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学习路线 01 · 整数分解到导出观点

这是一条四站计算路线：模与正合性 → 复形 → 张量积与 Tor → 链同伦与映射锥。不用先读完全部基础衔接。目标是独立说明“为什么换系数前要保留分解”，不是宣称已掌握完整导出范畴。

1. 先交一份答案，再决定从哪站进入

准备一页计算纸，先不展开答案。每题同时写结果和理由；只记得术语，按“需要补课”处理。这里没有自动及格分，数值相同也不说明论证正确。

入口题 应交的证据 若卡住，从哪里开始
A：整数乘 4 的核、像、余核分别是什么？ 三个对象写清楚，说明像与余核不同 模与正合性
B：将两项复形放在次数 −1、0，微分乘 4，算两处上同调 写出核除以像，而非只报群名 复形
C：把乘 4 改在模 6 上计算，逐项列出核与像 列剩余类，解释是否仍单射 张量积与 Tor
D：拟同构是否一定有链同伦逆？ 一个系数环明确的反例及阻碍 链同伦与映射锥
入口题核对：根据第一次无法解释的步骤回课

A：核为 0，像为 \(4\mathbb Z\)，余核为 \(\mathbb Z/4\mathbb Z\)。B：\(H^{-1}=0\)，\(H^0=\mathbb Z/4\)。C：模 6 中核为 \(\{0,3\}\)，像为 \(\{0,2,4\}\)，不再单射。D：自由分解 \(\mathbb Z\xrightarrow4\mathbb Z\) 到 \(\mathbb Z/4[0]\) 的增广映射是拟同构，但任何 \(\mathbb Z/4\to\mathbb Z\) 都是零，无法得到同伦逆。完整理由在下面第二站。

若 A、B、D 已能独立写全，可从第三站开始；若 D 不会，先做第二站的同伦与锥检查；若只是看答案觉得熟悉，先完成对应课的迁移题。这里“进入下一站”只针对本路线，不是研究能力认证。

从核像商到整数自由分解，再分支检查换系数和映射锥；最后合并为不能用普通张量替代导出计算的证据。

2. 先统一次数：改编号与取对偶是两件事

三角形课使用下降的链次数：\(d_j:C_j\to C_{j-1}\)。本页与映射锥课统一使用上升的上链次数。仅改编号时，定义

\[P^n=C_{-n},\qquad d_P^n=d^C_{-n}:C_{-n}\to C_{-n-1}=P^{n+1}.\]

所以 \(H^n(P)=H_{-n}(C)\)。这是重新标号，没有取对偶，也不要求把矩阵转置。若改做 \(\operatorname{Hom}(C_j,k)\) 的对偶复形，那是另一项操作，箭头和矩阵都要另行检查。

本页固定

\[P^{-1}=\mathbb Z\xrightarrow{\ \times4\ }P^0=\mathbb Z, \qquad M=\mathbb Z/4[0].\]

其他次数为零。所有张量积均在 \(\mathbb Z\) 上进行；\(\mathbb Z/4\) 表示模 4 的整数商，不是实数向量空间。

3. 第一站：分解保留了什么信息？

交卷要求。 写出增广正合列，计算 \(P\) 的全部上同调，再给出到 \(M\) 的拟同构 \(q\)。说明“增广列正合”与“去掉增广目标后的复形无环”是否相同。

第一站题解：目标模不能凭空从复形中消失

增广列为

\[0\to\mathbb Z\xrightarrow4\mathbb Z\xrightarrow q\mathbb Z/4\to0.\]

乘 4 单射，\(\ker q=4\mathbb Z\)，而 q 满射，因此正合。去掉最后的目标后，\(P\) 在次数 0 的微分变为到零模的映射，故

\[H^{-1}(P)=0,\qquad H^0(P)=\mathbb Z/4.\]

定义 \(q^0(x)=[x]_4\)，\(q^{-1}=0\)。链映射条件在唯一需要检查的位置是 \(q^0(4x)=0\)。它在所有次数诱导上同调同构，所以是拟同构，但 \(P\) 本身不无环。

4. 第二站：锥无环，为什么仍没有同伦逆？

交卷要求。 按 \(\operatorname{Cone}(q)^n=M^n\oplus P^{n+1}\) 写出锥的非零项、次数和两个微分。验证它无环，再独立证明 q 没有链同伦逆。

第二站题解：负号与整数挠元同时进入计算

锥的非零部分为

\[\operatorname{Cone}(q):\quad \mathbb Z\xrightarrow{\ -4\ }\mathbb Z\xrightarrow{\ q\ }\mathbb Z/4, \qquad\text{次数 }-2,-1,0.\]

第一个微分来自移位后的 \(-d_P\)；第二个来自 q。复合为零，因为 \([-4x]_4=0\)。第一处核为零；中间 \(\ker q=4\mathbb Z=\operatorname{im}(-4)\)；末端 q 满射。所以锥的上同调全为零，符合 q 是拟同构的判据。

若有同伦逆 \(s:M\to P\)，其唯一可能非零的分量为 \(s^0:\mathbb Z/4\to\mathbb Z\)。设 \(s^0([1])=z\)，则 \(4z=0\)，故 \(z=0\)，所以 s 必为零。在只占次数 0 的 M 上，降次数的同伦算子也必为零；因此 \(qs=0\) 不可能同伦于 \(\operatorname{id}_M\)。q 没有同伦逆。也可直接证明锥不可缩：若存在收缩 h，次数 0 必须满足 \(d^{-1}h^0=\operatorname{id}_{\mathbb Z/4}\)，但 \(h^0:\mathbb Z/4\to\mathbb Z\) 只能为零，矛盾。因此锥虽无环却不可缩。

注意本例把 −4 误写成 +4，复合仍可能为零，不能仅凭这一条数值检查验收一般锥的符号。应回到一般锥的二次微分推导，检查两条混合路径抵消。

5. 第三站：同一个分解换成模 6 系数

令 \(N=\mathbb Z/6\)。交卷要求。 对 P 的两个自由项作张量，列出微分作用表、核、像和余核。再写 \(q\otimes1_N\)，判断它还是不是拟同构。

第三站题解：多出来的信息究竟在哪个次数？

由 \(\mathbb Z\otimes N\cong N\)，得到

\[P\otimes N:\quad\mathbb Z/6\xrightarrow{\ \times4\ }\mathbb Z/6, \qquad\text{次数 }-1,0.\]
输入 x 0 1 2 3 4 5
4x mod 6 0 4 2 0 4 2

核为 \(\{0,3\}\cong\mathbb Z/2\)；像为 \(\{0,2,4\}\)；余核是偶数类与奇数类两个陪集，也同构于 \(\mathbb Z/2\)。于是

\[H^{-1}(P\otimes N)\cong\operatorname{Tor}^{\mathbb Z}_1(\mathbb Z/4,\mathbb Z/6)\cong\mathbb Z/2, \qquad H^0(P\otimes N)\cong\mathbb Z/2.\]

“核与余核都只有两个元素”不表示它们是同一个子集：前者是源中的子模，后者是目标的商模。

目标 \(M\otimes N\) 只在次数 0 非零，等于 \(\mathbb Z/2\)。在 \([1]_4\otimes[1]_6\mapsto[1]_2\) 的识别下，\((q\otimes1)^0\) 就是模 6 到模 2 的自然映射，\((q\otimes1)^{-1}=0\)。次数 0 的上同调仍同构，但源的 \(H^{-1}=\mathbb Z/2\) 被送到目标的零群，因此不再是拟同构。

这一次失败已经足以反驳 \(\mathbb Z/6\) 平坦；反过来，某次张量没有出现核不能证明它平坦。

手算后再核验。 此实验沿用张量积课：默认乘数 m=6、系数模数 n=4，核为 {0,2}、像为 {0,2}，核与余核均有 2 个元素。请主动改为本题 m=4、n=6，结果应与上表一致；不要把默认值当成本题输入。再预测 m=4、n=5 时是否仍有非零 Tor₁。关闭脚本时直接用上面的六项作用表核验。

无脚本时，按上方输入约定和可展开的完整题解核对静态计算。

6. 第四站：把两种检查串起来

交卷要求。 对第二站的锥作 \(\otimes N\)，写出结果及其上同调。解释这与第三站“q 张量后不再是拟同构”是否吻合。

第四站题解：额外同调在锥里左移一格

得到

\[\mathbb Z/6\xrightarrow{\ -4\ }\mathbb Z/6\xrightarrow{\ \bmod2\ }\mathbb Z/2, \qquad\text{次数 }-2,-1,0.\]

乘 −4 的核是 \(\{0,3\}\)、像是 \(\{0,2,4\}\)；模 2 的核也是偶数类，且满射。因此 \(H^{-2}\cong\mathbb Z/2\)，其余上同调为零。这个复形正是 \(\operatorname{Cone}(q\otimes1_N)\)：逐项张量保留直和及组成映射，所以可直接核对其形式。锥不再无环，恰好检测到第三站的失败。

最后用自己的话解释：普通张量目标 \(M\otimes N\) 只保留次数 0 的答案；保留自由分解再张量，才能看见额外的次数 −1 信息。这是本例导出张量积的计算动机。分解独立性、函子构造与导出范畴的普遍性质仍需正式理论，四站计算不能替代它们的证明。

分解多写了两项，会不会凭空多出 Tor？

本路线一直用 \(P=[\mathbb Z\xrightarrow{4}\mathbb Z]\)，次数为 \(-1,0\)。现在加上一份 \(D=[\mathbb Z\xrightarrow{1}\mathbb Z]\)，得到另一份自由分解

\[P'=P\oplus D=[\mathbb Z^2\xrightarrow{\operatorname{diag}(4,1)}\mathbb Z^2].\]

增广映射把零次的 \((a,b)\) 送到 \(a\bmod4\)。第二个坐标由恒等微分完全消掉，因此 \(H^0(P')=\mathbb Z/4\)、\(H^{-1}(P')=0\)，确实分解同一个模。

先预测：张量到 \(B=\mathbb Z/6\) 后，多出来的自由项会贡献新的同调吗？直接算 \(d(a,b)=(4a,b)\)：核要求 \(a\in\{0,3\},b=0\)；余核的第二坐标仍完全被像覆盖，所以两级同调仍各为 \(\mathbb Z/2\)。

这次不只比较群的名字。令 \(i:P\to P'\) 加上零坐标，\(p:P'\to P\) 丢掉第二坐标；在零次定义降一次的映射 \(h(a,b)=(0,b)\)，在负一次定义 \(h=0\)。两级分别检查可得

\[pi=1_P,\qquad 1_{P'}-ip=dh+hd.\]

这些是整数上的映射等式；张量任何 \(B\) 后仍成立。因而新增部分在换系数前后都可收缩。这说明这一种更换分解不会改变计算结果，并不以一个例子代替任意自由分解间比较定理的证明。与第二站无环但不可收缩的锥对照，真正起作用的是明确的同伦，不能把“无环”一律当作“张量后仍可丢弃”。

迁移核对：把新增部分的微分 1 改成 2 呢？

这时新增部分在整数上已有 \(H^0=\mathbb Z/2\)，所以 \(P'\) 不再是原模的分解。模 6 后，新增部分的核与余核各为 \(\mathbb Z/2\)。结果变化来自换了被分解的对象，不能据此声称 Tor 依赖自由分解的选择。

7. 退出题：换数字以后，证据链还在吗？

合上前文，将分解中的 4 换成 3，仍与 \(\mathbb Z/6\) 张量。交一张表：P 的上同调、锥的微分、张量后两个上同调、张量后锥的非零上同调。另写一句：若改用 \(\mathbb Q\)，为什么这一障碍消失？

退出题答案与验收标准

P 的 \(H^0=\mathbb Z/3\)，其余为零。原锥为 \(\mathbb Z\xrightarrow{-3}\mathbb Z\to\mathbb Z/3\)，占次数 −2、−1、0，无环。模 6 上乘 3 的核为 \(\{0,2,4\}\cong\mathbb Z/3\)，像为 \(\{0,3\}\)，余核同构于 \(\mathbb Z/3\)；故张量后的 \(H^{-1},H^0\) 都是 \(\mathbb Z/3\)。张量后锥在次数 −2 有 \(\mathbb Z/3\)，其余为零。改用有理数后乘 3 可逆，P 张量后无环，目标 \(\mathbb Z/3\otimes\mathbb Q=0\)，障碍消失；不能据此抹掉整数上的挠信息。

通过本路线需要同时做到：次数正确、核与余核构造清楚、链映射可逐项检查、拟同构与同伦等价不混淆、换系数后的失败有实际证据。任何一项只能背结论，就回到对应站，不用总分遮盖缺口。

隔两三天不看答案重做：分解乘 5、系数模 10。应重新列出剩余类并说明次数，不能只报 gcd=5。自行保存首次错误、修正理由及复测日期；本页不记录作答，也没有收集学习效果数据。

速查：本路线怎样接回前沿

已能交出的证据 可以继续 仍需另外学习
自由分解、Tor 与锥的完整计算 几何 Langlands 的导出交点入口 完整导出范畴、分解独立性、导出几何
想追踪空间上的局部到整体信息 层与粘合 → Čech 概形粘合、态射与模叠
想理解局部无穷小变化 局部环与切空间 更完整的变形理论

定义与符号沿用所链接的四篇课程。原始参照：Stacks Project：复形、同伦与移位。本页是连续作业与自诊断，不增加一套新的数学约定。

继续计算：非平坦族与导出纤维比较普通纤维相同但 Tor 不同的两个族，把乘法的核接回导出张量。

后续计算训练：相交、接触阶与 Tor，把张量后的核与普通交点长度分开记账。

继续计算：导出纤维积与乘法保留链级乘法、Leibniz符号和同调类的外积，并用重复方程说明分解合法性不能省略。

下一步可用导出范畴与roofs把拟同构真正形式求逆，借同伦拉回或射影提升计算复合，并追踪Ext类的代表元与同伦见证。

准备进入几何Langlands时，请补做一般D模与模叠两组迁移题：说明holonomic为何不等于向量丛，再用同轨道不同稳定子解释普通商遗漏的信息。