0\)：分子 \(\sim \frac{z^2}{2}\) ⇒ \(\lim f = \frac12\)——可去奇点，留数为 \(0\)。先判型再算留数，判成极点直接套公式会白算。\(\blacksquare\)

复变三页完工：解析（C–R）→ 积分（Cauchy 双定理）→ 级数与留数——一条"条件极强、回报极高"的理论弧线。下一门实变函数：反方向的旅程——把可积的条件放到最宽。