高代 I · 多项式
高等代数的开篇为什么是多项式？两个理由：它是"带算术结构的代数系统"最好的第一个样本（整除、辗转相除、唯一分解——与整数惊人平行，抽象代数"环论"的预演）；特征多项式、最小多项式（高代 V）的一切性质都在这里预铺。
1. 一元多项式与整除
定义 \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\)（\(a_n \neq 0\) 时 \(\deg f = n\)）。系数取自数域 \(P\)（对四则封闭的数集，如 \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)）——"在哪个数域上"贯穿全页，同一多项式在不同域上可约性完全不同。
带余除法 对 \(f, g\ (g \neq 0)\)，存在唯一的 \(q, r\)：
整除 \(g \mid f \iff r = 0\)。性质：传递性；\(g \mid f_i \Rightarrow g \mid (u_1 f_1 + u_2 f_2)\)（整除组合）。整除关系不随数域扩大而改变（带余除法的商余不依赖域）。
2. 最大公因式与互素
定义 \(d = (f, g)\)：公因式中被所有公因式整除者（首一约定唯一）。
辗转相除法（Euclid）：反复带余除法，最后一个非零余式即 \((f,g)\)；回代得 Bézout 等式：
互素 \((f,g) = 1 \iff \exists u,v:\ uf + vg = 1\)。三条高频推论（证明全靠 Bézout，一行流）：
- \(f \mid gh\) 且 \((f, g) = 1 \Rightarrow f \mid h\)；
- \(f_1 \mid g,\ f_2 \mid g,\ (f_1, f_2) = 1 \Rightarrow f_1 f_2 \mid g\)；
- \((f, g) = (f, h) = 1 \Rightarrow (f, gh) = 1\)。
3. 因式分解定理
不可约多项式：在数域 \(P\) 上不能分解为两个更低次多项式之积。类比素数；性质：\(p\) 不可约，则 \(p \mid fg \Rightarrow p\mid f\) 或 \(p \mid g\)。
定理（唯一分解） 数域上任一次数 \(\geq 1\) 的多项式可分解为不可约多项式之积，且分解在不计次序与常数因子意义下唯一。（标准分解式 \(f = c\,p_1^{r_1}\cdots p_s^{r_s}\)。）
重因式：\(p^k \mid f\) 但 \(p^{k+1} \nmid f\) 称 \(k\) 重。判别工具：
（\(p\) 是 \(f\) 的 \(k\) 重因式 ⇒ 是 \(f'\) 的 \(k-1\) 重因式。）去重技巧：\(\dfrac{f}{(f, f')}\) 与 \(f\) 有完全相同的不可约因子且全为单重——不用求根就能"洗掉"重数。
4. 根与三大数域上的分解
余数定理：\(f(x) = (x - a) q(x) + f(a)\)；\(a\) 为根 \(\iff (x-a) \mid f\)。\(n\) 次多项式在任何数域上至多 \(n\) 个根。
Vieta 公式：根与系数的关系 \(\sum x_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\)，\(\prod x_i = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}\) 等。
| 数域 | 不可约多项式形态 | 分解结论 |
|---|---|---|
| \(\mathbb{C}\) | 仅一次式 | 代数基本定理：\(n\) 次恰有 \(n\) 个复根（计重数），\(f = a_n\prod(x - z_i)\) |
| \(\mathbb{R}\) | 一次式 + 判别式负的二次式 | 复根共轭成对出现（实系数 ⇒ \(f(\bar z) = \overline{f(z)}\)），配对成二次因子 |
| \(\mathbb{Q}\) | 可有任意高次不可约 | 见下两条工具 |
（代数基本定理无纯代数证明，标准证法用复分析 Liouville 定理——复变页伏笔。）
有理根定理：整系数 \(f\) 的有理根 \(\frac{p}{q}\)（既约）必满足 \(p \mid a_0,\ q \mid a_n\)——候选有限，逐一验证即可。
Eisenstein 判别法：整系数 \(f\)，若存在素数 \(p\)：\(p \nmid a_n\)、\(p \mid a_i\ (i < n)\)、\(p^2 \nmid a_0\)，则 \(f\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。（例：\(x^n - 2\) 对任意 \(n\) 不可约 ⇒ \(\mathbb{Q}\) 上存在任意高次不可约多项式。）配合平移代换 \(x \to x + 1\) 扩大适用面（分圆多项式 \(x^{p-1} + \cdots + 1\) 的标准处理）。
5. 对称多项式一瞥
基本对称多项式 \(\sigma_1 = \sum x_i,\ \sigma_2 = \sum_{i<j} x_i x_j,\ \dots,\ \sigma_n = \prod x_i\)。
定理 任一对称多项式可唯一表示为 \(\sigma_1, \dots, \sigma_n\) 的多项式。（用途：不解根而计算根的对称函数——配合 Vieta，如求 \(\sum x_i^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)；Newton 恒等式给幂和的递推。）
6. 典型例题
例 1（Bézout 应用） 证明 \((f, g) = 1 \Rightarrow (f g, f + g) = 1\)。 解：设不可约 \(p \mid fg\) 且 \(p \mid f+g\)。由 \(p \mid fg\) 知 \(p \mid f\) 或 \(p \mid g\)；不妨 \(p \mid f\)，结合 \(p \mid f + g\) 得 \(p \mid g\)，与 \((f,g)=1\) 矛盾。
例 2（重根判别） \(f = x^4 - 2x^3 + 2x - 1\) 求重因式。 解：\(f' = 4x^3 - 6x^2 + 2\)，辗转相除得 \((f, f') = (x-1)^2\)…（实算：\(f = (x-1)^3(x+1)\)）——\(x - 1\) 为三重因式。流程：辗转相除求 \((f, f')\)，其因子重数 +1 即原重数。
例 3（Eisenstein + 平移） 证明 \(f = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 10\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。 解：直接 Eisenstein 失败；但对 \(p = 2\)：\(2 \nmid 1,\ 2 \mid 4, 6, 8, 10,\ 4 \nmid 10\)——其实直接就成立。（若不成立则尝试 \(x \to x \pm 1\) 后再验。）\(\blacksquare\)
下一页：从解线性方程组的需要出发，发明行列式与消元法——高代的"计算引擎"。