本页目录

高代 IV · 线性空间与线性映射

本页是高等代数的观念顶点：把"向量"公理化（不再只是数组——多项式、函数、矩阵都是向量），把"矩阵"重新定义为线性映射在选定基下的照片。想通"换基 = 换照片角度、相似 = 同一映射的不同照片"，高代 V 的标准形理论就有了灵魂。

图 algebra-04.1线性映射把一组基/网格变成另一组（方格→平行四边形网格）。

1. 线性空间

定义数域 \(P\) 上的线性空间 \(V\)：配备加法与数乘、满足八条公理（加法交换结合、有零元负元、数乘结合分配、\(1\cdot v = v\)）的集合。

例子清单（体会公理化的威力）：\(P^n\)；\(m\times n\) 矩阵全体；次数 \(< n\) 的多项式 \(P[x]_n\)；\([a,b]\) 上连续函数 \(C[a,b]\)（无限维）；齐次方程组解集。

子空间：对加法数乘封闭的非空子集。判定只需验封闭性。重要构造：生成子空间 \(\mathrm{span}(\alpha_1,\dots,\alpha_s)\)；和 \(V_1 + V_2 = \{v_1 + v_2\}\) 与交 \(V_1 \cap V_2\)（并集一般不是子空间！）。

定理（维数公式）

\[ \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) \]

思路：取交的基，分别扩充为 \(V_1\)、\(V_2\) 的基，证拼起来是和的基（容斥的线性代数版）。

直和 \(V_1 \oplus V_2\)：\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)，等价于"分解唯一"、"维数相加"。空间按直和拆解 = 问题按分量拆解——高代 V 特征子空间分解、Jordan 理论的组织原则。

2. 基、维数与坐标

基：线性无关的生成组；维数 = 基的元素个数（与基的选取无关——需证任意两基等长，替换定理）。基选定后每个向量有唯一坐标：\(v = \sum x_i \varepsilon_i \mapsto x = (x_1,\dots,x_n)^\top\)——任何 \(n\) 维空间坐标化后就是 \(P^n\)（同构），抽象向量从此可以用数组计算。

基变换与坐标变换：新基 \((\eta_1,\dots,\eta_n) = (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\,T\)（\(T\) 为过渡矩阵，可逆），则同一向量的坐标变换为

\[ x_{\text{旧}} = T\, x_{\text{新}} \]

（方向容易记反：基"正着"变，坐标"反着"变——基向量变大，坐标数值变小，协变/逆变的第一次照面。）

3. 线性映射与线性变换

定义 \(\mathcal{A}: V \to W\) 满足 \(\mathcal{A}(k\alpha + l\beta) = k\mathcal{A}\alpha + l\mathcal{A}\beta\)。\(V = W\) 时称线性变换。

核与像：\(\ker\mathcal{A} = \{v: \mathcal{A}v = 0\}\)（子空间，衡量"压缩掉多少"）；\(\mathrm{Im}\,\mathcal{A} = \mathcal{A}(V)\)（子空间，衡量"到达多少"）。单射 \(\iff \ker = \{0\}\)。

定理（秩–零度定理）

\[ \dim \ker \mathcal{A} + \dim \mathrm{Im}\,\mathcal{A} = \dim V \]

思路：取 \(\ker\) 的基扩充为 \(V\) 的基，证扩充部分的像是 \(\mathrm{Im}\) 的基。读法：定义域的维数守恒——压缩掉的 + 幸存的 = 全部。方程组语言的重述：\(n - \mathrm{rank}A\) 个自由变量（高代 II 基础解系的个数）正是 \(\dim\ker\)。有限维推论：单 \(\iff\) 满 \(\iff\) 逆（同维时）。

4. 线性映射的矩阵表示（本页顶点）

取定 \(V\) 的基 \(\{\varepsilon_i\}\)，线性变换 \(\mathcal{A}\) 由它在基上的作用完全决定：

\[ \mathcal{A}(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n) = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\, A \]

\(A\) 的第 \(j\) 列 = \(\mathcal{A}\varepsilon_j\) 的坐标。于是映射的复合 ↔ 矩阵乘法、映射求逆 ↔ 矩阵求逆（高代 III"乘法为什么那样定义"在此兑现）；坐标层面 \(y = Ax\)。

换基后矩阵怎么变：基经 \(T\) 变换，则同一变换 \(\mathcal{A}\) 在新基下的矩阵为

\[ B = T^{-1} A\, T \]

定义（相似） \(B \sim A \iff \exists\) 可逆 \(T:\ B = T^{-1}AT\)。——相似矩阵是同一线性变换在不同基下的照片。整个高代 V 的问题由此成立：给一个变换，找一组基让它的照片（矩阵）最简单——那就是对角化与 Jordan 标准形。

相似不变量（换照片角度不变的本质属性）：行列式、秩、迹 \(\mathrm{tr}A = \sum a_{ii}\)（\(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\) ⇒ 相似不变）、特征多项式（高代 V）。

不变子空间：\(\mathcal{A}W \subseteq W\)。若 \(V\) 可分解为不变子空间直和，矩阵呈分块对角——"找不变子空间 = 把变换拆成小块"，标准形理论的战略。

🔗 AI 衔接：神经网络的每一线性层就是一个线性映射，"表示学习"可以读作"为数据找一组好基"；嵌入空间的语义方向（ai 课 06 讲 king−man+woman）是坐标与基观念的直接应用。

5. 对偶空间一瞥

\(V\) 上全体线性函数 \(f: V \to P\) 构成对偶空间 \(V^*\)，\(\dim V^* = \dim V\)；对偶基 \(f_i(\varepsilon_j) = \delta_{ij}\)。（行向量之于列向量、梯度之于方向导数的严格出身；泛函分析页把它推向无限维。）

6. 典型例题

例 1（维数公式） \(V_1, V_2 \subset \mathbb{R}^{10}\)，\(\dim V_1 = 6, \dim V_2 = 7\)，求 \(\dim(V_1 \cap V_2)\) 的范围。解：\(\dim(V_1 + V_2) \leq 10\) ⇒ 交 \(\geq 6 + 7 - 10 = 3\)；交 \(\leq \min = 6\)。范围 \([3, 6]\)（各端可实现）。

例 2（求变换矩阵与换基） \(\mathbb{R}[x]_3\) 上求导变换 \(D\)，基 \(\{1, x, x^2\}\)：\(D1 = 0, Dx = 1, Dx^2 = 2x\)，故 \(A = \begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&2\\0&0&0 \end{pmatrix}\)（幂零——求导三次归零的矩阵表述）。换基 \(\{1, x, \frac{x^2}{2}\}\) 练一次 \(T^{-1}AT\)。

例 3（秩–零度应用） 线性变换 \(\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}\)（幂等/投影），证明 \(V = \ker\mathcal{A} \oplus \mathrm{Im}\mathcal{A}\)。解：任意 \(v = (v - \mathcal{A}v) + \mathcal{A}v\)，前者在核（验 \(\mathcal{A}(v - \mathcal{A}v) = 0\)）后者在像；交为零：\(w \in\) 两者 ⇒ \(w = \mathcal{A}u\) 且 \(\mathcal{A}w = 0\) ⇒ \(w = \mathcal{A}^2 u = \mathcal{A}w = 0\)。投影把空间干净地劈成"压掉的"与"留下的"。\(\blacksquare\)

下一页：为每个线性变换寻找"最能暴露其本性的基"——特征值、对角化与 Jordan 标准形。