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随机分析 II · Itô 积分的构造

对标：Øksendal §3 ｜ 前置：sc-01、mt-03/04、泛函 I（等距延拓） 一阶变差无穷让 \(\int f\,dB\) 无法逐路径定义（sc-01）。Itô 的出路是放弃逐路径、改走 \(L^2\)：简单过程上显式定义 → 等距性质 → 稠密延拓——与实变/泛函里"完备化"的手法完全同构。本页把这三步走严，并配齐鞅性质。

1. 适应性与简单过程

被积函数的资格（\(\mathcal{V}[0,T]\) 类）：\(f(t,\omega)\) 可测、适应（\(f_t \in \mathcal{F}_t\)——不偷看未来，本科 sde-01 的 forward-only 在此是可测性条件）、\(E\int_0^T f^2\,dt < \infty\)。

简单过程：\(\varphi(t) = \sum_j e_j\,\mathbb{1}_{[t_j, t_{j+1})}(t)\)，\(e_j \in \mathcal{F}_{t_j}\)-可测有界。对它积分显式定义：

\[ \int_0^T \varphi\,dB := \sum_j e_j\big(B_{t_{j+1}} - B_{t_j}\big) \]

（左端点取值就藏在 \(e_j \in \mathcal{F}_{t_j}\) 里——"下注在开牌前"是定义的可测性要求，不是约定俗成。）

2. Itô 等距（构造的发动机）

定理 对简单过程：

\[ E\Big[\Big(\int_0^T\varphi\,dB\Big)^2\Big] \;=\; E\Big[\int_0^T \varphi^2\,dt\Big] \]

【证明】 展开平方为双重和。交叉项（\(i < j\)）：\(E[e_ie_j\Delta B_i\Delta B_j] = E\big[e_ie_j\Delta B_i\,E(\Delta B_j\mid\mathcal{F}_{t_j})\big] = 0\)（塔性质 + 未来增量零均值——适应性在此杀死交叉项）；对角项：\(E[e_j^2(\Delta B_j)^2] = E\big[e_j^2\,E((\Delta B_j)^2\mid\mathcal{F}_{t_j})\big] = E[e_j^2]\Delta t_j\)。求和即得。\(\blacksquare\)

读法：积分映射 \(\varphi \mapsto \int\varphi\,dB\) 是从 \(L^2(dt\times dP)\) 到 \(L^2(dP)\) 的等距——"随机积分的勾股定理"（本科 sde-01 预告的正式版）。等距 = 保范线性映射 = 可以安全延拓。

3. 稠密延拓（泛函分析收尾）

引理（稠密性）【骨架】 任意 \(f \in \mathcal{V}\) 可被简单过程按 \(L^2(dt\times dP)\) 逼近：有界连续 → 用左端点采样的简单过程（DCT）；有界可测 → 磨光成连续（卷积，实变）；一般 → 截断。三级逼近与实变 II 的积分构造同构。\(\blacksquare\)

定义（Itô 积分） 取简单过程 \(\varphi_n \to f\)，则 \(\int\varphi_n dB\) 是 \(L^2(dP)\) 中的 Cauchy 列（等距把被积函数的 Cauchy 性原样搬运），其极限即 \(\int_0^T f\,dB\)——与逼近序列无关（等距再用一次）。\(\blacksquare\) （这就是泛函 I"有界线性算子在稠密子空间上定义后唯一延拓"的标准剧目——随机积分是泛函分析定理的一次著名出演。）

4. 作为过程的 Itô 积分：鞅性质

定理 \(M_t = \int_0^t f\,dB\)（\(f \in \mathcal{V}\)）满足：

  1. 鞅（关于 \(\mathcal{F}_t\)）——【证明（简单过程情形）】：\(E[M_{t+s} - M_t\mid\mathcal{F}_t]\) 的每项含未来增量的条件零均值（§2 同款论证）；一般情形 \(L^2\) 极限保持鞅性（条件期望是 \(L^2\) 压缩，mt-03）；
  2. 连续修正存在【骨架】：简单过程积分显式连续；Doob 极大不等式（mt-04）+ 等距控制逼近误差的一致范数 ⇒ 沿子列一致收敛，连续性保住（数分 IV 的一致极限定理第三次上岗）；
  3. 等距与线性对一般 \(f\) 成立（延拓自动携带）。

零均值推论：\(E\int_0^t f\,dB = 0\)——"公平赌博"从直觉变成定理链的产物。

推广一嘴【引用】：被积条件放宽到 \(P(\int f^2 dt < \infty) = 1\) 时积分仍可定义但只是局部鞅（真鞅可能失守——金融里"局部鞅 ≠ 鞅"正是泡沫模型的数学缝隙）；对一般连续半鞅积分、协变差 \(\langle M, N\rangle\) 的 Kunita–Watanabe 理论见 K–S §3。

5. 练习与要点

例 1（亲手算 \(\int_0^T B\,dB\)） 用分割 \(\varphi_n = \sum B_{t_j}\mathbb{1}_{[t_j,t_{j+1})}\)：

\[ \sum_j B_{t_j}\Delta B_j = \frac12\sum\big[(B_{t_{j+1}}^2 - B_{t_j}^2) - (\Delta B_j)^2\big] = \frac{B_T^2}{2} - \frac12\sum(\Delta B_j)^2 \to \frac{B_T^2 - T}{2} \]

（末步 = sc-01 二次变差定理！）——本科 sde-01 那个"多出 \(-T/2\)"的著名结果，现在每一步都有出处。顺手验证：若右端点取值，极限变为 \(\frac{B_T^2 + T}{2}\)——不同取点收敛到不同答案，这就是"为什么必须钦定左端点"的计算级证明（中点 = Stratonovich）。

例 2（等距的直接红利） \(\mathrm{Var}\big(\int_0^T \sigma(t)\,dB\big) = \int_0^T\sigma^2dt\)——时变波动率组合的方差公式（金融的 term structure 计算天天在用），等距定理的一行应用。

例 3（鞅性的用法） \(M_t = \int_0^t \mathrm{sign}(B_s)\,dB_s\)：是鞅、二次变差 \(= t\) ⇒ 由 Lévy 刻画（sc-01 §3）它本身是一个布朗运动（Tanaka 的例子——不同的被积函数可以"合成"出新 BM；也是"局部时"理论的门缝）。\(\blacksquare\)

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