流形几何 III · 黎曼度量、联络与测地线

对标：Lee Riemannian Manifolds §2–5 ｜ 前置：mfld-01/02、微分几何 II（第一基本形式） 光滑结构只能谈"可微"，谈不了长度与角度——黎曼度量补上这块：每点切空间配一个内积、随点光滑变化。随之而来的核心难题：弯曲空间里不同点的切向量怎么比较（求导需要比较！）——答案是联络；由它定义"不转弯的曲线"——测地线。

1. 黎曼度量

定义 黎曼度量 \(g\)：每点 \(p\) 一个内积 \(g_p: T_pM\times T_pM \to \mathbb{R}\)，坐标下对称正定矩阵场 \(g_{ij}(x)\)（高代 VI 的正定性逐点站岗）。曲线长度 \(L(\gamma) = \int\sqrt{g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,dt\)；由长度诱导距离——黎曼流形是度量空间（泛函 I 的语言回流）。

例：\(\mathbb{R}^n\) 平直度量 \(g_{ij} = \delta_{ij}\)；曲面的第一基本形式（微分几何 II 的 \(E, F, G\) 正是 \(2\times2\) 的 \(g_{ij}\)——那门课原来一直在做二维黎曼几何）；双曲平面 \(g = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2}\)（上半平面——常负曲率世界，非欧几何的正式住所）；Fisher 信息度量 \(g_{ij} = E[\partial_i\ln p\,\partial_j\ln p]\)（统计模型族上的天然黎曼结构——统计 II 的信息阵原来是个度量张量：信息几何的出生证明，自然梯度 = 此度量下的梯度）。

存在性：任何流形都有黎曼度量（单位分解拼局部内积【一行】）——度量不稀缺，特定度量的性质才是学问。

2. 联络：比较不同点的切向量

困难：\(T_pM\) 与 \(T_qM\) 是不同的线性空间——"\(X(q) - X(p)\)"没有意义 ⇒ 向量场无法直接求导。仿射联络 \(\nabla\)：公理化"方向导数"（对方向线性、对被导向量场 Leibniz）；坐标下由 Christoffel 符号 \(\Gamma^k_{ij}\) 编码（\(\nabla_{\partial_i}\partial_j = \Gamma^k_{ij}\partial_k\)——"基向量自己怎么漂移"的记录）。

定理（黎曼几何基本定理） 每个黎曼流形上存在唯一的联络（Levi-Civita 联络）同时满足：① 与度量相容（\(\nabla g = 0\)：平移保内积）；② 无挠（\(\Gamma^k_{ij}\) 对称）。且

【证明】 Koszul 公式：把相容性写三遍（轮换指标）、加加减减解出 \(g(\nabla_XY, Z)\) 的显式表达——唯一性与存在性同一行代数。\(\blacksquare\) 读法：度量白送一个求导法则——几何（长度）决定运动学（平移）；\(\Gamma\) 不是张量（换坐标带二阶项）——它是"坐标系的假力"（离心力/科氏力的数学身份）。

平行移动：沿曲线解 \(\nabla_{\dot\gamma}X = 0\)（线性 ODE——存在唯一由 ode 理论白送）——"向量不转动地搬运"；和乐（holonomy）：绕闭路平移回来向量可以转了角度——曲率的第一征兆（下一页主角）。

3. 测地线

定义 \(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma = 0\)——"速度向量沿自身平行移动"：不转弯的曲线。坐标方程：

（二阶非线性 ODE——存在唯一性（ode-01/sc 线的 Picard）给：每点每方向恰一条测地线。）

两重身份的等价【骨架】：变分身份——测地线是长度（等价地能量 \(\int g(\dot\gamma,\dot\gamma)dt\)）泛函的临界点：Euler–Lagrange 方程恰是测地线方程（变分法一算——"最短路 = 不转弯"）。⚠️ 临界 ≠ 最短：球面大圆的劣弧最短、优弧只是驻点——局部最短、全局未必（共轭点理论管辖【引用】）。

指数映射 $\exp_p(v) = $ 沿 \(v\) 方向测地线走单位时间——切空间到流形的"局部展平地图"（法坐标：\(g_{ij}(p) = \delta_{ij}\)、\(\Gamma(p) = 0\)——每点附近都可以"假装平直"到一阶：广义相对论等效原理的数学内核）。Hopf–Rinow 定理【引用】：度量完备 ⟺ 测地线无限延伸 ⟺ 任两点有最短测地线——"完备性买连通的最短路"（泛函 I 完备性哲学的几何版）。

4. 练习与要点

例 1（球面测地线亲算） \(S^2\) 球坐标度量 \(ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\varphi^2\)：算 \(\Gamma\)（非零者 \(\Gamma^\theta_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\cos\theta\)、\(\Gamma^\varphi_{\theta\varphi} = \cot\theta\)），验证赤道 \(\theta = \frac\pi2\) 满足测地线方程——大圆 = 球面的直线（航线为何走大圆的定理版）。

例 2（双曲平面的测地线） 上半平面度量下验证竖直线是测地线（对称性论证：反射等距固定它）——非欧几何的"直线"是竖线与半圆：平行公理在此失效的实物模型（过线外一点无穷多条"平行线"）。

例 3（🔗 自然梯度） 统计模型族上最速下降的正确方向是 \(-I(\theta)^{-1}\nabla\ell\)（Fisher 度量下的梯度）而非 \(-\nabla\ell\)：参数化不变的优化——普通梯度依赖坐标（换参数化方向就变），黎曼梯度只依赖几何（优化 II 预条件的几何真身；K-FAC/natural policy gradient 的出处）。\(\blacksquare\)

收官页：曲率——黎曼张量的定义与含义、截面曲率、以及 Gauss–Bonnet 的高维眺望。