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随机分析 I · 布朗运动的严格构造

对标：Øksendal §2 / Karatzas–Shreve §2.2 ｜ 前置：mt-01–04、本科随机过程 IV、本科 sde 三页 本科页把布朗运动当公理用；本页回答三个严格性问题：它存在吗（Lévy 构造）、路径有多糙（连续但处处不可微、二次变差非零——为什么必须发明新微积分）、它有哪些鞅（随机分析的工作接口）。

1. 定义与存在性

定义 标准布朗运动 \((B_t)_{t\geq0}\)：\(B_0 = 0\)；独立增量；\(B_t - B_s \sim N(0, t-s)\)；路径连续。前三条给出有限维分布（一致的高斯族），难点全在第四条——

定理（存在性） 满足上述四条的过程存在。 【骨架】（Lévy–Ciesielski 构造，思想完整） 在 \([0,1]\) 上逐层折线逼近：第 0 层连 \((0,0)\)–\((1, \xi)\)；第 \(k\) 层在每段中点加入独立高斯"隆起"（Schauder 帽函数 × \(N(0, 2^{-(k+1)})\) 系数）：

\[ B^{(K)}_t = \sum_{k=0}^{K}\ \sum_{\text{第 } k \text{ 层帽函数}} \xi_{k,j}\, \Lambda_{k,j}(t) \]

关键估计：第 \(k\) 层系数的最大值 \(\max_j |\xi_{k,j}| \lesssim \sqrt{k}\,2^{-k/2}\) w.h.p.（\(2^k\) 个高斯的 max ≈ \(\sqrt{\ln 2^k}\)——hdp-04 例 1 的 max 界在此上岗），故层级和按 \(\sum \sqrt k\, 2^{-k/2} < \infty\) 一致收敛 ⇒ 极限连续（数分 IV：连续函数的一致极限连续）；有限维分布逐层验证为所需高斯。\(\blacksquare\) （另一条路【引用】：Kolmogorov 延拓定理造有限维分布 + Kolmogorov 连续性判据——\(E|X_t - X_s|^\beta \leq C|t-s|^{1+\alpha}\) ⇒ 存在连续修正；对 BM 用四阶矩 \(E|B_t - B_s|^4 = 3|t-s|^2\) 即过关。判据本身是 chaining 论证，与 Lévy 构造殊途同归。）

2. 路径性质：光滑世界的全面失效

定理（不可微性，Paley–Wiener–Zygmund） a.s. 路径处处不可微。 【骨架】 若在某点可导则邻近增量 \(|B_{(j+1)/n} - B_{j/n}| \lesssim M/n\) 对连续三段成立；固定 \(M\) 数这种事件：单段概率 \(\sim n^{-1/2}\)，三段独立给 \(n^{-3/2}\)，位置 union \(\times n\) 得 \(n^{-1/2} \to 0\)；对 \(M\) 取并。\(\blacksquare\)（三段是精髓：两段给 \(n^{-1}\cdot n = 1\) 不够用——多要一段独立性换收敛，与 mt-02 四阶矩买 BC 门票同一交易。）

定理（二次变差） 对 \([0,t]\) 的分割序列（模长 \(\to 0\)）：

\[ \sum_j \big(B_{t_{j+1}} - B_{t_j}\big)^2 \;\xrightarrow{L^2}\; t \]

【证明】 记 \(Q = \sum(\Delta B_j)^2\)：\(EQ = \sum \Delta t_j = t\)；独立性 + 高斯四阶矩给 \(\mathrm{Var}(Q) = \sum \mathrm{Var}((\Delta B_j)^2) = 2\sum(\Delta t_j)^2 \leq 2\,t\cdot\max_j\Delta t_j \to 0\)。\(\blacksquare\) （分割加细时沿子列 a.s. 收敛【引用】。）后果：一阶变差无穷（否则二次变差必为零）——Stieltjes 积分对 \(dB\) 失效，\(\int f\,dB\) 必须重新发明（下一页）；\((dB)^2 = dt\)（本科 sde-01 的"新公理"）从口诀升格为定理。

其余名性质速览【引用】：标度不变 \(c^{-1/2}B_{ct} \overset{d}{=} B_t\)（分形性）；时间反演 \(tB_{1/t}\) 仍是 BM；重对数律 \(\limsup \frac{B_t}{\sqrt{2t\ln\ln t}} = 1\) a.s.（增长速度的精确刻画——mt-01 例 1 的连续版终答）；Hölder 连续指数 \(< \frac12\)（恰好卡在 \(\frac12\) 之下——与二次变差一体两面）。

3. 布朗运动的鞅家族（工作接口）

对自然过滤 \(\mathcal{F}_t = \sigma(B_s, s\leq t)\)，以下皆鞅【证明（逐条一行）】：

  1. \(B_t\)（独立增量 + 零均值）；
  2. \(B_t^2 - t\)（\(E[(B_t - B_s)^2\mid\mathcal{F}_s] = t - s\) 展开）；
  3. 指数鞅 \(\exp(\theta B_t - \frac{\theta^2}{2}t)\)（高斯矩母函数 \(Ee^{\theta\Delta B} = e^{\theta^2\Delta t/2}\)）。

这三个鞅是随机分析的"三件套接口"：②的推广即二次变差/Itô 等距（sc-02）；③是 Girsanov 与期权定价的种子（sc-04）；配合 OST（mt-03）立刻收割首达时结果（例 2）。Lévy 刻画定理【引用，sc-03 用】：连续鞅 + 二次变差 \(= t\) ⟺ 布朗运动——"BM 是唯一的连续标准鞅"，验明正身的终极判据。

4. 练习与要点

例 1（构造的体感） 用 Lévy 构造模拟 BM（逐层加密的折线）恰是实践中"先粗后细"的 Brownian bridge 采样法——理论构造即数值算法（期权 MC 定价的方差缩减技术之一）。

例 2（OST + 指数鞅收割首达时） \(\tau_a\) = 首达 \(a > 0\)：对鞅③停时（有界性论证后），\(E\exp(-\lambda\tau_a) = e^{-a\sqrt{2\lambda}}\)（取 \(\theta = \sqrt{2\lambda}\)）——首达时的 Laplace 变换一行到手；反演知 \(\tau_a\) 服从稳定分布（\(E\tau_a = \infty\)！——mt-03 警世反例"必胜但无限赌本"的定量版）。

例 3（二次变差的金融读法） 高频数据的"已实现波动率" \(\sum(\ln S_{t_{j+1}} - \ln S_{t_j})^2\) 估计的正是二次变差 \(\int\sigma^2dt\)——§2 的定理是整个已实现波动率行业（以及你研报里 RV 指标）的数学执照。\(\blacksquare\)

下一页：对布朗运动积分——Itô 积分的 \(L^2\) 构造：简单过程、等距、稠密延拓，三步走完。