数分 I · 实数完备性与极限

整座分析大厦立在一块地基上：实数没有"洞"（完备性）。本页先立地基（六大等价定理），再建两层楼：数列极限与函数极限，收尾于连续函数的四大定理。

先修与去向：先会解实数不等式、理解集合与“任意/存在”。本页之后读一元微分与一元积分；一般度量空间中的完备性见Banach 空间。

1. 实数完备性：六大等价定理

定义（上确界） 非空集 \(S \subset \mathbb{R}\) 的上确界 \(\sup S\) 是最小的上界：1. \(\forall x \in S,\ x \leq \sup S\)；2. \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in S,\ x > \sup S - \varepsilon\)。下确界 \(\inf S\) 对偶。

下面先工作在 Archimedes 有序数域的背景中（自然数无上界），闭区间都非空且端点属于该域；不能把 Cauchy 完备性单独搬到一般非 Archimedes 域后仍宣称同一等价链。在此背景下，以下六条两两等价，共同刻画"实数轴无洞"（在 \(\mathbb Q\) 中，用有理数从两侧夹逼 \(\sqrt2\) 可构造失败实例；极限、聚点与覆盖都须相对于 \(\mathbb Q\) 来理解）：

证明环路思路（复习时能画出这个环即算过关）：确界 ⇒ 单调有界（递增有上界数列收敛到其上确界，用确界的第 2 条验证 ε-N）⇒ 闭区间套（左端点递增有上界）⇒ 聚点（对有界数列所在区间反复二分，每次选含无穷多项的一半，区间套出聚点）⇒ Cauchy（Cauchy 列有界 → 有收敛子列 → Cauchy 性把全列拖向子列极限）⇒ 确界（对上界集合二分构造）。有限覆盖与闭区间套互推（反证：无有限子覆盖则二分出一列"坏区间"套向一点，该点的覆盖元即矛盾）。

🔗 AI 衔接：Cauchy 准则是"迭代算法收敛性"的原型语言；压缩映射原理（泛函页）与梯度下降的收敛证明都建在完备性上。

2. 数列极限

定义（\(\varepsilon\)-\(N\)） \(\lim_{n\to\infty} a_n = A \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n > N:\ |a_n - A| < \varepsilon\)。

基本性质：极限唯一；收敛必有界；保号性（\(A > 0\) 则从某项起 \(a_n > \frac{A}{2} > 0\)）；保不等式；夹逼定理（\(a_n \leq c_n \leq b_n\) 且两端同趋 \(A\) ⇒ \(c_n \to A\)）；四则运算（分母极限非零）。

子列：\(a_n \to A \iff\) 每个子列都 \(\to A\) \(\iff\) 奇偶子列同趋 \(A\)。逆否用法：找到两个极限不同的子列 ⇒ 发散（如 \((-1)^n\)）。

重要极限与技巧：

定理（Stolz，\(\tfrac{*}{\infty}\) 型） \(\{b_n\}\) 严格递增趋于 \(+\infty\)，若 \(\lim \dfrac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L\)（可为 \(\pm\infty\)），则 \(\lim \dfrac{a_n}{b_n} = L\)。——数列版洛必达，处理平均值型极限的首选（例：\(a_n \to a \Rightarrow \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \to a\)，取 \(b_n = n\) 秒杀）。

上极限与下极限：\(\varlimsup a_n = \lim_{n\to\infty} \sup_{k \geq n} a_k\)（在扩展实数中取最大的子列极限；若数列有界，该极限有限）。收敛 \(\iff \varlimsup = \varliminf\) 有限。用途：不假设收敛时也能操作（级数根值判别法的严格形式用的就是它）。

3. 函数极限

定义域先行。设 \(f:D\to\mathbb R\)，\(x_0\) 是 \(D\) 的聚点，即每个穿孔邻域都含 \(D\) 中的点。以下所有 \(x\) 均限于 \(D\)。缺少聚点条件时，极限不等式可能对任意 \(A\) 空真，唯一性便无从谈起。

定义（\(\varepsilon\)-\(\delta\)） \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon\)。（注意挖掉 \(x_0\) 本身；单侧极限、\(x\to\infty\) 版本同构。）

定理（Heine 归结原则） \(\lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff\) 对任何以 \(x_0\) 为极限、满足 \(x_n\in D\setminus\{x_0\}\) 的数列 都有 \(f(x_n) \to A\)。——函数极限与数列极限的换乘站；证函数极限不存在的利器（找两条数列路径极限不同，如 \(\sin\frac1x\) 在 \(0\) 处）。

两个重要极限：

无穷小的阶：\(f = o(g)\) 指 \(f/g \to 0\)；\(f = O(g)\) 指 \(f/g\) 有界；\(f \sim g\) 指 \(f/g \to 1\)。等价无穷小替换（乘除可换、加减慎换）速查（\(x \to 0\)）：

4. 连续函数

定义 对 \(x_0\in D\)，连续指 \(\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D\)，\(|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)。当 \(x_0\) 还是 \(D\) 的聚点时，才可等价写成 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)；孤立点按相对定义自动连续。以下间断点分类用于区间内部：间断点分类：第一类（左右有限极限都存在：相等但与点值不符或该点未定义为可去，不等为跳跃）、第二类（至少一侧极限不存在，如振荡 \(\sin\frac1x\)、无穷 \(\frac1x\)）。

闭区间上连续函数四大定理（全部依赖完备性，开区间/不连续均有反例）：

定理 1（有界性） \(f \in C[a,b]\) 必有界。思路：反证，取 \(|f(x_n)| > n\)，B–W 抽收敛子列 \(x_{n_k} \to \xi\)，连续性给出 \(f(x_{n_k}) \to f(\xi)\) 有限，矛盾。

定理 2（最值） \(f \in C[a,b]\) 必取到最大最小值。思路：设 \(M = \sup f\)（定理 1 + 确界原理），取 \(f(x_n) \to M\)，B–W 子列收敛到 \(\xi\)，连续性得 \(f(\xi) = M\)。

定理 3（介值 / 零点存在） 在 \(f\in C[a,b]\)、\(a<b\) 下，\(f(a)f(b) < 0 \Rightarrow \exists \xi \in (a,b),\ f(\xi) = 0\)；一般地连续函数取遍两端点值之间的一切值。思路：二分法 + 闭区间套（每次选变号的一半），或对 \(\{x: f(x) < 0\}\) 用确界。

定理 4（Cantor 一致连续） \(f \in C[a,b] \Rightarrow f\) 在 \([a,b]\) 一致连续（\(\delta\) 只依赖 \(\varepsilon\) 不依赖位置：\(\forall\varepsilon\,\exists\delta:\ |x'-x''|<\delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon\)）。思路：反证 + B–W，或用下述“半径先减半”的有限覆盖证明。

具体地，给定 \(\varepsilon>0\)，对每个中心 \(c\) 选 \(r_c>0\)，使 \(|x-c|<r_c\) 时 \(|f(x)-f(c)|<\varepsilon/2\)。取半径 \(r_c/2\) 的相对邻域覆盖 \([a,b]\)，再选有限子覆盖，令 \(\delta=\min_i r_{c_i}/2>0\)。若 \(x\) 落在第 \(i\) 个半径减半的邻域内且 \(|y-x|<\delta\)，则 \(|y-c_i|<r_{c_i}\)；三角不等式给出 \(|f(y)-f(x)|<\varepsilon\)。不能只说“把几个局部半径取最小”，还要保证两个待比点落在同一个受控大邻域中。

对比记忆：\(f(x) = \frac1x\) 在 \((0,1)\) 连续但不一致连续（洞被挤压）；\(\sqrt{x}\) 在 \([0,+\infty)\) 一致连续（导数无界≠不一致连续）。

5. 典型例题

例 1（递推数列，单调有界法标准流程） \(a_1 = \sqrt{2},\ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}\)，证明收敛并求极限。 解：1.归纳证有界：\(a_n < 2\)（若 \(a_n<2\) 则 \(a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} < \sqrt{4} = 2\)）；2.证递增：\(a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + a_n - a_n^2 = (2-a_n)(1+a_n) > 0\)；3.单调有界定理知收敛，设 \(A\)，对递推式取极限 \(A = \sqrt{2+A}\)，解得 \(A = 2\)（负根舍）。流程"先证存在，再解方程"不可颠倒——对发散数列解方程会得到假极限。

例 2（Stolz） 求 \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{1 + \frac12 + \cdots + \frac1n}{\ln n}\)。 解：Stolz，\(\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \dfrac{1/(n+1)}{\ln(1 + 1/n)} \to \dfrac{1/(n+1)}{1/n} \to 1\)。

例 3（Heine 判不存在） 证明 \(\lim_{x\to 0}\sin\frac1x\) 不存在：取 \(x_n = \frac{1}{2n\pi} \to 0\) 与 \(y_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2} \to 0\)，则 \(\sin\frac{1}{x_n} = 0\)、\(\sin\frac{1}{y_n} = 1\)，两条路径极限不同。\(\blacksquare\)

定义与证明来源

• Jiří Lebl：连续函数：定义域、聚点与相对连续性；可对照孤立点为何不应机械套用穿孔极限。
• UC Davis：实分析主题提要：有序域、确界与 Archimedes 性。
• Todorov 与 Vernaeve：Completeness of Ordered Fields：不同完备性概念的等价背景和非 Archimedes 情形边界。

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