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复变 I · 解析函数与 Cauchy–Riemann 方程

复变函数论只研究一类函数——解析函数（复可导），但这一个条件的后果好得不像话：可导一次就无穷可导、局部就是幂级数、由边界值定内部值……本页先讲清"复可导为什么这么强"：答案藏在 Cauchy–Riemann 方程里。

共形映射：z\mapsto z^2 或 e^z 把方格网变形、但保持角度不变（可用 matplotlib 画网格变换）。 — 图 complex-01.1共形映射：\(z\mapsto z^2\) 或 \(e^z\) 把方格网变形、但保持角度不变（可用 matplotlib 画网格变换）。

1. 复可导：一个苛刻得多的条件

定义 \(f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) 在 \(z_0\) 可导：\(f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}\)。形式与实函数一样，杀伤力在极限过程：\(\Delta z\) 可以沿复平面任何方向趋零，所有方向必须给出同一个极限——二维的自由度全被锁死（对比数分 V：多元实函数各偏导存在远不足以可微；复可导比"可微"还强得多）。在区域内处处可导称解析（全纯）。

定理（Cauchy–Riemann 方程） \(f = u(x,y) + iv(x,y)\) 在一点可导 \(\iff\) \(u, v\) 可微且

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

推导（两行，必会）：沿实轴 \(\Delta z = \Delta x\) 求极限得 \(f' = u_x + iv_x\)；沿虚轴 \(\Delta z = i\Delta y\) 得 \(f' = v_y - iu_y\)；两者相等，实虚部各自对齐即 C–R。\(\blacksquare\)

几何读法：C–R ⟺ Jacobi 矩阵形如 \(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}\) = 旋转 × 伸缩——解析映射在导数非零处保角（保持曲线夹角，共形映射的出身；这类"旋转伸缩"矩阵正是复数乘法的矩阵表示，高代呼应）。

名反例：\(f(z) = \bar z\)（处处不可导——C–R 给 \(1 = -1\)）；\(|z|^2\) 只在原点可导。含 \(\bar z\) 的表达式基本无缘解析——解析函数是"纯 \(z\) 的函数"。

2. 调和函数：解析的实部与虚部

解析函数的 \(u, v\) 都满足 Laplace 方程 \(u_{xx} + u_{yy} = 0\)（对 C–R 交叉求导即得）——称调和函数。反之，单连通域上任一调和 \(u\) 都可配出共轭调和 \(v\) 使 \(u + iv\) 解析（用 C–R 积分出 \(v\)，例 2 演示）。

🔗 这是复变与物理/PDE 的接口：平面静电场、稳态温度场、理想流体的势都调和——解析函数论 = 平面位势理论的语言（PDE 页 Laplace 方程再会）。

3. 初等函数：熟脸的复身份

指数 \(e^z = e^x(\cos y + i\sin y)\)（Euler 公式为定义之本）：处处解析，\((e^z)' = e^z\)，但以 \(2\pi i\) 为周期——实函数没有的新性格，也是对数多值的根源。

三角 \(\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\)：复平面上 \(|\cos z|\) 无界（\(\cos(iy) = \cosh y \to \infty\)）——"有界性"是实轴的错觉。

对数（多值性的大本营）：\(\mathrm{Ln}\, z = \ln|z| + i(\arg z + 2k\pi)\)——无穷多值，相邻枝差 \(2\pi i\)。取主辐角 \(\arg z \in (-\pi, \pi]\) 得主值 \(\ln z\)，在割破负实轴的平面上解析。幂 \(z^a = e^{a\,\mathrm{Ln}z}\) 一般多值（\(i^i = e^{-\pi/2 - 2k\pi}\)——全是实数，复变第一惊奇）。

多值处理的纪律：算之前先选定单值分支（割线 + 主值），跨越割线必换枝——留数计算实积分时（复变 III）这是主要坑源。

4. 典型例题

例 1（C–R 判可导） \(f(z) = x^2 + iy^2\)：C–R 要求 \(2x = 2y\) 且 \(0 = 0\)——仅在直线 \(y = x\) 上可导，无处解析（解析需要邻域）。"可导点集"与"解析区域"的区别一题看清。

例 2（共轭调和全流程） \(u = x^2 - y^2 + x\)，求 \(v\) 使 \(f = u + iv\) 解析。解：\(v_y = u_x = 2x + 1 \Rightarrow v = 2xy + y + \varphi(x)\)；再 \(v_x = 2y + \varphi' = -u_y = 2y \Rightarrow \varphi' = 0\)。故 \(v = 2xy + y + C\)，且 \(f = z^2 + z + iC\)（拼回 \(z\) 的表达式验明正身）。

例 3（多值实算） 解方程 \(e^z = -1\)：\(z = \mathrm{Ln}(-1) = i(\pi + 2k\pi)\)——实数世界"无解"的方程在复平面有一列解；\(e^{i\pi} = -1\) 是 \(k = 0\) 枝。\(\blacksquare\)

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