测度概率 I · 测度论语言与期望

对标：Durrett PTE §1.1–1.6 ｜ 前置：本科实变 I–III、概率 I–IV 本页把本科概率的语言全面升级为测度论版本，并配齐三件研究生日常武器：π–λ 定理（"在生成元上验证就够了"的执照）、一致可积（\(L^1\) 收敛的正确条件）、Borel–Cantelli（一切 a.s. 论证的起点）。

1. 概率空间与分布

概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) = 全测度为 1 的测度空间（实变 I 的理论整体继承）。随机变量 \(X\) = 可测函数；其分布 \(\mu = P \circ X^{-1}\) 是 \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\) 上的推前测度——"把概率从抽象空间搬到实数轴"，此后一切只与 \(\mu\) 有关的问题都可以忘掉 \(\Omega\)（换元定理：\(E[g(X)] = \int g\,d\mu\)——本科 LOTUS 的正式版）。

定理（π–λ / Dynkin） π-系（对交封闭）\(\mathcal{P}\) 生成的 σ-代数上，两个概率测度只要在 \(\mathcal{P}\) 上相等就处处相等。 【骨架】 定义 λ-系（含 \(\Omega\)、对真差与单调升极限封闭）；验证"与固定 \(A\) 相等的集合族"是 λ-系；引理"含 π-系的最小 λ-系 = 生成的 σ-代数"（对交封闭性逐层传递，两步交换论证）完成。\(\blacksquare\) 用法（每天都在用却常不自知）：分布函数决定分布（区间是 π-系）；独立性只需在生成元上验证（下一页）。"σ-代数太大没法逐一验证"的万能解药。

2. 期望 = Lebesgue 积分

三级构造（简单函数 → 非负取 sup → 拆正负部）与三大收敛定理（MCT / Fatou / DCT）整体【引用】实变 II——概率语言下逐字成立。研究生新增的关键概念是：

定义（一致可积，UI） 族 \(\{X_i\}\) 一致可积：\(\sup_i E\big[|X_i|\,\mathbb{1}_{|X_i| > M}\big] \to 0\ (M \to \infty)\)——"尾部质量被一致地压住"。（充分条件：被同一可积变量控制；或 \(\sup E|X_i|^{1+\varepsilon} < \infty\)——后者是实战最常用的验证法。）

定理（Vitali：\(L^1\) 收敛的充要刻画） \(X_n \xrightarrow{P} X\) 时：\(E|X_n - X| \to 0 \iff \{X_n\}\) 一致可积。 【骨架】 （⇐）截断 \(X_n\) 于 \(M\)：截断误差由 UI 一致控制，截断后的部分依概率收敛 + 有界 ⇒ DCT 收尾；（⇒）\(L^1\) 收敛族的尾部由单个 \(X\) 的尾部 + 收敛差控制。\(\blacksquare\) 地位：DCT 要"控制函数"，UI 只要"尾部一致小"——取期望换极限的最弱实用条件，鞅论（mt-04）与渐近统计到处是它。

3. Borel–Cantelli 引理

记 \(\{A_n\ \text{i.o.}\} = \limsup A_n = \bigcap_N\bigcup_{n \geq N} A_n\)（"无穷多个 \(A_n\) 发生"）。

定理（BC-I） \(\sum P(A_n) < \infty \Rightarrow P(A_n \text{ i.o.}) = 0\)。 【证明】 \(P(\limsup A_n) \leq P\big(\bigcup_{n\geq N} A_n\big) \leq \sum_{n \geq N} P(A_n) \to 0\)（收敛级数尾部）。\(\blacksquare\)

定理（BC-II） \(\{A_n\}\) 独立且 \(\sum P(A_n) = \infty \Rightarrow P(A_n \text{ i.o.}) = 1\)。 【证明】 对固定 \(N\)：\(P\big(\bigcap_{n=N}^{M} A_n^c\big) = \prod (1 - P(A_n)) \leq \exp\big(-\sum_N^M P(A_n)\big) \to 0\)（用 \(1 - x \leq e^{-x}\) 与级数发散）。故 \(P\big(\bigcup_{n \geq N} A_n\big) = 1\) 对每个 \(N\)，取交即得。\(\blacksquare\)

读法：概率的可加性 + 一个级数判敛 = "无穷多次发生"的 0-1 判决（独立时是精确二分法）。a.s. 结论的工业标准起手式：想证 \(X_n \to X\) a.s.，验证 \(\sum P(|X_n - X| > \varepsilon) < \infty\)（"完全收敛"）即可。

4. 收敛方式全图（研究生版）

本科概率 V 的收敛图升级版，关系与反例配齐：

• a.s. 与 \(L^p\) 互不蕴含（反例：滑动的高瘦块 \(n\mathbb{1}_{(0,1/n)}\) 是 a.s.→0 但 \(L^1\) 不收敛；"打字机序列"\(\mathbb{1}\) 块扫过 \([0,1]\) 是 \(L^1\)→0 但处处不 a.s. 收敛——两个反例是本页必背）；
• 依概率 ⇒ 有 a.s. 收敛子列（实变 III 已证）；
• 依概率 + UI ⇒ \(L^1\)（§2 Vitali）——补上图中缺的那条边。

5. 练习与要点

例 1（BC-I 应用） \(X_n\) i.i.d. 标准正态，证 \(\limsup \frac{X_n}{\sqrt{2\ln n}} \leq 1\) a.s.：尾界 \(P(X_n > (1+\varepsilon)\sqrt{2\ln n}) \leq e^{-(1+\varepsilon)^2\ln n} = n^{-(1+\varepsilon)^2}\) 可和 ⇒ BC-I。（配合 BC-II 反向可证 \(=1\)——i.i.d. 正态的极值以 \(\sqrt{2\ln n}\) 速度生长，极值理论第一课。）

例 2（UI 判别） \(X_n \sim n\,\mathbb{1}_{(0, 1/n)}\)（Fatou 反例）：\(E[X_n \mathbb{1}_{X_n > M}] = 1\ (n > M)\)——不一致可积 ✓ 与 \(L^1\) 不收敛相符；而 \(\sup E X_n^2 = n \to \infty\) 也印证"\(1+\varepsilon\) 矩判据"失效。

例 3（π–λ 用法） 证明：\(X, Y\) 的联合分布函数相等 ⇒ 联合分布相等——矩形族 \(\{(-\infty,a]\times(-\infty,b]\}\) 是 π-系且生成 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\)，π–λ 一步。\(\blacksquare\)

下一页：独立性的正式理论与两大定律——Kolmogorov 0-1 律与强大数定律（四阶矩版全证）。