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现代 PDE I · 分布与弱导数

对标：Evans PDE §5.2 / Friedlander–Joshi 入门章｜前置：本科泛函 I–III、实变 II–III、pde 两页现代 PDE 的第一步是放宽"解"的定义：经典解要求足够光滑，但物理与变分法给出的解常常不光滑（激波、尖角、点源）。出路：把求导从函数身上转嫁给测试函数——分布理论。δ"函数"从物理系的口头禅升格为严格对象。

1. 动机：经典求导的三处失灵

① 点源：单位点电荷的密度是什么函数？（没有——任何函数积分出不了"集中在一点的质量 1"）；② 激波：守恒律的解在有限时间形成间断，间断处经典导数不存在，但物理演化明明在继续；③ 变分法：能量泛函的极小元先天只有"积分意义的导数"（下一页 Sobolev 空间的成员）。三者共同指向：需要一种"函数不必逐点可导也能谈导数"的框架。

2. 分布：定义与运算

测试函数空间 \(\mathcal{D}(\Omega) = C_c^\infty(\Omega)\)（光滑 + 紧支集——"最好说话的函数"，磨光核保证存在，实变 III 稠密性的主角）。

定义（分布） \(\mathcal{D}'(\Omega)\) = \(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的连续线性泛函（连续性按测试函数的一致收敛族语义【引用】细节）。写 \(\langle T, \varphi\rangle\)。

两大来源：局部可积函数 \(f \mapsto T_f = \int f\varphi\)（普通函数嵌入分布——"分布是函数的推广"由此严格）；测度 \(\mu \mapsto \int\varphi\,d\mu\)，特例即 Dirac δ：

\[ \langle\delta_{x_0}, \varphi\rangle = \varphi(x_0) \]

——"在 \(x_0\) 处采样"这个泛函本身。它不是函数（若 \(\delta = T_f\) 则 \(f\) 在 \(x_0\) 外 a.e. 为零 ⇒ 积分为零，与 \(\varphi(x_0) \neq 0\) 矛盾【证明】），但作为分布身份完全合法。

分布导数（本页核心定义）：把分部积分公式当定义用——

\[ \langle T', \varphi\rangle := -\langle T, \varphi'\rangle \]

（动机：\(f\) 光滑时 \(\int f'\varphi = -\int f\varphi'\)，边界项被紧支集杀死。）每个分布无穷可导——求导的重担全数转嫁给了 \(\varphi \in C^\infty\)：这是整个理论的杠杆支点。

3. 名例三连（必会手算）

例 A（阶跃函数） Heaviside \(H = \mathbb{1}_{x>0}\)：

\[ \langle H', \varphi\rangle = -\int_0^\infty \varphi' = \varphi(0) = \langle\delta, \varphi\rangle \quad\Rightarrow\quad H' = \delta \]

——"跳一下的导数是个尖峰"，工程口诀的两行证明。

例 B（折角函数） \(f = |x|\)：\(f' = \mathrm{sign}(x)\)（同法），\(f'' = 2\delta\)——折角处二阶导集中成点质量；凸函数的分布二阶导是非负测度（凸性的分布刻画，优化线呼应）。

例 C（对数的拉普拉斯） \(\mathbb{R}^2\) 上 \(\Delta\big(\frac{1}{2\pi}\ln|x|\big) = \delta\)；\(\mathbb{R}^3\) 上 \(\Delta\big(\frac{-1}{4\pi|x|}\big) = \delta\)【骨架】（挖去小球 \(B_\varepsilon\) 分部积分两次，体积项消失、球面边界项 \(\to \varphi(0)\)——静电学"点电荷的势"的严格版）。由此定义基本解：\(\Delta E = \delta\) ⇒ \(\Delta(E * f) = f\)——卷积基本解解方程，热核方法（本科 pde-02）的统一原理。

4. 弱导数：分布导数的 \(L^p\) 版

定义 \(u \in L^1_{loc}\) 有弱导数 \(v = D^\alpha u\)：\(v \in L^1_{loc}\) 且 \(\int u\,D^\alpha\varphi = (-1)^{|\alpha|}\int v\,\varphi\) 对一切测试函数成立。

即：分布导数恰好还是个函数时称弱导数（例 B 的 \(|x|\) 有一阶弱导数 \(\mathrm{sign}\)，无二阶弱导数——\(\delta\) 不是函数：弱导数存在与否是函数光滑度的分级线，下一页 Sobolev 空间按它建制）。

性质：唯一（a.e.）；线性；乘积法则对 \(C^1\) 因子成立；磨光逼近：\(u_\varepsilon = \eta_\varepsilon * u\) 光滑且 \(D(u_\varepsilon) = (Du)_\varepsilon\)、在 \(L^p_{loc}\) 收敛【骨架】（卷积求导换序 + 实变 III 逼近定理）——"弱导数 = 光滑函数导数的 \(L^p\) 极限"，两种观点等价（下一页 \(H = W\) 定理的雏形）。

5. 练习与要点

例 1（手算弱导数） \(u(x) = x\mathbb{1}_{x>0}\)（ReLU！）：弱导数 \(= H(x)\)（分部积分验证）；二阶分布导数 \(= \delta\)，非函数 ⇒ \(u \in W^{1,p}\) 而 \(\notin W^{2,p}\)。ReLU 网络的"导数"在分布意义下完全合法——ai 课里含糊带过的"ReLU 在 0 处导数"在此有正式户口（优化 I 次梯度之外的第二种严格化）。

例 2（分布收敛） \(f_n = \frac{n}{2}\mathbb{1}_{[-1/n, 1/n]} \to \delta\)（分布意义）：\(\langle f_n, \varphi\rangle \to \varphi(0)\)（连续性一行）——"越来越尖的针"的极限身份；同理磨光核 \(\eta_\varepsilon \to \delta\)：δ 是一切近似单位元的极限（概率里的"退化分布"、信号里的"冲激响应"同源）。

例 3（求基本解的用法） 解 \(-u'' = f\)（全直线）：一维基本解 \(E = -\frac12|x|\)（例 B：\(E'' = -\delta\)）⇒ \(u = E * f = -\frac12\int|x - y|f(y)dy\)——验证两次弱求导即得。"解 = 基本解卷数据"三例合一（Laplace/热/波各有其 \(E\)）。\(\blacksquare\)

下一页：把"有 \(k\) 阶弱导数且 \(L^p\) 可积"的函数组织成 Banach 空间——Sobolev 空间：嵌入定理、迹定理，现代 PDE 的主舞台。