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高代 II · 行列式与线性方程组

一切从解方程组开始。行列式回答"方阵方程组何时唯一可解"，Gauss 消元给出通用算法，秩的概念刻画解集结构。本页的解的结构定理是整个线性代数第一个"结构级"结果。

1. 行列式

定义（逆序数式） \(n\) 阶行列式

\[ \det A = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\tau(\sigma)}\, a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]

对全部 \(n!\) 个排列求和，\(\tau\) 为逆序数。等价的公理化定义更能说明它是什么：\(\det\) 是唯一满足 1. 对每行线性；2. 两行相等则为零；3. \(\det I = 1\) 的函数——行列式 = 规范化的有向体积（几何意义：列向量张成的平行多面体的有向体积；这也是 Jacobi 行列式出现在重积分换元里的原因，数分 VI）。

性质速查（全部由公理化定义直接推出）：

转置不变 \(\det A^\top = \det A\)（对行成立的对列全成立）；
换两行变号；某行乘 \(k\) 则值乘 \(k\)（推论 \(\det(kA) = k^n \det A\)）；
某行加上另一行的倍数值不变（消元法的合法性依据）；
\(\det(AB) = \det A \det B\)（重要！但 \(\det(A + B) \neq \det A + \det B\)）；
上/下三角行列式 = 对角元之积。

展开定理（Laplace）：\(\det A = \sum_{j} a_{ij} A_{ij}\)（按第 \(i\) 行展开），\(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\) 为代数余子式。异行展开为零：\(\sum_j a_{ij}A_{kj} = 0\ (i \neq k)\)——两条合写成 \(A \cdot \mathrm{adj}(A) = (\det A) I\)（伴随矩阵，下一页逆矩阵的来源）。

计算工具箱：消元化三角（通用）；按零多的行列展开；加边法；递推法（三对角）；Vandermonde（默写级）：

\[ \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & & & \vdots \\ x_1^{n-1} & \cdots & & x_n^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i) \]

（🔗 多项式插值唯一性、DFT 矩阵的母体。）

Cramer 法则：\(n\) 元 \(n\) 方程组 \(Ax = b\)，\(\det A \neq 0\) 时唯一解 \(x_j = \dfrac{\det A_j}{\det A}\)（\(A_j\) 为 \(b\) 替换第 \(j\) 列）。理论价值大（解对系数的连续依赖），计算价值小（\(n!\) 复杂度，实算永远用消元——🔗 数值分析页）。

2. Gauss 消元与矩阵的秩

初等行变换三种：换行、某行乘非零常数、某行加另一行的倍数。任何矩阵可经行变换化为行阶梯形，进一步化为行最简形（主元为 1、主元列其余为 0）。

定义（秩） \(\mathrm{rank}(A)\) = 行阶梯形的非零行数 = 最大非零子式的阶数 = 行/列向量组的极大线性无关组大小（三个定义等价——第三个是"本体"，前两个是算法）。

线性相关性语言（方程组理论的词汇表）：向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关 \(\iff\) 存在不全为零的 \(k_i\) 使 \(\sum k_i \alpha_i = 0\) \(\iff\) 某向量可由其余线性表出。极大线性无关组、向量组的秩、等价向量组秩相等。判定全部化归为"对拼成的矩阵消元看秩"。

3. 线性方程组解的结构（本页顶点）

方程组 \(Ax = b\)（\(m\) 个方程 \(n\) 个未知量），增广矩阵 \(\bar A = (A \mid b)\)。

定理（有解判别）

\[ Ax = b\ \text{有解} \iff \mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(\bar A) \begin{cases} = n & \text{唯一解} \\ < n & \text{无穷多解, 自由变量 } n - r \text{ 个} \end{cases} \]

齐次组 \(Ax = 0\)：解集是 \(\mathbb{R}^n\) 的子空间（解的线性组合仍是解）；基础解系含 \(n - r\) 个解向量（\(r = \mathrm{rank} A\)），通解为其线性组合。求法：行最简形中自由变量轮流取 \(1\) 其余取 \(0\)。

非齐次组：解集 = 特解 + 对应齐次组的解空间：

\[ x = x^* + c_1\xi_1 + \cdots + c_{n-r}\xi_{n-r} \]

几何图像：解集是过 \(x^*\)、方向为齐次解空间的"平面"（仿射子空间）。"通解 = 特解 + 齐次通解"这个结构在 ODE 线性方程（ODE 页）、线性递推中原样重现——线性问题的普遍范式。

🔗 AI 衔接：最小二乘（\(A^\top A x = A^\top b\)，法方程）是"无解方程组找最近解"，统计页回归的地基；秩亏损 = 特征共线性（正则化的动机之一，ai 课 01 讲岭回归）。

4. 典型例题

例 1（带参数方程组讨论） 讨论 \(\begin{cases} \lambda x + y + z = 1 \\ x + \lambda y + z = \lambda \\ x + y + \lambda z = \lambda^2 \end{cases}\) 的解。解：系数行列式 \(\det A = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\)。1. \(\lambda \neq 1, -2\)：Cramer 唯一解；2. \(\lambda = 1\)：三方程同为 \(x+y+z=1\)，\(r = r(\bar A) = 1 < 3\)，无穷解（两个自由变量）；3. \(\lambda = -2\)：\(r(A) = 2\)，\(r(\bar A) = 3\)，无解。流程：先算 \(\det\) 分参数，退化情形逐个消元。

例 2（Vandermonde 应用） \(n\) 个互异点上给定值的 \(\leq n-1\) 次插值多项式存在唯一。解：系数方程组的系数阵为 Vandermonde，互异 ⇒ \(\det \neq 0\) ⇒ Cramer 唯一解。

例 3（基础解系） 求 \(\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 - 3x_4 = 0\end{cases}\) 的基础解系。解：消元得行最简形 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}\)，自由变量 \(x_3, x_4\)：取 \((x_3, x_4) = (1,0)\) 得 \(\xi_1 = (-2, 3, 1, 0)^\top\)；取 \((0,1)\) 得 \(\xi_2 = (2, -1, 0, 1)^\top\)。通解 \(c_1\xi_1 + c_2\xi_2\)。\(\blacksquare\)

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