流形几何 IV · 曲率

学习层：同一个小罗盘，为什么绕圈会留下不同的方向误差？

1. 具体情境：在球面、平面和双曲模型上巡检

巡检员从同一点出发，携带三个向量 \(X,Y,Z\)。他先用 \(X,Y\) 张成一个小平行四边形，把 \(Z\) 沿四条边平行移动；再比较两组测地线族：一组从相邻点出发且初始速度场的协变变化为零，另一组从同一点以微小夹角出发；最后把一个小方圈的面积逐渐放大。平面模型应当“绕圈不留痕”，正曲率模型的正交测地线束会聚，负曲率模型则发散。

但三个读数不是同一件事：\(R(X,Y)Z\) 依赖三个向量，截面曲率先除以 \(\lvert X\wedge Y\rvert^2\)，Ricci 是对一个指标做迹，标量曲率再取一次迹。实验把每个缩并的分母、单位和有限范围写出来。

2. 揭示前先预测

选择球面 \(K=+1/4\)、欧氏 \(K=0\) 或双曲 \(K=-1/4\)，再预测：

1. 当前 \(X,Y\) 张成的非退化截面曲率符号是什么？若 \(X\parallel Y\)，是否仍有截面？
2. 在 \(n\) 维常曲率模型中，\(\operatorname{Ric}^{\sharp}(X)\) 是 \(KX\)、\((n-1)KX\)，还是不能由迹得到？
3. 初始协变变化为零的正交分离 \(j\) 满足哪种行为：正曲率振荡、平直保持，还是负曲率按 \(\cosh\) 增长？
4. 一个小圈的首阶和乐角按 \(K\times\) 面积、\(K/\)面积，还是面积/\(K\) 缩放？

完成四项预测后才会揭示图和表。这里的有限常曲率算例是概念校验，不是对一般流形的全局证明。

3. 正式桥：从 \(R\) 到三个缩并

本页采用

常曲率 \(K\) 的模型用

这个写法明确保证正模型的截面曲率为正；换一套 \(R\) 符号约定时，截面曲率的定义式也须相应改号，才能继续表示同一个球面的正曲率；不能只改公式标题。

Ricci 是二阶张量

在常曲率 \(n\) 维模型中的结果。取正交单位基 \(e_i\)，计算 \(\sum_i\langle R(e_i,X)Y,e_i\rangle=K(n\langle X,Y\rangle-\langle X,Y\rangle)\)，就得到 \((n-1)K\)；再对 \(X=Y=e_j\) 求和得到标量曲率。文献里写 \(\operatorname{Ric}(X)\) 时，可能指一形式 \(Y\mapsto\operatorname{Ric}(X,Y)\)；只有用度量升指标后，才把它当作向量 \(\operatorname{Ric}^{\sharp}(X)\)。

4. 动手揭示：把两个尺度一起画出

实验显示 \(R(X,Y)Z\)、非退化截面分母、Ricci/标量缩并，并画出

的解。这个方程来自一族测地线 \(F(s,u)\)：记 \(T=\partial_sF,U=\partial_uF\)，有 \([T,U]=0\)。无挠给 \(\nabla_TU=\nabla_UT\)，而 \(\nabla_TT=0\)；按本页曲率定义，\(R(T,U)T=\nabla_T\nabla_UT\)。所以沿中心曲线取 \(J=U\)，得到 \(D_s^2J=R(T,J)T=-R(J,T)T\)。

这里 \(s\) 是弧长、\(T\) 为单位切向，\(J=jE\)，\(E\) 是沿路径平行的单位法向；真正相邻曲线的分离为 \(\varepsilon J+O(\varepsilon^2)\)，不是让任意大的 \(J\) 等于精确距离。对两组初值，解分别为

第一行从相邻点出发，其首次零点 \(\pi/(2\sqrt K)\) 是此测地线族的聚焦。起点的共轭点需要非恒零 Jacobi 场在起点和终点都为零；第二行才符合这个初值判据，首次正零点为 \(\pi/\sqrt K\)。\(j<0\) 表示分量方向翻转，距离的一阶近似是 \(\varepsilon|j|\)。

小圈示意另用定向正交基，与向量选项中的斜基/退化组分开；改变向量组只改变张量缩并，不改变这个参考圈。实验还显示边长 \(\ell\) 小方圈的 \(\theta\approx K\ell^2\) 首阶账。小圈反向绕行时角度反号，高阶项和全局拓扑没有被隐藏进这个近似。

5. 定理边界

• “\(\Gamma=0\) 坐标存在当且仅当 \(R=0\)”必须读成邻域内平坦坐标：在一个足够小的邻域上，若 \(R\) 在该邻域恒为零，才可找坐标使全部 \(\Gamma^k_{ij}\) 在该邻域恒为零，反之亦然。单点总能取法坐标使 \(\Gamma(p)=0\)，这不推出 \(R(p)=0\)。
• Bonnet–Myers：连通、完备的 \(n\ge2\) 维黎曼流形若 \(\operatorname{Ric}\ge(n-1)k\,g\)、\(k>0\)，则直径不超过 \(\pi/\sqrt{k}\)，并推出紧致与基本群有限。实验没有检查完备性，也没有证明该定理。
• Cartan–Hadamard：完备、单连通且所有截面曲率 \(K\le0\) 时，\(\exp_p\) 是到流形的全局微分同胚。把三条有限曲线或一张 toy 图当成该全局结论是不合法的。
• 常曲率的完备、单连通模型按 \(K>0,=0,<0\) 分别对应球面型、欧氏型、双曲型，尺度由 \(\lvert K\rvert\) 决定；“三种模型”不是任意不完备或非单连通空间的分类。

6. 迁移题：相同的曲率标签，能推出相同结论吗？

1. 半径 \(2\) 的球面上，\(j_1(s)=\cos(s/2)\)、\(j_2(s)=2\sin(s/2)\)。各自的首次正零点是什么？哪一组能证明起点与零点共轭？
2. 在定向正交基 \((e_1,e_2)\) 中，正向小圈面积近似 \(A=.36\)、\(K=.25\)。从 \(v=e_1\) 出发，一阶向量变化朝 \(+e_2\) 还是 \(-e_2\)？反向如何？
3. 圆柱 \(S^1\times\mathbb R\) 配乘积平直度量，完备且 \(K=0\)。能否据此说 \(\exp_p\) 全局单射？