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复变 II · 复积分：Cauchy 定理与积分公式
复变的主定理全在本页：Cauchy 积分定理（在适用解析域内，解析函数沿可缩闭路积分为零）与 Cauchy 积分公式（边界值决定内部一切）。由它们像多米诺一样倒出：解析⇒无穷可导、Liouville 定理、代数基本定理——高代 I 欠下的那张证明欠条，在这里用三行还清。
学习层：先分清方向、绕数、形变和数值误差
本实验只取一个最小但不含糊的被积函数
把一条围道写成 \(z(t)\) 后，积分是 \(\int f(z(t))z'(t)\,dt\)。因此本页把四个容易被一张漂亮曲线混在一起的对象拆开：参数化方向改变 \(dz\) 的符号；winding number 是拓扑账；不穿过奇点的解析区内形变检验 Cauchy 定理；端点函数值平均乘弦增量的闭合梯形，只是光滑围道积分的数值近似，误差不能被叫作 winding 的变化。
1. 参数化方向与 winding number
取
其中 \(\eta\) 是形变幅度；顺时针方向把虚部改成 \(-\sin t\)。winding number 用相对奇点的连续辐角增量定义：
反向参数化同时把 \(n\) 与 \(\oint_C dz/(z-a)\) 变号。若 \(a\) 在围道外，\(n=0\)；若 \(a\) 在内，逆时针为 \(+1\)、顺时针为 \(-1\)。
2. 解析区内形变、跨越奇点
只要 \(C_0\) 到 \(C_1\) 的形变整个避开 \(a\)，\(1/(z-a)\) 在扫过的区域内解析，于是
这不是“半径差不多所以面积差不多”，而是无奇点解析区中的路径不变性。若奇点落到路径上，积分本身不定义，winding 也不定义；数值程序可能打印一个很大的数，但那是模型失去定义域，不应伪装成一个很大的 quadrature error。
3. 预测门与静态后备
先回答当前预设的 winding、形变是否仍在同一解析区、反向参数化的后果，以及“奇点命中”和“数值误差”是否分开。提交前不显示 SVG、复积分数字或账本；改变预设、方向、形变或 \(N\) 会重新上锁。
无 JavaScript 时的静态后备：默认取 \(a=0.35+0.18i\)、逆时针、\(\eta=0.16\)、\(N=64\)。当前围道和基准圆都绕奇点一次，因此解析值为 \(2\pi i\)；反向后为 \(-2\pi i\)。闭合梯形的数值项只应作为逼近 \(2\pi i\) 的误差读数。下面三行分别代表拓扑、解析和定义域的不同状态。
| 预设 | 奇点位置 | 当前 winding（逆时针） | 解析值 | 数值账本应如何读 |
|---|---|---|---|---|
| 奇点在内 | \(0.35+0.18i\) | \(+1\) | \(2\pi i\) | 当前形变与基准圆的积分应一致；误差随 \(N\) 细化而单独变小 |
| 奇点在外 | \(1.35+0.18i\) | \(0\) | \(0\) | 解析区内闭路积分为零；非零项是求积误差，不是残余 winding |
| 奇点在路径上 | \(1\)，基准圆 \(\lvert z\rvert=1\) | 未定义 | 未定义 | 先报告路径奇点；不把发散/非有限值记成 quadrature error |
本族 \(1+\eta\cos3t>0\)，故是星形简单曲线。对 \(a=\rho e^{i\theta}\)，令 \(R_\eta=1+\eta\cos3\theta\)，比较 \(\rho\) 与 \(R_\eta\) 即可解析判断内外；两者相等时先报告路径奇点。实现按此计算解析绕数，再把有限多边形绕数单独列为采样诊断；网格粗时两者可能不同。实现把径向差落在 \(10^{-10}\max(1,\rho,R_\eta)\) 内判作边界警告；这是浮点防护带，不能当作一般曲线的精确判定算法。交互围道图只画有限采样点，不能代替“形变全程避开奇点”的解析条件；账本会同时列出当前围道、基准圆、\(2\pi i n\)、梯形近似和复数误差。
静态读法提示：若脚本失效，按上表先检查方向与 winding，再检查奇点是否落在路径上，最后才讨论 \(N\) 段闭合复合梯形的误差。
4. 迁移题：方向变了，哪个量跟着变？
- 单位圆顺时针绕两次时，\(\oint dz/z\) 是多少？\(\oint dz/z^2\) 呢？
- 令 \(a=e^{i\pi/17}\) 落在单位圆上，而采样点为 \(e^{2\pi i j/16}\)。没有顶点命中，能否照用普通积分公式？
- 对圆 \(|z|=2\) 上顺时针一圈的 \(e^z/(z-1)\)，写出结果并说明 Cauchy 公式为何需要方向约定。
展开核对：先判断定义域，再计算
- 绕数是 \(-2\)，故分别为 \(-4\pi i\) 与 \(0\)。高阶单项没有 \(z^{-1}\) 系数。
- 不能；\(a\) 精确在真实路径上，普通围道积分的被积函数在此不定义。顶点没采到不等于曲线没有经过；本族径向判据与采样数无关。
- 逆时针值为 \(2\pi i e\)，反向为 \(-2\pi i e\)。如果把前者的正号公式用于后者，就会把方向信息丢掉。
先修：解析与 C–R 方程；后续：绕数加权留数。
1. 复积分与第一块基石
定义 沿曲线 \(C\)：\(\int_C f(z)\,dz = \int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt\)（数分 VI 第二型曲线积分的复打包）。基本估计（ML 不等式）：\(\big|\int_C f\,dz\big| \leq \max_C|f| \cdot \mathrm{len}(C)\)——复变证明里出镜率最高的一行。
围道约定：本页积分曲线均分段 \(C^1\)；未另说明时，圆周和简单闭曲线均取逆时针一次。
基础例（一切计算的原子）：以 \(z_0\) 为圆心、逆时针绕一圈，\(n\in\mathbb Z\)，有
——只有 \(\frac{1}{z - z_0}\) 留下痕迹（"留数"之名的预告）。
定理（Cauchy 积分定理） \(f\) 在单连通域 \(D\) 解析，则沿 \(D\) 内任何闭曲线
证明思路：写开实虚部化成两个第二型曲线积分，在实部/虚部一阶偏导连续等足够正则条件下，Green 公式（数分 VI）+ C–R 方程（复变 I）恰好让两个被积函数双双归零。一般仅假设复可导的版本需 Goursat 论证，不能用尚未证明的高阶正则性绕回证明。若写成实向量场 \(F=(u,-v)\)，C–R 方程正好给出 \(\operatorname{div}F=0\) 与二维旋度为零；这里的负号不能省略。推论：单连通域内解析函数的积分与路径无关、原函数存在（数分 III 的 Newton–Leibniz 在复平面复活）。多连通版：围道可跨越的区域必须解析——绕奇点的积分不为零，但可自由变形（不穿过奇点即等值）：把复杂围道缩成绕各奇点的小圆——复变 III 留数定理的几何底座。
2. Cauchy 积分公式：边界决定内部
定理 \(C\) 为正向简单闭曲线，\(f\) 在包含 \(C\) 及其内部的开集上解析，\(z_0\) 在 \(C\) 内，则
（思路：把围道缩到 \(z_0\) 的小圆上，\(f(z) \approx f(z_0)\) 提出，剩下基础例的 \(2\pi i\)。）读法：解析函数是"全息"的——边界上的值完全决定内部每一点（实函数完全没有的刚性；调和函数的平均值性质是它的实影子）。
高阶导数公式（对 \(z_0\) 求导，积分号下合法）：
推论（本页最大惊雷）：解析（可导一次）⇒ 无穷可导——实函数世界"可导一次未必两次"的阶梯在复平面塌缩成一级。顺带 Cauchy 估计：\(|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!\,M}{R^n}\)（\(M\) = 半径 \(R\) 圆上的最大模）。
3. 三连推论：多米诺
Liouville 定理：有界整函数（全平面解析）必为常数。 证明一行：Cauchy 估计 \(|f'(z_0)| \leq \frac{M}{R} \xrightarrow{R\to\infty} 0\)——处处 \(f' = 0\)。\(\blacksquare\)（对照实函数：\(\sin x\) 有界不常数——复平面上 \(\sin z\) 无界（复变 I），世界是自洽的。）
代数基本定理：复系数 \(n \geq 1\) 次多项式必有根。 证明三行（还高代 I 的欠条）：若 \(p(z)\) 无根，则 \(\frac{1}{p(z)}\) 是整函数；又 \(|p(z)| \to \infty\)（\(|z| \to \infty\)）故 \(\frac1p\) 有界；Liouville ⇒ \(\frac1p\) 常数 ⇒ \(p\) 常数，与 \(n \geq 1\) 矛盾。\(\blacksquare\)
最大模原理（陈述）：非常数解析函数的 \(|f|\) 在区域内部取不到最大值；若进一步在有界区域的闭包连续，则最大值在边界取得——"解析函数内部不鼓包"；工程上界估计、唯一性论证的常客。Morera 定理（Cauchy 定理之逆，陈述）：连续且闭路积分全零 ⇒ 解析——"解析性的积分判据"，证明极限函数解析时的标准工具。
4. 典型例题
例 1（积分公式直取） \(\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z - 1}\,dz\)：\(z_0 = 1\) 在圈内，\(= 2\pi i\, e^1 = 2\pi i e\)。
例 2（高阶公式） \(\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}\,dz\)：\(n = 2\) 情形，\(= \frac{2\pi i}{2!}(\cos z)''\big|_0 = \pi i \cdot(-\cos 0) = -\pi i\)。
例 3（围道内外之分） \(\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2 + 4}\)：奇点 \(\pm 2i\) 都在圈外——被积函数在圈内解析，Cauchy 定理直接给 \(0\)。动笔前先定位奇点——复积分的第一反射。\(\blacksquare\)
下一页：级数与留数——Laurent 展开给奇点分类，留数定理把"算围道积分"变成"数系数"，再反手收割一批实积分。