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数分 VI · 多元积分学

数学分析的终章：积分从区间推广到平面区域、空间体、曲线与曲面，最后 Green–Gauss–Stokes 三大公式把"区域内部的积分"与"边界上的积分"接通——它们是 Newton–Leibniz 公式在高维的化身，也是现代数学"边界算子与微分算子对偶"思想的第一次露面。

先修：一元积分、多元微分与 Jacobian、行列式与面积缩放。先分清标量面积、定向与覆盖，再看边界定理；相关物理例见Maxwell 方程。

学习层：换坐标时，面积到底被数了几次？

1. 具体情境：把一个圆盘摊成参数矩形

设 \(T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))\)。换变量不是把 \(dx\,dy\) 换成一串“看起来像长度”的符号，而是要回答三件事：一个小参数矩形的方向是否被翻转，面积被放大了多少，以及像中的一点有几个原像。极坐标

\[ T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta),\qquad \det DT=r \]

把 \([0,R]\times[0,2\pi)\) 映到圆盘；\(r=0\) 的整条边被压成原点，若把角区间暂时闭合，\(\theta=0\) 与 \(2\pi\) 两条边映到同一射线；半开约定只保留其中一条。它不是处处一一对应的矩形到圆盘微分同胚，但这些例外是零面积边界，且圆盘内部几乎处处只有一个原像。

2. 先预测：打开实验前交出三个判断

  1. 若 \(T(u,v)=(-u,v)\) 把单位正方形反射过去，积分 \(\iint 1\,dx\,dy\) 应该使用 \(\det DT=-1\)，还是 \(|\det DT|=1\)？
  2. 极坐标把 \(r=0\) 的整条边映到原点，是否意味着圆盘的面积公式因此失效？
  3. 让 \(\theta\) 跑满 \(4\pi\) 时，参数域里的 \(\iint |J|\,dr\,d\theta\) 与圆盘面积之间应相差一个什么因子？

3. 最小模型：三本账不能混写

先用一个条件完整的版本：设 \(U,V\subset\mathbb R^2\) 为开集，\(T:U\to V\) 为 \(C^1\) 微分同胚（双射且逆也为 \(C^1\)），\(f\) 是 \(V\) 上的非负可测函数，或 \(f\in L^1(V)\)。则

\[ \iint_{T(U)}f(x,y)\,dx\,dy =\iint_U f(T(u,v))\,|\det DT(u,v)|\,du\,dv. \]

非负版本允许两边同为 \(+\infty\)；有正负号时要求绝对可积。极坐标可先取 \(0<r<R,0<\theta<2\pi\)，它微分同胚到删去原点和一条射线的开圆盘，再用零测集不改变积分补回；不能凭一句“几乎处处一一”省略全部正则性条件。

绝对值来自无向面积；若计算的是带定向的二次微分形式或有向面积，则保留带符号的 Jacobian，反射会贡献负号。第二本账是覆盖重数：一般面积公式把参数域积分写成像域上对原像求和；若每个正则像点有 \(m\) 个原像，参数域积分会把该点计数 \(m\) 次。例如参数域由有限个单射的 \(C^1\) 正则片组成（接缝及其像为零测集），逐片换元后相加给出

\[\int_U f(T(u))\lvert\det DT(u)\rvert\,du=\int f(y)N(y)\,dy,\]

其中 \(N(y)\) 是覆盖次数。若 \(N(y)\) 随位置变化，就不能用一个常数去除整个积分；要逐点按重数处理，或选择不重叠的像片。

第三本账是定义域。极坐标圆盘应取 \(0\le r\le R\)、长度为 \(2\pi\) 的半开角区间；原点和接缝只影响边界/零测集。若把 \(r\) 允许为负，\((r,\theta)\) 与 \((-r,\theta+\pi)\) 会重复覆盖；若角度跑两圈，则圆盘内部几乎处处被覆盖两次。

4. 静态后备：先看映射账本，再看数值图

无 JavaScript 时的静态读法：对 \(f\equiv1\)，单位正方形恒等映射的带符号面积与几何面积都是 \(1\)；反射映射的带符号面积为 \(-1\)，但几何面积仍为 \(1\)，所以普通二重积分必须取绝对值。半径为 \(R\) 的圆盘面积是 \(\pi R^2\)。极坐标一圈的 Jacobian 积分为

\[ \int_0^{2\pi}\int_0^R r\,dr\,d\theta=\pi R^2, \]

而两圈为 \(2\pi R^2\)，因为圆盘内部几乎处处被覆盖两次；除以覆盖重数 \(2\) 才回到一次面积。

映射/参数域 \(\int J\)（有向） \(\int \lvert J\rvert\)（参数账） 像域一次面积 覆盖判断
恒等映射，单位正方形 \(1\) \(1\) \(1\) 一一对应
反射 \((u,v)\mapsto(-u,v)\) \(-1\) \(1\) \(1\) 一一对应但反向
极坐标一圈，\(0\le r\le R\) \(\pi R^2\) \(\pi R^2\) \(\pi R^2\) 除原点/接缝外一一
极坐标两圈，\(0\le r\le R\) \(2\pi R^2\) \(2\pi R^2\) \(\pi R^2\) 几乎处处二重覆盖

实验揭示后可以调 \(R\in[0.25,2.5]\)、选择反射或极坐标，并把一圈改成两圈。图中参数片 \(R/2\le r\le R,\ \pi/6\le\theta\le\pi/3\) 的像是扇环，其一次面积为 \(\pi R^2/16\)；两圈时再加 \(2\pi\) 的参数片落在同一扇环。标记点的两个参数记录是 \((3R/4,\pi/4)\) 与 \((3R/4,9\pi/4)\)，像点相同。两块参数片是覆盖证据，不是两个不同的像区域。

5. 定理假设与失效边界：何时能直接套公式？

  • 局部条件：经典公式通常在 \(C^1\) 映射、非退化 Jacobian 的局部区域上建立；全局使用时还要处理边界、可测性、可积性以及单射/有限覆盖分解。\(J=0\) 的点不是自动“非法”，但不能把它当作局部可逆的普通点。
  • 绝对值不是装饰：普通 Lebesgue/Riemann 面积积分不随参数方向改变；只有有向积分、微分形式或定向流形上的积分才保留符号。
  • 重数不是误差项：非单射映射可按原像求和，或在覆盖重数恒定的区域除以重数；有限个实验点只能显示当前映射的计数，不能替代一般的面积公式。
  • 极坐标边界：原点的退化和角接缝是本例的结构性例外；对含原点的奇异被积函数，还必须另行检查可积性，不能只看 \(r\,dr\,d\theta\)。

这些固定模型的面积和覆盖关系有上面的解析推导，实验把计算和点对画出来；它没有证明任意映射都满足换元条件。

6. 三道迁移题

  1. 单位圆盘上积分 \(f(x,y)=x^2+y^2\)，若使用两圈极坐标，参数积分与像域一次积分分别是多少？为什么仍须除以 2？
  2. \(f(x,y)=(x^2+y^2)^{-p/2}\) 在单位圆盘原点附近何时可积？“原点是零测集”为什么不能自动保证答案有限？
  3. 在环域 \(1\le x^2+y^2\le4\) 上，\(F=(-y,x)/(x^2+y^2)\) 的旋度为零。求外圈逆时针、内圈顺时针及整个边界的环积分。能否据此说 \(F\) 在环域有单值势函数？
展开三道迁移题答案
  1. 参数积分 \(\int_0^{4\pi}\int_0^1 r^3\,dr\,d\theta=\pi\)；像域一次积分为 \(\pi/2\)。每个非零像点被计数两次，乘上的 \(f=r^2\) 不会消掉覆盖重数。
  2. 极坐标给出 \(2\pi\int_0^1 r^{1-p}\,dr\)，恰在 \(p<2\) 时有限，值为 \(2\pi/(2-p)\)。\(p=2\) 为对数发散；\(p>2\) 也发散。问题来自原点附近每一个小环带的累积，不是原点处单独取什么值。
  3. 沿任意半径的逆时针圆周，\(F\cdot dr=d\theta\)，所以外圈 \(2\pi\)，内圈顺时针 \(-2\pi\)，总边界为零，与 Green 一致。外圈本身仍有非零环积分，因此没有全局单值势；Green 的带洞版本与无旋场势函数问题不能混为一谈。

1. 重积分

三角区域换积分次序，以及上半圆补边后的正向边界
图 6.1左：同一个三角区域，竖切读成 \(x\le y\le1\)，横切读成 \(0\le x\le y\)。右：上半圆从右向左走，补上从左向右的直径，区域始终在左侧；闭合积分还须减去补边贡献。对应例 1、例 2。

定义：把区域分割成小块，以函数值乘小块面积后求和，再取网格趋细的极限。Riemann 版本可在有界 Jordan 可测区域（边界零面积）上使用；其闭包上连续的函数可积。Lebesgue 版本在可测区域上讨论，并单独检查可积性。只有 \(f\ge0\) 时 \(\iint_D f\,dA\) 才是区域与曲面间的普通体积；有正负时是带符号的累计量，例如单位正方形上 \(f=x-y\) 的积分为零，却并非处处没有高度。

计算三板斧：

1. 化累次（Fubini/Tonelli）：把函数乘区域示性函数放到矩形上。非负可测时 Tonelli 允许换序（可为无穷）；绝对可积时 Fubini 保证两种累次积分一致，内积分只需几乎处处存在。带正负但不绝对可积时不能无条件换序。\(X\)-型区域 \(\iint_D f\,d\sigma = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f\,dy\)。交换积分次序是高频操作：画出区域→按另一变量重新描述边界（有些积分只有换序后才积得动，如 \(\int_0^1 dx\int_x^1 e^{-y^2}dy\)）。

不能换序的反例：在 \((0,1]^2\) 取 \(f=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2\)。固定 \(x>0\)，因为 \(f=\partial_y[y/(x^2+y^2)]\)，先积 \(y\) 得 \(1/(1+x^2)\)，再积 \(x\) 得 \(\pi/4\)；固定 \(y>0\)，先积 \(x\) 得 \(-1/(1+y^2)\)，再积 \(y\) 得 \(-\pi/4\)。两次累次积分都存在却不同：原点附近 \(|f|\,dA=|\cos2\theta|\,dr\,d\theta/r\) 不可积，Fubini 的绝对可积条件恰在此失效。

2. 变量替换：

\[ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'} f\big(x(u,v), y(u,v)\big)\,\Big|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Big|\,du\,dv \]

Jacobi 行列式 = 局部面积缩放率（🔗 与数分 V 隐函数定理、概率页"随机变量变换的密度公式"、归一化流同源）。极坐标 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)；柱坐标 \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\)；球坐标取 \(x=\rho\sin\varphi\cos\theta,y=\rho\sin\varphi\sin\theta,z=\rho\cos\varphi\)，其中 \(\rho\ge0,0\le\varphi\le\pi,0\le\theta<2\pi\)，则 \(dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\)。\(\varphi\) 是从正 \(z\) 轴量起的极角；若换成纬度，Jacobian 就不能照抄。

3. 对称性：区域对称 + 被积函数奇偶性，先砍再算；轮换对称性（\(x,y,z\) 地位对等时 \(\iiint x^2 = \frac13\iiint(x^2+y^2+z^2)\)）。

名例（高斯积分）：非负性允许先用 Tonelli，再取不断扩大的圆盘极限。\(I = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\)，则 \(I^2 = \iint e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy \xrightarrow{\text{极坐标}} \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr\,d\theta = \pi\)，故 \(I = \sqrt\pi\)。🔗 概率论正态分布的入场券。

2. 曲线积分

下面曲线取分段 \(C^1\) 正则参数化，被积场连续。参数若重复走同一条曲线，会重复累计；“与方向无关”不等于“与走过次数无关”。

第一类（对弧长，标量场）：\(\int_L f\,ds\)，物理原型是曲线质量。计算：参数化后 \(ds = \sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt\)。与方向无关。

第二类（对坐标，向量场）：\(\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\)，物理原型是做功。与方向有关（反向变号）。计算：参数化直接代入。

两类关系：\(\int_L \mathbf F \cdot d\mathbf r = \int_L (\mathbf F \cdot \boldsymbol\tau)\,ds\)（\(\boldsymbol\tau\) 为单位切向量）。

3. 曲面积分

正则参数片 \(r(u,v)\) 满足 \(r_u\times r_v\ne0\)；面积元为 \(dS=\|r_u\times r_v\|\,du\,dv\)，有向面积元为 \(d\mathbf S=(r_u\times r_v)\,du\,dv\)。前者取长度，后者保定向；交换参数次序会改变后者符号。多片覆盖要避免重复计数。

第一类（对面积）：\(\iint_S f\,dS\)，\(z = z(x,y)\) 时 \(dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dx\,dy\)。

第二类（对坐标，通量）：\(\iint_S \mathbf F \cdot d\mathbf S = \iint_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS\)，物理原型是流量穿过曲面。依赖侧的选取（法向定向）。计算：投影法逐分量，或统一化为第一类。

4. 三大公式（本页顶点）

定理（Green 公式） 设 \(D\) 为有界平面区域，边界由有限条分段 \(C^1\) 简单闭曲线组成，\(P,Q\) 在包含 \(\overline D\) 的开邻域上为 \(C^1\)。边界按“区域始终在行进方向左侧”定向：外边界逆时针，孔的内边界顺时针。允许有孔：

\[ \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \Big(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Big)\,d\sigma \]

定理（Gauss 公式 / 散度定理） 设 \(\Omega\) 为有界体域，边界分片光滑，\(F\in C^1\) 于包含 \(\overline\Omega\) 的开邻域；\(\partial\Omega\) 取相对于体域的外法向（孔洞处指向洞内）：

\[ \oiint_{\partial\Omega} \mathbf F\cdot d\mathbf S = \iiint_\Omega \nabla\cdot\mathbf F\,dV, \qquad \nabla\cdot\mathbf F = P_x + Q_y + R_z\ \text{（散度）} \]

定理（Stokes 公式） 设 \(S\) 为紧致、可定向、分片光滑曲面，边界分段光滑；\(F\in C^1\) 于曲面的开邻域，法向与边界行进方向按右手规则一致：

\[ \oint_{\partial S} \mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S \qquad (\nabla\times\mathbf F\ \text{为旋度}) \]

为什么内部项会变成边界项？ 对小矩形 \([a,b]\times[c,d]\)，先对 \(Q_x\) 积分得到右边减左边，再对 \(-P_y\) 积分得到下边减上边，正好是逆时针的四边积分。拼接相邻矩形或光滑小片时，共用边的两个方向相反，内部边彼此抵消，只剩真正边界；孔边因此方向相反。Gauss 把通量面的这种抵消推广到小体块，Stokes 则在曲面参数片上做同样的拼接。严格推广还须极限与正则性条件。

统一读法：三条都是

\[ \int_{\text{区域}} (\text{导数型量}) = \int_{\text{边界}} (\text{原量}) \]

——Newton–Leibniz（\(\int_a^b F' = F(b) - F(a)\)：区域 = 区间，边界 = 两个端点）的高维推广；在微分形式语言下三者是同一条广义 Stokes 公式 \(\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\)（微分几何页的预告）。

选方法：先比较边界上的场与区域内的导数哪个更简单，再决定是否用边界定理。曲线可补线段形成闭路，曲面可补面形成闭面，但都须保持正确方向，最后减去补上的积分；被积函数在内部有奇点（如 \(\frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}\) 围原点）时不能直接用，挖洞处理。

5. 保守场与路径无关

先设 \(D\) 是开、连通区域，\(F=(P,Q)\in C^1(D)\)。存在单值势函数、所有分段光滑路径的积分只由端点决定、任意闭路积分为零，这三者等价，不要求单连通。由路径无关定义 \(u(x)=\int_{x_0}^xF\cdot dr\)，沿很短坐标线段求导就得到 \(\nabla u=F\)；反向由一元微积分基本定理直接成立。

无旋条件 \(Q_x=P_y\) 是必要的；若 \(D\) 再单连通，它也是充分的。因此在单连通开域上四种说法等价。单连通是对任意无旋场作此保证的充分条件，不是某个场有势函数的必要条件：环域上的常向量场 \((1,0)=\nabla x\) 就有势，而 \((-y,x)/(x^2+y^2)\) 没有。三维在单连通开域上相应使用 \(\nabla\times F=0\)。求势可沿域内允许的路径积分，不能让所谓折线路径穿出定义域。

场论速查：梯度 \(\nabla f\)（标量→向量）、散度 \(\nabla\cdot\mathbf F\)（向量→标量，源强度）、旋度 \(\nabla\times\mathbf F\)（向量→向量，涡强度）；在所涉及函数为 \(C^2\) 时，混合偏导可交换，给出恒等式 \(\nabla\times(\nabla f)=0\)、\(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0\)；\(\nabla\cdot\nabla f = \Delta f\)（Laplace 算子，PDE 页的主角）。

6. 典型例题

例 1（换序救场） 计算 \(\int_0^1 dx\int_x^1 e^{-y^2}dy\)。 解：\(e^{-y^2}\) 无初等原函数，换序：区域为 \(0\leq x\leq y\leq 1\)，\(= \int_0^1 e^{-y^2}\Big(\int_0^y dx\Big)dy = \int_0^1 y e^{-y^2}dy = \frac{1 - e^{-1}}{2}\)。

例 2（Green 公式 + 补线） 计算 \(\int_L (x^2 - y)\,dx + (x + \sin y)\,dy\)，\(L\) 为上半圆 \(y = \sqrt{1 - x^2}\) 从 \((1,0)\) 到 \((-1,0)\)。 解：补线段 \(\overline{(-1,0)(1,0)}\) 成闭合（注意方向凑成正向），Green：\(Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2\)，\(\oint = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\)。再减补线贡献：线段上 \(y = 0, dy = 0\)，\(\int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac23\)。故原积分 \(= \pi - \frac23\)。

例 3（Gauss 公式） 求 \(\oiint_S (x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy)\)，\(S\) 为球面 \(x^2+y^2+z^2 = R^2\) 外侧。 解：散度 \(= 3\)，Gauss 给 \(3 \cdot \frac43\pi R^3 = 4\pi R^3\)。（顺带记住：这个积分 \(= 3V\)，是"用边界积分算体积"的通用公式。）\(\blacksquare\)

例 4（Stokes 的定向检验） 取 \(F=(-y/2,x/2,0)\)，\(S\) 为 \(z=1-x^2-y^2\ge0\) 的抛物面帽，法向向上。旋度为 \((0,0,1)\)，投影到单位圆盘给出 \(\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS=\pi\)。边界从上方看逆时针，参数 \((\cos t,\sin t,0)\)，\(F\cdot dr=\tfrac12dt\)，同样得到 \(\pi\)。若法向改向下，边界也须改顺时针，两边一起变成 \(-\pi\)；只改一边会破坏等式。

7. 继续阅读

Toronto MAT237 换变量讲义说明开集、可逆 \(C^1\) 映射与 Jacobian 的作用；MIT 18.022 Green 公式明确内外边界定向与内部边抵消。进入电磁学与流体力学前，应能同时说清积分对象、积分区域、方向和场的奇点。