测度概率 II · 独立性与大数定律

对标：Durrett PTE §2.1–2.4 ｜ 前置：mt-01、本科概率 V 本页两座里程碑：Kolmogorov 0-1 律（尾事件没有中间地带）与强大数定律。SLLN 的四阶矩版本给全证——它是"BC 引理 + 截断思想"的教科书演出；一般 \(L^1\) 版本给骨架并说明难点在哪。

1. 独立性的测度论定义

σ-代数族 \(\{\mathcal{F}_i\}\) 独立：任取有限个、各取一事件，概率乘积分解。随机变量独立 = 各自生成的 σ-代数独立。

定理（π-系判据） 若各 \(\mathcal{P}_i\) 是 π-系且在其上乘积分解成立，则 \(\sigma(\mathcal{P}_i)\) 独立。 【骨架】 固定其余，对一个坐标用 π–λ（mt-01）升级到 σ-代数，逐坐标轮换。\(\blacksquare\) 收益：验证独立只需查分布函数分解（矩形是 π-系）——本科"密度乘积分解"判据的正式执照；且独立性对"分组再加工"封闭：\(f(X_1,\dots,X_m) \perp g(X_{m+1},\dots)\)（各自σ-代数的包含关系）。

2. Kolmogorov 0-1 律

尾 σ-代数 \(\mathcal{T} = \bigcap_n \sigma(X_n, X_{n+1}, \dots)\)——"不依赖任何有限前缀"的事件（级数 \(\sum X_n\) 收敛与否、\(\limsup \frac{S_n}{n}\) 的值域事件、BC 的 i.o. 事件……）。

定理 \(\{X_n\}\) 独立 ⇒ 尾事件概率非 0 即 1。 【证明】 记 \(\mathcal{F}_n = \sigma(X_1,\dots,X_n)\)。① \(\mathcal{F}_n \perp \sigma(X_{n+1},\dots) \supseteq \mathcal{T}\)，故每个 \(\mathcal{F}_n \perp \mathcal{T}\)；② 于是 π-系 \(\bigcup_n \mathcal{F}_n \perp \mathcal{T}\)，π-系判据升级到 \(\sigma(\bigcup\mathcal{F}_n) = \sigma(X_1, X_2, \dots) \perp \mathcal{T}\)；③ 但 \(\mathcal{T} \subseteq \sigma(X_1, X_2,\dots)\)——\(\mathcal{T}\) 与自己独立：\(A \in \mathcal{T}\) 给 \(P(A) = P(A \cap A) = P(A)^2\) ⇒ \(P(A) \in \{0, 1\}\)。\(\blacksquare\)

读法：独立序列的长期行为没有"半概率"事件——"\(\frac{S_n}{n}\) 收敛"这类命题要么必然要么不可能（所以 SLLN 只需证"概率正"就自动升级为"概率 1"——0-1 律是大数定律的哲学背书）。"与自己独立"那步是全书最俏皮的三行。

3. 强大数定律

定理（SLLN，四阶矩版） \(X_i\) i.i.d.，\(EX_1 = \mu\)，\(EX_1^4 < \infty\)，则 \(\frac{S_n}{n} \to \mu\) a.s. 【证明】 不妨 \(\mu = 0\)。展开 \(E S_n^4\)：独立零均值使含单独一次幂的项全灭，仅存 \(n\) 个 \(EX_i^4\) 与 \(3n(n-1)\) 个 \(E X_i^2 X_j^2 = (EX^2)^2\) 项：

Markov（四次方版）：\(P\big(|S_n/n| > \varepsilon\big) \leq \frac{ES_n^4}{n^4\varepsilon^4} \leq \frac{C}{n^2\varepsilon^4}\)——可和！BC-I 给 \(|S_n/n| > \varepsilon\) 只发生有限次（每个 \(\varepsilon\)），沿 \(\varepsilon = 1/k\) 取交即 a.s. 收敛。\(\blacksquare\)

方法论读出（比定理本身更值钱）：二阶矩给 \(1/n\) 衰减（不可和，只够弱大数）；抬到四阶矩换来 \(1/n^2\) 可和性——"提高矩的阶数买 BC 的门票"是 a.s. 论证的标准交易；这也正是下门课（高维概率）"矩条件 ⇄ 尾部衰减"哲学的第一课。

定理（Kolmogorov SLLN，最优版） i.i.d. + \(E|X_1| < \infty\) 即可（且 \(E|X| = \infty\) 时必发散——条件精确）。 【骨架】（Etemadi 路线）① 正负部分拆，不妨 \(X \geq 0\)；② 截断 \(Y_n = X_n\mathbb{1}_{X_n \leq n}\)：\(\sum P(X_n \neq Y_n) = \sum P(X > n) \leq E X < \infty\)，BC-I 说两序列 a.s. 终同；③ 方差求和技巧 \(\sum \frac{\mathrm{Var}(Y_n)}{n^2} < \infty\)（关键估计：\(\sum_{n \geq x} n^{-2} \leq C/x\) 与 Fubini 交换）；④ 沿几何子列 \(n_k = \lfloor\alpha^k\rfloor\) 用 Chebyshev + BC-I 证子列收敛，再用非负性 + 单调性把子列间隙夹住；\(\alpha \downarrow 1\) 收尾。\(\blacksquare\) 难点自白：③④ 的簿记是本页最重的技术活——骨架四步是可复述的，全文见 Durrett §2.4。

配套武器【引用】：Kolmogorov 极大不等式（\(P(\max_{k\leq n}|S_k| > x) \leq \mathrm{Var}(S_n)/x^2\)——Chebyshev 的"全程版"，mt-04 将由 Doob 不等式统一收编）；三级数定理（独立和 a.s. 收敛的充要三条件）。

4. 练习与要点

例 1（0-1 律速判） i.i.d. 非退化序列，"\(X_n > 0\) i.o."：尾事件 + BC-II（\(\sum P(X_n > 0) = \infty\)）⇒ 概率 1。"收敛半径 \(\limsup |X_n|^{1/n}\) 是常数 a.s."——尾函数 + 0-1 律推论（尾可测函数 a.s. 为常数）。

例 2（矩条件的必要性体感） Cauchy 分布（\(E|X| = \infty\)）：\(\frac{S_n}{n}\) 仍是标准 Cauchy（特征函数一行：\((e^{-|t|/n})^n = e^{-|t|}\)）——永不收敛、永不集中：SLLN 的 \(L^1\) 条件不是技术洁癖。

例 3（蒙特卡洛的理论执照） \(\hat\theta_n = \frac1n\sum g(X_i)\)（\(E|g| < \infty\)）a.s. 收敛于 \(Eg\)——SLLN 就是一切 MC 方法（本科数值 IV、你的模拟实验）的"终极正确性"声明；速率则要回到 CLT/集中不等式（下门课）。\(\blacksquare\)

下一页：全书的心脏——条件期望的测度论定义与鞅：过滤、停时、可选停止定理。