矩阵分析 II · Löwner 序、Schur 补与矩阵函数

对标：Horn & Johnson §7.1–7.7、Zhang Schur Complement ｜ 前置：本科高代 VI、ma-01 本页回答"矩阵能不能当数用"：Löwner 偏序（\(A \succeq B\) 的运算法则与陷阱）、Schur 补（分块矩阵的正定判据——统计与优化的瑞士军刀）、矩阵函数（\(e^A, A^{1/2}, \ln A\) 的正确定义与单调性的惊人失效）。

1. Löwner 偏序

定义 \(A \succeq B \iff A - B\) 半正定（对称阵上的偏序——不是全序：\(\mathrm{diag}(2,0)\) 与 \(\mathrm{diag}(0,2)\) 不可比）。

安全运算：加法保序；共轭保序（\(A \succeq B \Rightarrow X^\top AX \succeq X^\top BX\)——定义一行）；求逆反序（\(A \succeq B \succ 0 \Rightarrow B^{-1} \succeq A^{-1}\)【骨架：先证 \(A \succeq I \Rightarrow I \succeq A^{-1}\)（谱分解逐特征值），一般情形用 \(B^{-1/2}\) 共轭归约】）；特征值逐个保序（Weyl 的推论，ma-01）。

⚠️ 危险运算（数的直觉失效区）：乘法不保序（\(AB\) 甚至未必对称）；平方不保序：\(A \succeq B \not\Rightarrow A^2 \succeq B^2\)（反例存在于 \(2\times2\)——见例 1）。哪些函数保序？——这是 §3 Löwner 定理的问题。

2. Schur 补（分块世界的主定理）

分块对称阵 \(M = \begin{pmatrix} A & B \\ B^\top & C\end{pmatrix}\)（\(A \succ 0\)），Schur 补 \(S = C - B^\top A^{-1}B\)。

定理（正定判据） \(M \succ 0 \iff A \succ 0\) 且 \(S \succ 0\)。 【证明】 分块消元的合同变换：\(\begin{pmatrix}I & 0\\ -B^\top A^{-1} & I\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}I & -A^{-1}B\\ 0 & I\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A & 0\\ 0 & S\end{pmatrix}\)——合同不变惯性（高代 VI Sylvester 惯性定律上岗），块对角的正定性逐块看。\(\blacksquare\)

三重身份（每个都在别处执勤）：

• 统计：多维正态的条件协方差 \(\mathrm{Cov}(X_2\mid X_1) = \Sigma_{22} - \Sigma_{21}\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}\) 恰是 Schur 补——条件化 = 分块消元（本科概率 III 二维正态条件分布公式的矩阵真身；Gauss 过程回归的预测方差同式）；
• 优化：二次型部分最小化 \(\min_{x_1} \binom{x_1}{x_2}^\top M\binom{x_1}{x_2} = x_2^\top S\, x_2\)——"消掉一块变量剩 Schur 补"；LMI 技巧：非线性约束 \(C \succeq B^\top A^{-1}B\) ⟺ 线性矩阵不等式 \(M \succeq 0\)（cvx-04 SDP 建模的第一技法）；
• 数值：分块消元的枢轴（区域分解法的接口算子【引用】）。

3. 矩阵函数

定义（谱演算） 对称 \(A = Q\Lambda Q^\top\)：\(f(A) = Q\,f(\Lambda)\,Q^\top\)（对角逐元素作用）——与幂级数定义（收敛域内）一致【引用】；非对称走 Jordan/围道积分定义（复变 II 的 Cauchy 公式变身 \(f(A) = \frac{1}{2\pi i}\oint f(z)(zI - A)^{-1}dz\)——解析函数论在矩阵上复活）。

三大常客：\(e^{A}\)（ode-03 的矩阵指数：\(e^{A+B} = e^Ae^B\) 仅当交换——Lie 理论的门缝）；\(A^{1/2}\)（PSD 唯一平方根——白化、协方差的"标准差"）；\(\ln A\)（信息几何与矩阵优化的坐标）。

定理（Löwner 单调性，陈述 + 名单） \(f\) 称算子单调若 \(A \succeq B \Rightarrow f(A) \succeq f(B)\)。名单：\(t^{1/2}, \ln t, -1/t\) 算子单调；\(t^2, e^t\) 不是（例 1）。完整刻画（Löwner 定理：算子单调 ⟺ 可解析延拓到上半平面且保上半平面）【引用】。 实用读法：开方与取对数可以放心比大小，平方与指数不行——矩阵不等式推导的红绿灯（量子信息与信息几何里这张名单是日用品）。

迹不等式一嘴：von Neumann 迹不等式 \(\mathrm{tr}(AB) \leq \sum\sigma_i(A)\sigma_i(B)\)、\(\mathrm{tr}\) 与凸性（\(A \mapsto \mathrm{tr}f(A)\) 对凸 \(f\) 凸【引用】）——SDP 目标函数合法性的背书。

4. 练习与要点

例 1（平方不保序的反例） \(A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1& 1\end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\)：\(A - B = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \succeq 0\) ✓；但 \(A^2 - B^2 = \begin{pmatrix}4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}\) 行列式 \(= -1 < 0\) ✗——两分钟亲手验证，"矩阵不是大号的数"从口号变体感。

例 2（Schur 补三用合一） \(\Sigma = \begin{pmatrix}4 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}\)：条件方差 \(3 - \frac{4}{4}\cdot 1 \cdot\cdots = 3 - 1 = 2\)（回归掉 \(X_1\) 后 \(X_2\) 剩的方差）；同数字即"消 \(x_1\) 后的二次型"与"\(M \succ 0\) 判据的第二块"——一个数三张面孔。

例 3（矩阵函数计算） \(A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\)：谱 \(\pm1\)、\(e^A = \cosh(1)I + \sinh(1)A\)（谱演算两行）——"矩阵函数 = 特征值上的标量函数 + 特征向量搬运"的最小演示。\(\blacksquare\)

下一页：非负矩阵的世界——Perron–Frobenius 定理：正矩阵必有正主特征对，Markov 链、PageRank、人口模型的总后台，矩阵分析收官。