使用指南：标注体系与教材对照
这是本科数学复习库的研究生续篇：15 门硕士/博士资格考级课程的讲义骨架。与本科站的关键差异：研究生内容的正确性冗余更低，所以本站执行严格的可信度标注制——你永远知道哪句话可以直接信、哪句话需要翻教材核对。
标注体系（全站铁律）
- 【证明】：完整证明，我对每一步负责——可直接用于复习与复述；
- 【骨架】：给出证明的关键步骤与结构，技术细节（长簿记、精细常数）略去——复习"思路"够用，需要全文时按骨架去对标教材找；
- 【引用】：只陈述定理，证明超出本站体例——教材章节已标明去处。
每页头部标注对标教材与章节。本站定位是"配教材的复习与导航层"，不是教材替代品——研究生阶段这不是谦虚，是对可靠性负责（无标注的研究生"讲义"你应当默认怀疑，包括 AI 写的一切）。
课程地图与对标教材
| 学科线 | 课程 | 对标教材 |
|---|---|---|
| 概率与分析 | 测度概率与鞅（4） | Durrett, Probability: Theory and Examples |
| 高维概率（4） | Vershynin, High-Dimensional Probability | |
| 随机分析（4） | Øksendal, Stochastic Differential Equations | |
| 现代 PDE（3） | Evans, Partial Differential Equations 前半 | |
| 统计与学习 | 渐近统计（3） | van der Vaart, Asymptotic Statistics 入门章 |
| 统计学习理论（4） | Shalev-Shwartz & Ben-David；Mohri et al. | |
| MDP 与强化学习数学（3） | Puterman；Szepesvári | |
| 优化与计算 | 凸优化（4） | Boyd & Vandenberghe；Nesterov 入门 |
| 数值线性代数（3） | Trefethen & Bau | |
| 矩阵分析（3） | Horn & Johnson, Matrix Analysis | |
| 信息与传输 | 信息论进阶（3） | Cover & Thomas 中后章 |
| 最优传输（3） | Peyré & Cuturi；Santambrogio 入门 | |
| 几何与代数 | 流形几何（4） | Lee, Smooth Manifolds / Riemannian Manifolds |
| 代数拓扑（3） | Hatcher 第 0–2 章 | |
| 代数进阶（3） | Artin；Dummit & Foote |
上述课程正文已收录，侧栏可直接进入各页。阅读时先用学习层的问题、例题与实验建立理解，再回到速查层核对正式定义、条件和证明结构；页面收录不代表可省略教材核查。
与本科站的关系
先修关系已内置：每页开头列出所需的本科页（如"前置：实变 I–III、泛函 I–II"）。先把本科站对应页复习到能复述，再进研究生页——研究生数学的困难九成来自本科地基不牢，这是资格考的公开秘密。两站间 🔗 互引照旧。
诚实声明（比本科站更重要）
研究生内容中我出错概率最高的地方：长技术性证明的中段细节、精细常数、非主流教材间记号差异。防线：【证明】级内容我已尽力核查，但重要用途（考试、论文引用）请对照教材原文；发现可疑处，直接把该段与教材差异告诉 AI 复核。本站的价值在骨架、导航与跨课联络——细节的最终裁判永远是教材与你自己的推导。
建议入口：概率与分析线的测度概率 I（全站地基），或按需直接跳到你正在用的课程。
研究前沿：从定理工具进入活跃问题
下面三讲是彼此可独立选择的专题课。每讲先完成一个可算的入门模型，再明确进入正式理论还需要哪些对象与技术；不把有限演示当成大定理的证明。文献核查日期为 2026-09-08，论文的首发、修订与发表状态在各页分别列出。
| 专题课 | 已有课程的起点 | 本讲要跨过的门槛 | 完成后的自测 |
|---|---|---|---|
| Schrödinger 桥与路径空间 | 最优传输与对偶、Girsanov | 从端点耦合走到整个随机过程上的相对熵 | 为什么参考过程改变，最可能的桥也会改变？ |
| 奇异 SPDE 与重整化 | 分布与弱导数、Itô 积分 | 普通乘法为何失效，需怎样定义修正后的对象 | 为什么减去发散均值仍不足以证明收敛？ |
| 几何 Langlands | 覆盖空间、群论 | 从有限群 Fourier 类比进入局部系统、层与范畴 | 2024 证明系列解决的是哪个精确版本？ |
几何 Langlands 的完整证明需要代数几何、D-模、导出范畴等需要逐步学习的先修；本讲提供可核查的概念桥梁与论文入口，不宣称一讲即可掌握证明。三讲都将经典理论、近期结果、尚待解决的问题分开标注。
连续研究课程：从基础工具到研究问题
每条线按四讲顺序推进：先建立可算对象，再检验模型条件，最后进入研究文献。讲次之间有关联；与前面的专题课可以交叉阅读。
现代数论入口
有限域上的椭圆曲线 → 椭圆曲线群与有理点 → 模形式与 q 展开 → Frobenius 与 Galois 表示。
微观到宏观
Liouville 与边缘分布 → 碰撞与 Boltzmann 方程 → 流体极限与闭合 → 波湍流与共振。
现代数论线先修群、环、域与复分析；微观到宏观线先修测度概率、常微分方程及 PDE。数论中的 Frobenius 提供算术动机，几何 Langlands 的概形、层与导出范畴仍需另外准备；请按可自测的先修路线逐项补齐。
基础衔接：先把代数与几何之间的计算接通
基础衔接目前有 21 讲：代数与几何 16 讲，随机分析 5 讲。它们不必按编号全部顺读。先用从整数分解到导出观点的连续作业诊断，再按目标选择：
- 同调代数主线：模与商 → 复形 → 张量积与 Tor → 链同伦与映射锥；Ext 可在模与分解之后接入。
- 几何主线：局部化 → 层与粘合 → Čech；局部环与切空间、联络与水平截面按后续问题选读。
- 随机分析主线：Markov 桥与 Wick 极限分别接向对应研究专题。
这些是可计算的中间工具，尚不构成完整的交换代数、代数几何或导出范畴课程。
| 先独立尝试 | 若不会，回到哪里 | 本讲完成后的下一步 |
|---|---|---|
| 解释整数乘六为何单射却不满射，模六商为何不是向量空间 | 模、商与正合性；先补本科线性空间与环论 | 局部化、表示与分解 |
| 算出模十二反演二后还剩几个元素 | 局部化 | 素谱、局部环与函数芽 |
| 写出三角形的边界矩阵，区分边框与填面 | 链复形 | 链映射、同伦与导出范畴 |
| 判断三弧局部系统是否有非零全局平坦截面 | 层与粘合 | 向量丛、联络与局部系统 |
| 从自由分解算出循环模的张量积与 Tor₁，并反驳一次成功就证明平坦 | 张量积、平坦性与 Tor | 换底、导出张量积与交点 |
| 写出 O(−3) 的 Čech 微分，逐项消去 Laurent 多项式 | Čech 与射影直线 | 层上同调、扩张与丛的模问题 |
| 区分扩张类与中间模，给出非分裂扩张 | Hom、Ext 与扩张 | 同调代数与丛的变形 |
| 算出链同伦与映射锥，区分拟同构和同伦等价 | 链同伦与映射锥 | 导出观点、分解与等价的条件 |
| 用两张仿射图粘出射影直线，核对局部态射在重叠上的兼容 | 仿射图粘合与态射 | 概形、分离性与局部到整体 |
| 从平方映射计算纤维与基变换，区分支撑点数、长度与约化性 | 纤维与基变换 | 平坦族、重数与相交的入口 |
| 比较相同双点背后的自由族与挠元族，计算乘法核和 Tor | 非平坦族与导出纤维 | 普通纤维、平坦性与导出张量的衔接 |
| 区分相切的交点长度与乘法核，计算直线自交 | 相交、接触阶与 Tor | 非横截并不自动产生高次 Tor |
| 把拟同构形式求逆并实际计算roof复合 | 导出范畴与roofs | 同伦拉回、射影提升、Ext类与锥三角 |
| 区分函数模与点支撑、holonomic与正则性 | 一般D模与奇点 | Weyl作用、特征簇、单值化与方向增长 |
| 对相同轨道计算不同稳定子，拉回一族线丛 | 模叠与自同构 | torsor、下降、atlas与对角线 |
| 从Koszul微分追踪类的乘法，区分合法分解与冗余方程 | 导出纤维积与乘法 | 半自由模型、分次Leibniz、自交外代数 |
| 从局部环计算 m/m²，用双数提升核验一阶切向约束 | 局部环与切空间 | 概形的无穷小信息与奇点 |
| 写出 C* 上的水平解，检验一次绕行的单值化 | 联络、水平截面与 D-模 | 局部系统、微分方程与几何 Langlands |
随机分析路线有两个计算入口。Markov 桥与路径枚举将端点重配落实为两步转移及八条路径，接回 Schrödinger 桥；Wick 平均与 L² 极限要求亲自写出同一 Fourier 耦合下两个截断的均方差，再进入奇异 SPDE 的核估计。 | 用终端倾斜推导连续漂移，对照路径KL与控制能量 | 连续时间路径熵与控制 | Girsanov、Doob变换与同扩散条件 | | 从整个 Fourier 场的尾和证明随机分布极限，辨认临界失败 | 热核与随机分布 | Sobolev 阈值、测试函数与同噪声热核极限 | | 看见高频共振留下低频，核对乘积条件与局部重建假设 | 分布乘积与重建 | Bony乘积、Wick增强与重建的作用边界 |
验收应同时包含手算、解释条件和构造反例。每讲折叠答案供独立作答后核对；实验只检验所写模型。完成后再读几何 Langlands 的分阶段先修表及导出交点计算。张量积与上同调已有可计算入口，一般概形理论、导出范畴、D-模及模叠都有可计算入口；研究级六函子、Bun_G、Hecke、IndCoh与奇异支撑仍需专题训练。
随机分析训练可从路径熵与随机场极限的连续作业进入：有限路径桥与 Wick 平均分成两支，各自完成诊断、计算、退出题与复测。
同一份真实测量，连接物理与统计
NOAA CO₂真实数据项目提供固定上游快照、单位/质量说明、默认可复算结果和迁移题；分别追踪测量过程、模型残差与趋势标准误，比较实际训练和留出表现。