测度概率 IV · 鞅收敛与应用

对标：Durrett PTE §4.2–4.7、§5.4 ｜ 前置：mt-01–03 鞅论的丰收页：上穿不等式 → 鞅收敛定理（全证，本课程最优雅的证明链）、Doob 极大不等式、Azuma–Hoeffding。收尾把四页测度概率的资产盘点成表，交棒高维概率与随机分析。

1. 上穿不等式与鞅收敛定理

思想：数列不收敛 ⟺ 在某对有理数 \(a < b\) 之间上穿无穷次。所以控制住上穿次数就控制住了收敛。

记 \(U_n[a,b]\) = 到时刻 \(n\) 为止完成的上穿次数（从 \(\leq a\) 走到 \(\geq b\) 算一次）。

定理（Doob 上穿不等式） 上鞅 \(X\)：

【证明】 构造赌博策略 \(H_m \in \{0,1\}\)：\(X \leq a\) 后开仓持有、\(X \geq b\) 后平仓（\(H_m\) 由 \(\mathcal{F}_{m-1}\) 决定——可预测）。策略收益 \((H\cdot X)_n = \sum H_m(X_m - X_{m-1})\)：每次完整上穿至少赚 \((b-a)\)，未完成的最后一段亏损至多 \((X_n - a)^-\)，故 \((H\cdot X)_n \geq (b-a)U_n - (X_n - a)^-\)。另一方面对上鞅的可预测非负策略收益仍是上鞅（取出已知，一行）⇒ \(E(H\cdot X)_n \leq 0\)。移项即得。\(\blacksquare\) （读法："在下跌趋势的市场里做波段，期望不可能为正"——不等式的字面意义。）

定理（鞅收敛定理） \(L^1\) 有界的上鞅（\(\sup_n E|X_n| < \infty\)）a.s. 收敛于某可积 \(X_\infty\)。 【证明】 对每对有理 \(a<b\)：上穿不等式给 \(E U_\infty[a,b] \leq \frac{\sup E|X_n| + |a|}{b - a} < \infty\) ⇒ \(U_\infty < \infty\) a.s.；对可数对有理数取并：不收敛事件（= 某对 \((a,b)\) 上穿无穷次）概率零；极限有限性由 Fatou：\(E|X_\infty| \leq \liminf E|X_n| < \infty\)。\(\blacksquare\)

推论：非负上鞅必 a.s. 收敛（自动 \(L^1\) 有界）。⚠️ a.s. 收敛 ≠ \(L^1\) 收敛：临界分支过程 \(Z_n/\mu^n \to 0\) a.s. 但期望恒 1——质量逃逸重演；\(L^1\) 收敛的充要条件是一致可积（mt-01 §2 在此收租），UI 鞅还满足 \(X_n = E[X_\infty \mid \mathcal{F}_n]\)（"每个 UI 鞅都是 Doob 鞅"——Lévy 向上定理，【骨架】：UI + a.s. ⇒ \(L^1\)，局部平均性质过极限）。

2. Doob 极大不等式

定理 非负下鞅 \(X\)：\(\displaystyle P\Big(\max_{k \leq n} X_k \geq \lambda\Big) \leq \frac{E X_n}{\lambda}\)。 【证明】 \(\tau\) = 首次 \(X_k \geq \lambda\)（停时）。\(\{\max \geq \lambda\} = \{\tau \leq n\}\)，且其上 \(X_\tau \geq \lambda\)：

中间不等号用下鞅的 OST 变体（\(E[X_n \mid \mathcal{F}_\tau] \geq X_\tau\) 于 \(\{\tau \leq n\}\)）。\(\blacksquare\) 读法：全程最大值只比终点贵一个 Markov 不等式——鞅结构把"每一步都要控制"压缩成"只控制最后一步"（Kolmogorov 极大不等式是 \(X = S_n^2\) 的特例，mt-02 的欠条清偿）。\(L^p\) 版【引用】：\(\|\max_{k\leq n} X_k\|_p \leq \frac{p}{p-1}\|X_n\|_p\)（\(p>1\)）。

3. Azuma–Hoeffding：鞅版集中不等式

定理 鞅 \(X\) 增量有界 \(|X_k - X_{k-1}| \leq c_k\)，则

【骨架】 指数鞅法三步：① 条件 Hoeffding 引理——有界零均值增量满足 \(E[e^{\theta\Delta}\mid\mathcal{F}] \leq e^{\theta^2c^2/2}\)（凸性插值，两行）；② 迭代条件化得 \(E e^{\theta(X_n - X_0)} \leq e^{\theta^2\sum c_k^2/2}\)；③ Chernoff：Markov 于 \(e^{\theta X}\) 再对 \(\theta\) 优化。\(\blacksquare\)

应用范式（McDiarmid 差分有界法）：任何"改动单个输入至多改变 \(c\)"的函数 \(f(X_1,\dots,X_n)\)（独立输入），对 Doob 鞅 \(M_k = E[f\mid\mathcal{F}_k]\) 用 Azuma ⇒ \(f\) 以 \(e^{-2t^2/\sum c_i^2}\) 速率集中于均值——不需要任何分布细节，只要"没有单点能翻盘"。统计学习理论泛化界（slt 线）与随机图论证的主力发动机；这一步也正式交棒下一门课：高维概率 = 把"集中现象"做成系统学科。

4. 测度概率四页资产盘点

5. 练习与要点

例 1（Polya 坛子） 坛中红黑各一，每次抽出放回并加同色一球：红球比例 \(X_n\) 是鞅（一行验证）+ 有界 ⇒ a.s. 收敛。极限分布是 \(U(0,1)\)（可算）——鞅收敛保证"命运终将定形"，但每次重来命运不同：路径依赖系统（技术锁定、先发优势）的概率模型。

例 2（分支过程灭绝） \(Z_n/\mu^n\) 非负鞅 ⇒ a.s. 收敛。\(\mu \leq 1\)（临界/次临界）时可证极限为 0 且灭绝概率 1（配合灭绝概率的不动点方程——本科随机过程页的结论获得鞅证明）。

例 3（McDiarmid 应用速写） \(f\) = \(n\) 个独立样本的经验风险最小值：换一个样本至多改 \(\frac{C}{n}\) ⇒ 集中 \(e^{-2t^2 n/C^2}\)——"训练误差是可靠的统计量"的一行证明（slt-03 的主料，提前尝味）。\(\blacksquare\)

测度概率完卷。下一门：高维概率——把 Azuma 的"集中"哲学推向现代形态：亚高斯范数、随机矩阵、chaining。