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复变 I · 解析函数与 Cauchy–Riemann 方程
前置：多元微分与Fréchet导数、线性空间。复变函数论的一条主线是全纯函数：在开集上处处复可导。这个条件最终会带来幂级数展开与积分公式；本页先把一个点的线性化、开集条件及其几何意义分清。
学习层：方向探针先报警，C–R 账本再下结论
1. 先看一根小箭头能不能被同一个复数乘法解释
把复平面当作二维实平面。在点 \(z_0\) 放三根很短的箭头：沿 \(1\)、沿 \(i\)、沿 \(1+i\)。若 \(f\) 在 \(z_0\) 复可导，那么这三根箭头的首阶变化都必须是同一个复数乘法：
这比“每个方向各自有一个斜率”苛刻得多。\(z^2\) 会把小箭头统一旋转、伸缩；\(\bar z\) 会把它们翻过实轴；\(|z|^2\) 在原点的一阶变化全部消失，却在离开原点后不再由一个复数乘法统一解释。实验把这三个几何直觉和一个参数族放进同一张账本。
2. 精确桥梁：实 Jacobian、C–R 残差与方向商
写 \(f=u+iv\)。以下等价关系以 \(u,v\) 在 \(z_0=x_0+iy_0\) 实 Fréchet 可微为前提，其实 Jacobian 为
复导数存在，当且仅当这个实线性映射是“乘以某个复数”的矩阵：
为了逐项核对，记 C–R 残差
对任意非零方向 \(w=a+ib\)，实微分给出方向导数 \(Df(z_0)[w]\)；方向商
只有在所有方向一致时才是复导数。有限个 \(Q_w\) 是诊断探针，不是邻域解析性的证明。
参数 \(\lambda\in\mathbb R\)。四个对象的精确账本是：
| 函数 | \(u,v\) | \((r_1,r_2)\) | 复可导性 | 邻域解析性 |
|---|---|---|---|---|
| \(z^2\) | \(x^2-y^2, 2xy\) | \((0,0)\) 处处 | 处处，\(f'=2z\) | 是 |
| \(\bar z\) | \(x, -y\) | \((2,0)\) 处处 | 处处否 | 否 |
| \(\lvert z\rvert^2\) | \(x^2+y^2, 0\) | \((2x,2y)\) | 仅 \(z=0\)，导数为 \(0\) | 否 |
| \(p_\lambda(z)=z^2+\lambda\lvert z\rvert^2\) | \((1+\lambda)x^2+(\lambda-1)y^2, 2xy\) | \((2\lambda x,2\lambda y)\) | \(z=0\)；若 \(\lambda=0\) 则处处 | 仅 \(\lambda=0\) |
这里的“仅 \(z=0\)”是在一个点复可导，不是“在原点解析”。\(p_\lambda\) 是 \(z,\bar z\) 的参数化实多项式；解析要求某个开邻域中的每一点都复可导。由于这些对象的 \(u,v\) 都处处实可微，C–R 在这里确实是充分必要条件；一般只知道偏导数存在并满足 C–R，并不足以推出复可导。
3. 预测门：先给结论，再打开方向与邻域两本账
实验默认在 \(z_0=1+i\)、\(\lambda=1/2\)。先预测：
- 四个对象中，哪些在这个点满足 C–R？
- 把点移到 \(z_0=0\) 后，\(|z|^2\) 和 \(p_{1/2}\) 的复导数是否存在？它们是否因此解析？
- 若 \(Q_1,Q_i,Q_{1+i}\) 三个方向商刚好相同，是否已经证明函数在邻域解析？
- 看到所有 \(u,v\) 都是实多项式，能否直接把“实可微”叫作“复解析”？
提交前不显示 Jacobian、C–R 残差、方向商、导数和 SVG。改变函数、点或参数会重新锁门。
4. 动手实验：一张可复算的方向诊断表
揭示后可在原点、一般点和坐标轴点之间切换，并调节 \(\lambda\)。表中逐行列出四个函数的 \(u_x-v_y\)、\(u_y+v_x\)、三个方向商、点复导数和邻域分类；SVG 左图画方向商，右图直接画分离出的反线性贡献；两图各自横纵同标尺。它展示的是有限诊断，结论仍由精确 C–R 公式和量词决定。
无 JavaScript 时的静态读法：默认取 \(z_0=1+i\)、\(\lambda=1/2\)，方向探针为 \(1,i,1+i\)。
| 函数 | \((r_1,r_2)\) | \(Q_1\) | \(Q_i\) | \(Q_{1+i}\) | 点复导数 | 邻域结论 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(z^2\) | \((0,0)\) | \(2+2i\) | \(2+2i\) | \(2+2i\) | \(2+2i\) | 解析 |
| \(\bar z\) | \((2,0)\) | \(1\) | \(-1\) | \(-i\) | 不存在 | 非解析 |
| \(\lvert z\rvert^2\) | \((2,2)\) | \(2\) | \(-2i\) | \(2-2i\) | 不存在 | 非解析 |
| \(p_{1/2}(z)\) | \((1,1)\) | \(3+2i\) | \(2+i\) | \(3+i\) | 不存在 | 非解析 |
把点改为 \(z_0=0\) 时，\(z^2\)、\(|z|^2\) 和 \(p_{1/2}\) 的 C–R 残差都为 \((0,0)\)，三者都有点复导数 \(0\)；但后两者仍没有解析邻域。有限方向一致只能说明“在这些探针上没有发现冲突”，不能证明一个开邻域中的全称命题。
5. 边界：三种“可导”不能互换
- 实可微只说 \(J_f\) 存在；\(\bar z\) 和 \(|z|^2\) 都满足这一点。
- 在一点复可导要求 C–R 在该点成立（在本实验的多项式模型中，实可微前提自动满足）。\(|z|^2\) 在原点是标准反例：\(f(h)/h=\bar h\to0\)，但离开原点 C–R 立即失败。
- 解析要求在开集内处处复可导。不能用有限采样点、有限方向或一条轨迹替代邻域量词。
在已知实可微的前提下，精确的 \(Q_1=Q_i\) 已足够确定这个实线性映射来自复乘法，因而能证明该点复可导；实验中的浮点“容差内一致”更弱，且一点结论不能覆盖整个邻域。这里“有限组”指方向数量有限，\(Q_w\) 本身由精确 Jacobian 计算，不是有限步长差商。
将任意实线性微分唯一分解为
因此 \(Q_w=\alpha+\beta\bar w/w\)。右图直接计算 \(R_w=\beta\bar w/w\)，把共用的 \(\alpha\) 分离；它不对两个接近的大数作减法。\(\beta=0\) 等价于 C–R，但数值探针比较使用 \(10^{-10}\) 的混合相对/绝对容差，数学分类仍按函数参数的精确零条件。两个面板各自标出数值刻度，右图会放大极小的反线性部分。
1. C–R 为什么需要实可微这一前提？
在开集 \(U\subset\mathbb C\) 的一点 \(z_0\)，复可导定义为
这是二维极限：\(h\) 可沿任何路径趋零，且误差控制对方向统一。若复导数为 \(c\)，就有 \(f(z_0+h)-f(z_0)=ch+o(|h|)\)，这本身已给出实 Fréchet 可微性。写 \(c=a+ib\)，乘法矩阵为 \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\)，自然满足 C–R。
反过来，假定 \(u,v\) 实 Fréchet 可微并满足 C–R。实线性展开为
C–R 将 \(Df[h]\) 变成 \((u_x+iv_x)h\)。除以 \(h\ne0\)，余项满足 \(|r(h)/h|\to0\)，所以复导数存在且为 \(u_x+iv_x\)。必要性比较坐标轴就能看见；充分性靠统一的小余项，不能只比较两条轴。 若一阶偏导在邻域连续，可由实分析定理得到所需的实可微性，但这只是方便的充分条件。Lebl，§2.1、附录B.3
所有直线都通过，仍可能失败
令 \(z=x+iy\)，在非零点定义
由 \(2x^2|y|\le x^4+y^2\)，有 \(|F(z)|\le |z|/2\)，因此 \(F\) 在原点连续。沿固定直线 \(x=at,y=bt\)，若 \(b\ne0\)，
若 \(b=0\) 则恒为零，竖直线也为零。所有固定方向都报告候选导数 \(0\)，原点偏导和 C–R 也成立。但沿抛物线 \(y=x^2\)，\(F(z)/z=1/2\)，二维极限失败。缺掉的正是实 Fréchet 可微前提；方向逐个成立不等于对方向统一成立。
2. 保角：局部旋转伸缩，临界点除外
若 \(f\) 在邻域全纯且 \(f'(z_0)\ne0\)，两条正则曲线的非零切向量 \(v_1,v_2\) 被送成 \(f'(z_0)v_1,f'(z_0)v_2\)。其比值仍为 \(v_2/v_1\)，所以有向夹角不变，长度统一乘 \(|f'(z_0)|\)。Jacobian 行列式为 \(|f'(z_0)|^2>0\)，由实逆函数定理得到局部可逆；全局单射则需要另证。
图中 \(f=z^2\) 的 \(f'=2z\) 在输入矩形处处非零，网格切线因此仍正交。但在原点，\(z=re^{i\theta}\) 变为 \(r^2e^{2i\theta}\)，例如夹角 \(\pi/4\) 变成 \(\pi/2\)，不再满足上述保角结论。\(z^2\) 在包含 \(z\) 和 \(-z\) 的域内也不可能全局单射。
\(\bar z\) 是另一种边界：它保持无向夹角大小，却反转方向，实 Jacobian 行列式为 \(-1\)。本页“共形”采用保持定向的惯例，不应把反射的几何保角误作复可导。
看表达式，不如检查反线性系数
“公式里出现 \(\bar z\) 就不能解析”不是可靠判据。例如 \(z+\bar z-\bar z=z\)；在 \(z\ne0\) 上，\(|z|^2/\bar z=z\)。对实可微函数，正确的一点判据是 \(\beta=\partial f/\partial\bar z=0\)，邻域全纯则要求它在开集内处处为零。
实验参数族满足 \(\alpha=2z+\lambda\bar z\)、\(\beta=\lambda z\)，故非零 \(\lambda\) 时仅原点复可导。即使 \(\lambda=10^{-12}\) 小到三个商在容差内一致，\(z\ne0\) 时仍不复可导。右图的分离量用于看清这件事，并未更改数学分类的条件。
3. 调和共轭为何会遇到“绕洞”的障碍？
全纯函数具有所需的高阶光滑性，这将在下一页由 Cauchy 积分公式证明。于是对 C–R 交叉求导，\(u_{xx}=v_{yx}\)、\(u_{yy}=-v_{xy}\)，得到 \(\Delta u=0\)；\(v\) 同样调和。
反向构造从一个 \(C^2\) 调和函数 \(u\) 开始。为满足 \(v_x=-u_y,v_y=u_x\)，定义一形式
若域单连通，闭路积分为零，可以从固定点 \(z_*\) 定义 \(v(z)=\int_{z_*}^z\omega\)，积分与路径无关；连通域上 \(v\) 只差一个实常数。更一般地，能否得到全局单值共轭取决于所有闭路周期 \(\oint\omega\) 是否为零。
看穿孔平面上的 \(u=\log|z|=\tfrac12\log(x^2+y^2)\)。它调和，但
沿单位圆 \(x=\cos t,y=\sin t\)，\(\omega=dt\)，积分为 \(2\pi\)。因此整个穿孔平面没有单值的调和共轭；局部的辐角函数绕一圈会增加 \(2\pi\)。这不是局部微分方程错误，而是全局周期不为零。Lebl，§7.1
物理中二维静电势只在无体电荷、相应均匀介质区域调和；稳态温度还需无热源、常导热系数等条件。边界、介质或源项改变后，不能把任何场都直接称为调和函数。
4. 指数、对数和幂：先声明域与分支
\(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\) 给整函数，导数仍为自身，周期为 \(2\pi i\)。因此 \(e^z=-1\) 的全部解为 \(z=i(\pi+2k\pi)\)，\(k\in\mathbb Z\)；指数在整个复平面并不单射。\(\cos z=(e^{iz}+e^{-iz})/2\) 同样全纯，却在虚轴有 \(\cos(iy)=\cosh y\)，所以不具实轴上的全局有界性。
对于 \(z\ne0\)，所有对数值为 \(\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)\)。主辐角可以用 \((-\pi,\pi]\) 作点值约定，但解析主分支必须放在开割域
在 \(D\) 上 \(e^{\operatorname{Log}z}=z\)，链式法则给 \((\operatorname{Log}z)'=1/z\)。负实轴上即使约定一个主值，也不属于这个解析分支的域。割线可以另选；沿路径延拓跨越人为割线时，要区分“重新取主值”和“连续跟随原分支”，两者未必返回同一个数。
给定某个对数分支后定义 \(z^a=\exp(a\operatorname{Log}z)\)。若讨论所有分支，\(i^i\) 的值为 \(e^{-\pi/2-2k\pi}\)；取主分支才指定 \(e^{-\pi/2}\)。非零复数域上整数幂的分支差经指数后消失，非整数指数则一般不会。Lebl，§4.1–4.3
5. 例题与迁移核对
完整例题。 给 \(u=x^2-y^2+x\)，由 \(v_y=2x+1\) 得 \(v=2xy+y+\varphi(x)\)；再由 \(v_x=-u_y=2y\) 得 \(\varphi'=0\)。于是 \(f=z^2+z+iC\)。它在 \(z=-1/2\) 的导数为零，因此“全纯”也没有保证每一点都局部保角。
- 求 \(f(z)=x^2+iy^2\) 的全部复可导点和相应导数。它在哪些开集解析？
- 对连续反例 \(F=zH\)，分别计算 \(F(t+it)/(t+it)\) 与 \(F(t+it^2)/(t+it^2)\)，解释为什么加入再多固定方向也救不了缺失的统一极限。
- 求 \(u=x^2-y^2+x\) 在整个平面上的调和共轭；若改成 \(u=\log|z|\) 且域为穿孔平面，为什么不能重复“随便选路径积分”？同时比较主分支 \(\operatorname{Log}(i)\) 与从 \(i\) 逆时针绕原点一周的连续延拓值。
展开核对可导点、曲线路径与周期
1. 这些多项式处处实可微，C–R 给 \(2x=2y\)，另一式自动成立，所以可导点恰为 \(y=x\)，导数 \(f'=2x\)。直线不含非空开集，故无处解析；原点的导数零也不能改变这一点。
2. 沿 \(x=y=t\)，\(H=t/(1+t^2)\to0\)；沿 \(x=t,y=t^2\)，\(H=1/2\)（\(t\ne0\)）。方向极限只固定角度，而抛物线路径的方向会随步长变化，二维极限必须同时控制后者。
3. 前者为 \(v=2xy+y+C\)。后者的闭路积分为 \(2\pi\ne0\)，不同路径给出不同值，无法定义全域单值共轭。\(\operatorname{Log}(i)=i\pi/2\)；逆时针一周连续延拓后是 \(i5\pi/2\)，回到同一点重新取主值则又是 \(i\pi/2\)。
离页检查：能用 Fréchet 余项证明 C–R 的充分性；能给出直线检验失败的连续反例；能区分局部保角与全局单射；能从闭路积分解释分支。下一页进入复积分与 Cauchy 定理，把局部微分约束转成积分与幂级数结论。