动力学极限 03 · 流体从哪里来：局部平衡、守恒矩与极限顺序

1. 流体变量是速度分布的几个矩

设分子质量与气体常数已归一化。给定 \(f(t,x,v)\)，质量密度、平均速度与温度由

定义。\(u\) 是整体流速，\(v-u\) 是热运动；把二者混在一起，会把均匀移动的气体误判成更热。它们有单位，在本讲实验中均通过参考速度、时间和质量归一化。

对 Boltzmann 方程乘 \(1\) 和 \(v\) 再积分，碰撞不变量消去右端，得到

问题没有消失：第二式的通量是二阶矩，而我们的未知量只有 \(\rho,u,T\)。恒等式

把剩余未知写成压力张量。一般分布可以有各向异性；不能直接用一个标量温度替代整个张量。

2. 局部 Maxwell 分布为什么能闭合

若在每个 \((t,x)\)，速度分布确为

中心 Gaussian 的不同坐标交叉矩为零、每个坐标方差为 \(T\)，所以 \(\mathsf P=\rho TI\)，中心三阶热通量为零。代入守恒矩，得到可压缩 Euler 的形式闭合。注意“局部 Maxwell”允许参数随空间变化，通常并不是完整动力学方程的精确解：输运会把它拉离局部平衡。

若碰撞时间远小于宏观输运时间，快速碰撞会持续把形状拉回平衡附近。Knudsen 数 \(\mathrm{Kn}\) 是平均自由程与宏观长度之比，小 Kn 描述频繁碰撞的尺度。离平衡的一阶修正携带剪切应力与热通量，才会带来黏性和热传导；直接令 \(f=M\) 会把这些效应一起删掉。

3. 一个不破坏守恒的可算松弛模型

先去掉空间变量，只保留四个速度 \(v=(-2,-1,1,2)\)。定义平衡概率 \(M_i=e^{-v_i^2/2}/Z\)，其中 \(Z=2(e^{-2}+e^{-1/2})\)。设

逐项核对 \(\sum c_i=0\)、\(\sum v_ic_i=0\)、\(\sum v_i^2c_i=0\)。所以改变 \(\eta\) 会改变形状，却保持质量、动量和动能。限定 \(|\eta|\le0.04\) 保证四个概率均正。只用三个速度并同时固定这三个矩，通常没有剩余自由度；那样的实验根本看不到非平衡松弛。

采用齐次 BGK 型方程 \(\dot f_i=(M_i-f_i)/\varepsilon\)，\(\varepsilon>0\) 为松弛时间，解为

它也是 \(e^{-t/\varepsilon}f_i(0)+(1-e^{-t/\varepsilon})M_i\)，所以正性来自两个正分布的凸组合。三个矩一直不变，但 \(L^1\) 偏差为 \(6|\eta|e^{-t/\varepsilon}\)，明显衰减。这是守恒与松弛可以同时发生的具体机制。

4. 熵能检查什么，不能检查什么

定义离散相对熵 \(H(f\mid M)=\sum_i f_i\log(f_i/M_i)\)。质量相等使导数中的常数项抵消：

每项的符号已足够证明不增；不必期待浮点数恰好每次输出相同小数位。由于 \(\log M_i\) 是常数加 \(v_i^2\) 的倍数，固定质量和能量时，最小化这个相对熵也就是最大化离散物理熵。这里平衡由模型预先指定，尚无空间中的动量交换。

当固定 \(t>0\) 再令 \(\varepsilon\to0\)，扰动消失；在 \(t=0\) 它却仍为原值。因此收敛一般不在包含零时刻的整个时间区间上一致。长度约 \(\varepsilon\) 的初始层揭示了“碰撞非常快”与“从初时刻就等于平衡”的差别。如果同时取 \(t=c\varepsilon\)，剩余比例是 \(e^{-c}\)，而不是零。

同一条松弛曲线，熵与 L¹ 偏差为何衰减得不同？

令 \(\delta=\eta e^{-t/\varepsilon}\)，于是 \(f=M+\delta c\)。对每一项展开对数，质量约束消去一次项；又因为 \(M_1=M_4,M_2=M_3\)，每对扰动互为相反数，所有奇次项抵消。小 \(\delta\) 时

因此在平衡附近、固定非零 \(\eta\)，相对熵的主项按 \(e^{-2t/\varepsilon}\) 衰减，而 \(L^1\) 偏差精确按 \(e^{-t/\varepsilon}\) 衰减。不能看到两个半对数斜率相差一倍，就断言其中一个实验出错；它们对同一小扰动采用了不同阶的度量。

也可用概率分布的 Pinsker 不等式检查量级：自然对数约定下 \(H(f\mid M)\ge\tfrac12\|f-M\|_1^2=18\delta^2\)。本模型的 \(K>18\) 与此相容。二次展开描述小扰动，不能拿它代替任意正分布上的精确熵公式；网页仍显示精确求和结果。

5. 从这一步到严格流体极限

形式上，不可压缩扩散尺度常写作

并让分布是全局 Maxwell 附近量级 \(\varepsilon\) 的扰动。质量方程除以正确量级后，最低阶约束给 \(\nabla\cdot u=0\)；动量通量更高阶才保留惯性与黏性。严格证明要控制余项、紧性、非线性乘积与初始声波，不能只逐幂次配平。

2025 年 Deng–Hani–Ma 将二维、三维环面上的稀薄硬球推导与流体极限结合。其 Navier–Stokes–Fourier 结论使用准备好的近 Maxwell 初值，固定满足相应条件的光滑流体解及其时间区间，并协调球径、流体尺度和误差界。定理不是对任意有限粒子数的精确等式，也没有证明三维 Navier–Stokes 任意光滑初值永远光滑。

2009 年 Golse–Saint-Raymond 的另一条路线在所规定碰撞核、熵估计和尺度下得到弱流体极限。弱解构造与光滑解长期存在是不同验收目标。阅读研究时应先识别空间、初值类、拓扑与时间范围，再判断“从牛顿到流体”这一标题覆盖多大范围。

用两个时钟检查初始层

若比较不同 ε 的分布，必须先决定是在同一个宏观时间比较，还是在相同碰撞次数尺度比较。固定 \(t\) 时，ε 越小，已经历的松弛次数 \(t/\varepsilon\) 越大；若固定 \(t/\varepsilon=1\)，所有曲线都保留相同的 \(e^{-1}\) 扰动比例。两种图会给出不同视觉印象，却没有数学矛盾。

本实验还允许把 η 改为相反数。三个守恒量保持原值，偏差的绝对值也相同，但四个速度格的形状互换。相对熵不是逐格偏差的带符号和，因此不能靠正负抵消使它为零；对正分布，只有完全等于 M 时才达到零。这种检查可以区分“总误差抵消”与“分布确实接近平衡”。

空间问题多了一层困难：即使每处都接近平衡，平衡参数的空间梯度仍会产生非平衡修正。我们需要同时知道偏离有多小、梯度有多大和观测时间有多长，才能判断黏性修正是否应该保留。

6. 实验与迁移

默认静态结果：\(\varepsilon=0.5,\eta=0.03,t=0.5\)。分布约为 \((0.10224915,0.38671447,0.43086000,0.08017638)\)；质量 1，动量 0，动能 0.773638286；\(L^1\) 偏差 0.066218299，相对熵 0.002531051。

题一。 把初始扰动换成 \(\eta(1,0,0,0)\)，却仍松弛到原 \(M\)，会破坏什么？

题二。 固定 \(\eta\ne0\)，比较先取 \(t\to0^+\) 再取 \(\varepsilon\to0\)，与相反顺序的偏差极限。