最优传输 II · 分布怎样走最短路，又怎样取平均

1. 为什么平方成本开方以后才是距离

在欧氏空间中，记有限二阶矩概率测度集合为

乘积耦合的成本有限，因为 \(|x-y|^2\leq2|x|^2+2|y|^2\)。最优耦合存在，可用固定边缘的紧性与非负下半连续成本的下半连续性证明。非负性与对称性直接成立；成本为零的最优耦合集中在 \(x=y\)，因此两边缘相同。

三角不等式需要把两份耦合接起来。若 \((X,Y)\) 耦合 \(\mu,\nu\)，\((Y,Z)\) 耦合 \(\nu,\eta\)，可以在给定 \(Y=y\) 时分别按两份条件分布生成 \(X,Z\)，得到一个共同的三元联合分布。这是粘合引理；在欧氏空间上正则条件分布存在。取两端最优配对，再用 \(L^2\) 的Minkowski不等式：

开方使二次平均成本变成范数，正是三角不等式成立的关键。平方本身不是距离：三个点质量 \(\delta_0,\delta_1,\delta_2\) 的平方成本分别是1、1、4，不能要求 \(4\leq1+1\)。

2. 分布看起来接近，为何搬运成本仍不小

在 \(\mathcal P_2(\mathbb R^d)\) 中，准确的收敛条件是

前一个条件控制有界连续观察量，后一个条件阻止少量质量带着巨大二次成本逃向远方。定理见 Santambrogio导论，定理2.2。

例如取整数 \(n\geq1\)，

对任意有界连续函数，远处那一项的权重趋于零，所以 \(\mu_n\Rightarrow\delta_0\)。但唯一运往0的计划仍付出 \(n^{-2}n^2=1\)，故 \(W_2(\mu_n,\delta_0)=1\)。看不见远处的小点，不代表可以把它删掉。

必要性也能看出机制：若最优耦合给出 \(\|X_n-X\|_{L^2}\to0\)，则依概率收敛推出依分布收敛，反三角不等式给出 \(|\|X_n\|_2-\|X\|_2|\leq\|X_n-X\|_2\)。充分性需要控制尾部后再做紧区域上的耦合逼近；它不是仅由弱收敛的定义直接得到。

3. Brenier定理：凸梯度如何消除拆分

定理。 若 \(\mu,\nu\in\mathcal P_2(\mathbb R^d)\) 且 \(\mu\) 对Lebesgue测度绝对连续，则平方欧氏成本的最优耦合唯一，并且

其中 \(u\) 是适当的凸函数，梯度在 \(\mu\)-几乎处处定义。唯一的是映射的几乎处处等价类，并不宣称凸势在所有点上只有一种写法。整体成本乘以 \(1/2\) 不改变最优计划。

证明的主线可以拆成三个实质步骤。首先，平方成本的循环单调条件消去纯 \(x\)、纯 \(y\) 项，成为内积的循环单调条件。Rockafellar的凸分析定理把这样的集合放进某个凸函数的次微分图：最优计划集中在 \(y\in\partial u(x)\) 上。这一步用到一个外部结构定理，不能用“高维排序”四字代替。

其次，凸函数在其定义域内部局部Lipschitz，从而Lebesgue几乎处处可微；有效域的相关边界为Lebesgue零测集。源有密度使这些不可微点也具有零源质量，于是 \(\partial u(x)\) 几乎处处只有一个点。计划因此不能在一个典型源点拆分。

最后，若有两份最优计划，其平均仍最优，也必须集中在一个映射图上。两个不同目标在同一源点混合会违反这一性质，所以两映射源几乎处处相同。凸次微分与平方传输的联系可参阅 Santambrogio第1.4节及Brenier说明。

在对偶势可用的版本中，同一结论还可用Fenchel–Young等式读出。令半平方成本下的源势为 \(\varphi\)，写 \(u(x)=|x|^2/2-\varphi(x)\)，接触条件化为

这里的凸函数是 \(u\)，不要把Kantorovich源势 \(\varphi\) 直接称作凸势。

4. 目标可以有原子，二维最优配对也可以不唯一

源有密度、目标有原子并不矛盾。例如 \(X\) 均匀分布于 \([-1,1]\)，令 \(T(x)=-1\) 当 \(x\lt0\)、\(T(x)=1\) 当 \(x>0\)。它把两半区间送到两点，是凸函数 \(u(x)=|x|\) 的几乎处处梯度。反方向从一个点出发，确定映射无法生成两处正质量；条件的位置不能颠倒。

没有源绝对连续性时，既可能有映射，也可能有多份最优计划。取二维源为 \((-1,0),(1,0)\) 各一半，目标为 \((0,-1),(0,1)\) 各一半。四格平方成本全是2，两种置换都最优。

在时刻 \(t=1/2\)，一种配对得到 \((-1/2,-1/2),(1/2,1/2)\)；另一种得到 \((-1/2,1/2),(1/2,-1/2)\)。两条路径端点相同，中点不同，成本与速度却同样最优。两置换计划的凸组合还可拆分质量；实验枚举的是两种置换，不把它们当成全部最优耦合。

若每边都恰好两个等权原子，运输多面体是连接这两种置换的线段，目标是仿射函数，所以比较两个端点足以得到全局最优值。这是该实验能精确判定最优的理由。

5. 从最优耦合推出常速测地线

取任一最优耦合 \((X,Y)\sim\pi^*\)，记 \(D=W_2(\mu_0,\mu_1)\)，定义

用同一粒子标签耦合两个时刻，可以先证明上界：

为什么这里实际上取等？对于 \(0\leq s\leq t\leq1\)，三角不等式与这三个上界给出

总和被夹成同一个数，各段也只能达到对应上界。因此

整个证明无需除以 \(D\)，所以相同分布、零距离也包括在内。在欧氏空间中，平方Wasserstein常速测地线都可由最优耦合作这样的位移插值得到；若源有密度，最优计划唯一也给出路径唯一。完整表述见 Santambrogio定理3.2。

若用任意可行耦合 \(\pi\)，同样只能得到 \(W_2(\mu_s^\pi,\mu_t^\pi)\leq|s-t|\sqrt{C(\pi)}\)，其中 \(C(\pi)=\int|x-y|^2\,d\pi\)。当 \(C(\pi)>D^2\)，上面的夹逼不再闭合。第11节给出具体反例。

6. 一维直线插值：对齐分位数，再重新计算距离

一维的量化坐标是广义分位数 \(Q_\mu(u)=F_\mu^{-1}(u)\)。在有限二阶矩条件下，上一课已经证明共同分位数是平方成本的最优配对，所以

两个非降函数的凸组合仍非降，于是位移路径的分位数就是

原子模型中，把每份质量排成概率区间，列出所有交叠段；每段的质量保持不变，位置按上式运动。端点或中间时刻出现真正相同的位置时，要把质量相加。这里的非降性保证后续距离计算仍使用同一量化顺序。

实验同时保留两份证据：从完整段表算粒子的二次位移；从得到的两个实际分布重新作分位数配对算 \(W_2^2\)。它们一致才是模型内的数值核对。时间表包含0到1的等距读数和你输入的两个时刻；曲线连接读数辅助观察，不是额外采样的概率分布。

7. 混合插值也守恒，却可能具有无穷路径长度

混合路径是 \(\widetilde\mu_t=(1-t)\mu_0+t\mu_1\)。它在概率测度的凸集合内作线性组合，保留端点的位置，改变各处质量；位移路径则沿耦合移动位置。两者的均值相同，但方差通常不同。

令 \(m_i=\mathbb EX_i\)、\(V_i=\operatorname{Var}(X_i)\)。混合的方差为

位移的方差还取决于配对中的交叉协方差：

（这条写法是一维标量版本）。不能仅凭均值运动相同就判为同一条分布路径。

最小例子 \(\mu_0=\delta_0,\mu_1=\delta_1\) 中，位移为 \(\delta_t\)，而混合为 \((1-t)\delta_0+t\delta_1\)。两个混合时刻之间恰有 \(|t-s|\) 的质量需要走单位距离，因此

把时间分成 \(N\) 等段，距离和是 \(N\sqrt{1/N}=\sqrt N\)，趋于无穷。混合曲线连续，却不是这套距离下的有限长度路径。这里是一个明确反例，不是说所有混合路径都无穷长；两端相同时它仍是常值。

8. 一维重心：一个精确的方差分解

给定 \(\mu_1,\ldots,\mu_k\in\mathcal P_2(\mathbb R)\) 与非负权重 \(\lambda_i\)，合计为1，定义

令 \(\overline Q=\sum_i\lambda_iQ_i\)。它仍非降且属于 \(L^2(0,1)\)，所以确实对应一份概率分布 \(\overline\mu\)。逐个 \(u\) 展开平方，并用 \(\sum_i\lambda_i(Q_i-\overline Q)=0\) 消掉交叉项：

积分得到完整证书：

所以一维重心唯一；零权重和原子分布都包括在这份直接证明里。实验允许提交另一份候选分布，并把目标差与右侧真实距离逐项核对。有关一维重心与多维问题的区别，可读 Agueh–Carlier第6.1节；该节以非原子映射描述，我们这里用分位数积分直接覆盖原子情形。

多维通常没有一条共同的量化顺序；选一个参考分布，把若干Brenier映射平均后推前，不会自动得到任意多维数据的Wasserstein重心。这里的精确方差恒等式有明确的一维适用范围。

9. 高斯映射：先证明协方差推前，再计算成本

令 \(\mu_i=N(m_i,\Sigma_i)\)，源协方差 \(\Sigma_0\) 正定，目标协方差 \(\Sigma_1\) 半正定。设

\(A\) 对称半正定，因此 \(T\) 是凸二次函数 \(u(x)=\tfrac12x^\top Ax+(m_1-Am_0)\cdot x\) 的梯度。直接乘法验证

仿射变换保持高斯族，均值与协方差都已正确，故 \(T_\#\mu_0=\mu_1\)。它又是凸梯度，因而是最优映射。目标奇异不妨碍从有密度的源压到一条线或一个点；源奇异时这个含逆矩阵的写法不可直接使用。

令 \(X=m_0+Z\)、\(\mathbb EZZ^\top=\Sigma_0\)。展开位移能量得到

最后一步用 \(A\Sigma_0A=\Sigma_1\) 和 \(\operatorname{tr}(A\Sigma_0)=\operatorname{tr}B\)。这就是Gaussian/Bures平方Wasserstein公式，相关矩阵推导见 Bhatia、Jain、Lim第2–3节。实验以平方范数算非负成本，把容易相消的迹公式留作独立数值对照；相同输入协方差直接使用解析恒等映射，并保留通用公式的残差。

插值的均值与协方差为

它通常不是 \((1-t)\Sigma_0+t\Sigma_1\)。如果两矩阵不交换，不能把矩阵平方根的次序任意调换。对于一般非高斯分布，相同均值与协方差也不确定分布；把这套公式代入两份矩估计，不能称为原分布的真实 \(W_2\)。

10. 通向动态传输与梯度流的接口

一条粒子路径 \(X_t\) 可以转写为质量连续性方程。若速度可由位置函数 \(v_t\) 表示，对光滑紧支撑检验函数 \(f\)，链式法则给出

一般耦合可能有多个粒子在同一位置，用条件平均速度 \(v_t(z)=\mathbb E[Y-X\mid X_t=z]\) 仍可得到弱形式，Jensen不等式给出速度场能量不超过粒子能量。动态公式进一步在所有满足连续性方程与端点约束的曲线上最小化：

这里取窄连续概率路径与平方可积的Borel速度，连续性方程按分布理解。Benamou–Brenier公式的这一测度版本见 Peyré动态传输讲义。它与粒子插值相关，但本课的有限时间表不是一般动态方程求解器。

对于足够光滑、严格为正且有适当衰减的密度，熵 \(\mathcal E(\rho)=\int\rho\log\rho\) 的形式变分导数是 \(1+\log\rho\)。取负梯度速度 \(v=-\nabla\log\rho\)，连续性方程便成为 \(\partial_t\rho=\Delta\rho\)。这说明热方程与Wasserstein梯度流的联系；原子测度没有这样的密度，不能把对数密度与逐点梯度直接塞给它。

严谨理论通过变分时间步 \(\rho^{k+1}\in\arg\min_\rho\{\mathcal E(\rho)+W_2^2(\rho,\rho^k)/(2\tau)\}\) 等工具建立存在与收敛。此处是后续研究课程的入口；经典解正则性、离散格式收敛与数值误差仍需另证。

11. 四道完整练习：给路径和平均各写一份证书

练习一：拆分之后的半程，和混合有什么不同？

取 \(\mu_0=\delta_0\)，\(\mu_1=0.35\delta_{-2}+0.65\delta_2\)，求半程分布、两段距离与两种半程方差。

练习二：直线运动能把零距离走成来回路吗？

源和目标均为二维两点 \((-1,0),(1,0)\) 各一半，选择交叉配对。求端点最优成本、中点以及1/4和3/4时刻之间的距离。

练习三：三个点质量的重心怎样验收？

对 \(\delta_0,\delta_2,\delta_4\) 取权重 \(1/4,1/4,1/2\)，求重心，并比较候选 \(\delta_2\)。

练习四：高斯协方差平均在哪一步走错？

均值都为0，\(\Sigma_0=\operatorname{diag}(1,4)\)、\(\Sigma_1=\operatorname{diag}(4,1)\)。求最优映射、距离与半程协方差。

12. 把几何带入研究，先分清误差来自哪里

这课建立了三个可以复用的判断：最短路需要最优耦合；一维重心来自共同分位数；高斯公式只对相应高斯模型给出完整距离。它们能用于形状插值、分布比较和变分模型，但不会自动保证任意生成算法训练稳定。

在数据问题中，经验分布与总体分布的差、耦合优化没做完的差、正则化改变目标的差，以及分布模型忽略高阶结构的差，是不同来源。统计速率还依赖维数、矩条件、风险是距离还是距离平方，不能只报一个“样本量开方”规则。

下一课：熵正则化与Sinkhorn会把这份几何转成可迭代的数值问题。接下来的首要检查仍是边缘与目标口径：平滑后的耦合可行了吗，计算的是运输成本还是含熵的目标，算法误差和正则化偏差分别多大？