真实数据项目 · CO₂趋势：标准误很小，为什么预测仍会失败？

1. 先提出能由这份数据回答的问题

我们手中是Mauna Loa的真实月平均CO₂记录，不是人为给直线加噪声。任务是：用2010—2019年训练一个趋势加季节模型，再查看它在2020—2021年的误差。与此同时，比较“估计斜率的不确定性”和“下一月预测的不确定性”为什么不是一个数。

我们不从单站的ppm变化直接反推全球排放。站点代表性、输运、碳源和碳汇是另一层物理模型；数学拟合不能越过这些缺失信息。

本讲采用NOAA于2026-08-05创建的固定数据快照，分析1990—2021的384个月。它已经经过校准、背景空气选择、日/月聚合与月中心校正，不是原始仪器信号。2020—2021只在本课程拟合步骤中留出；上游数据是后来修订的快照，所以这项练习不能宣称为当年实时预测的回测。

数据由NOAA GML提供，本课程处理结果不代表NOAA官方分析。NOAA数据不受课程原创版权声明覆盖。完整原文含早期Scripps资料，本项目分析窗口只用NOAA时期。

2. 读列名之前，先读单位与质量标记

观测\(y_i\)的单位是干空气摩尔分数ppm，即\(10^6n_{\rm CO_2}/n_{\rm dry\ air}\)；不是质量浓度、不是ppm/年，也不是排放质量。时间\(t_i\)用文件给出的decimal year，月份索引\(k_i=12\times\text{year}+\text{month}-1\)用于判断真正的月间隔。

days是有效天数，daily_std描述每日均值的波动，monthly_unc是官方月平均不确定度，三者用途不同。官方unc依据天气系统经过站点时的日际变化，并考虑相邻日相关，不能机械套\(\mathrm{std}/\sqrt{\mathrm{days}}\)。它也不是跨十年回归的残差标准差。

原文件以负数标注插值或早期未知质量信息；不能把这些值平方后当权重。本选定子集384个月质量列均非负。实验可提高“最少有效天数”查看筛选敏感性，报告剔除数；这种筛选改变样本，不自动提高推断可靠性。

没有使用官方deseasonalized列参与拟合。它与monthly average来自同一资料，且去季节处理使用邻近多个年份，不能把两列当成两组独立观测或未经说明地用于预测评估。

3. 同一数据，比较三个明确的均值模型

固定训练结束于2019，中心时刻\(t_0=(\text{start}+2020)/2\)。令\(u_i=t_i-t_0\)，分别拟合：

参数数目分别为2、6、7。a以ppm计，b以ppm/年计，e以ppm/年²计；正弦、余弦的自变量无量纲，t中的一年对应一个周期。这里的b是去掉季节项后，趋势在\(t_0\)的局部斜率；曲率模型在别的时刻斜率为\(b+2eu\)。

正弦项是对季节变化的统计近似，不等于证明每一项来自某个特定生态机制。多一个参数必然使训练最小二乘误差不增，却未必改善留出表现。

把每一行基函数写成\(x_i^T\)，组成设计矩阵X。最小二乘解满足

当X满列秩时，形式解为\((X^TX)^{-1}X^Ty\)。但程序不直接对大日期构造正规方程：先中心化时间，再用带重正交的QR分解\(X=QR\)，求解

中心化不改变模型所能表示的函数，只改善列的尺度；QR也不会让不可辨识的模型突然变得可辨识，所以程序还检查秩。

4. 从一个误差模型，推导一个标准误

假设\(y=X\theta_*+\varepsilon\)，\(E(\varepsilon\mid X)=0\)。记\(A=(X^TX)^{-1}\)，则

其中\(\Omega=\operatorname{Cov}(\varepsilon\mid X)\)。这是解释各种标准误的共同起点。

若进一步假设误差独立且同方差，\(\Omega=\sigma^2I\)，就有

斜率标准误是其b对应对角元素的平方根。只有附加正态等条件才有熟悉的精确t推断；只算出一个标准误不等于已经验证这些条件。

真实月度残差常连续数月偏高或偏低，此时\(\Omega\)并非对角阵。本页同时算Bartlett/Newey–West形式的HAC协方差。定义影响向量

并使用明确的有限样本修正约定

L是日历月滞后，实验取0—24。L=0仍是异方差稳健的对角“肉”矩阵，通常不等于iid估计；HAC也不保证总比iid标准误大，不同滞后的相关项可能相互抵消。

这个核为什么不会随意产生负方差？\(K_L(k_i-k_j)\)等于两个长度\(L+1\)整数窗口的重叠比例，因此是窗口指示向量的Gram矩阵；把缺失月的\(w_k\)记为0后，双和可写成若干窗口和的外积之和。故精确算术下\(\widehat V_{\rm HAC}\)半正定。程序按真实\(k_i-k_j\)计算，筛掉某个月后不会把其两侧月份误认为相隔一个月。

这只是有限样本构造的性质。其渐近可靠性还需要均值模型正确、误差外生、设计可辨、适当矩条件与弱依赖，以及带宽随样本量适当增长等条件；本页手动选L和几幅残差图没有证明这些条件。尤其HAC不能修复错误趋势、结构变化或与误差有关的缺失机制，也不是未知高阶误差的上界。

5. 先预测，再观察这三个模型的分歧

图为突出变化，纵轴显示\(\mathrm{CO_2}-400\) ppm；400只是画图参考值，输入数据与表格仍是原始ppm数值。

无脚本也能核对：固定训练2010—2019、120个月，留出24个月，不额外按天数筛选，L=12：

加入曲率降低了训练误差和这里的标准误，但留出误差反而增加。这不是证明曲率永远错误，而是一个实际反例：参数标准误小，不保证模型形式正确，也不保证延伸预测准确。

默认季节模型的相邻月残差相关约0.687。它是实际相邻月对的Pearson相关，提示iid假设值得怀疑，不是因果证据。改L只改变协方差估计，不改变拟合系数或预测曲线。

残差图上下两条官方unc线仅用于比较量级；它们不是这条回归曲线的置信带。也不要因为残差超过unc就认定测量出错：短均值模型可能根本没有描述相应的时间变化。

6. 交付一份可以被别人复算的报告

报告应写明快照版本、训练/留出日期、筛选规则、设计列、参数单位、QR方法、HAC带宽与修正因子。展示三个模型的残差及留出误差，并解释哪一个结论来自数据、哪一个依赖误差假设。

源码用NumPy从上游TXT独立解析，再以SVD求解、完整日历核矩阵计算协方差，与网页的QR和逐对累加对照。还检查改变留出数据不会改变训练系数、负质量标记不会变成有效权重，以及删月后的滞后不能按存储行号压缩。

反复看留出误差来选择模型，会把它变成调参集。本页用于认识这一机制；若要报告独立泛化表现，需要预先固定方案并另设未使用的评估资料。本讲没有新增真实学习者试用结果，也没有把这次历史拟合当成NOAA的预测产品。

残差和留出误差都不变，斜率仍可能偏移吗？

做一个假设的校准扰动实验，不改 NOAA 原始资料，也不声称它存在下述漂移。设设计矩阵 \(X\) 满列秩，把每个观测加上落在模型空间内的偏差 \(X\delta\)：\(y'=y+X\delta\)。最小二乘的线性关系给

残差完全相同；设计矩阵也没变，所以本课由残差计算的 iid 与 HAC 协方差都相同。以默认中心年 2015 为例，给训练和留出每个月都加上 \(0.1(t-2015)\) ppm，斜率会从约 \(2.428153\) 变成 \(2.528153\) ppm/年，HAC 标准误仍约 \(0.036299\) ppm/年。这个 \(0.1\) 是人为设定的斜率偏差，不是从数据估计的发现。

为何留出检验也可能看不见？模型向 2020—2021 年延伸时，同样多预测了 \(0.1(t-2015)\)；若留出读数共享这项假设偏差，观测减预测仍不变。因此留出检验能检查相对于这条测量链的预测能力，却不能单独校准测量链本身。把训练期资料锁定和用独立标准检查仪器，是不同的证据。

7. 两道迁移题

题一。 筛掉二月后，数组相邻两行变成一月和三月。L=1时，HAC是否应把这两行的交叉项计入？若把真实残差过程写为\(\varepsilon_t=z_t-z_{t-1}\)、z独立同方差，稳健标准误是否必然大于iid标准误？

题二。 某报告说“斜率标准误为0.015 ppm/年，所以下一月CO₂误差不会超过0.015 ppm”，又把2 ppm/年说成全球排放2 Gt/年。指出两处逻辑断裂。为何更复杂模型的训练误差降低并不能修补它们？