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基础衔接 22 · D-模：把微分方程、支撑与奇点装进同一个对象

先修：模与商、链复形、联络与单值化、导出范畴与 roofs。本讲固定在特征 \(0\) 的复数域上，先从仿射直线的第一 Weyl 代数算起，再说明哪些结论能推广到光滑簇。目标是分清“向量丛带可积联络”与“一般 D-模”，并用特征簇、正则奇点和不规则奇点回答三种不同的问题。

同一个微分算子，怎样既描述函数，也描述只活在一点上的对象？

1. 乘坐标与求导为什么不能放进交换多项式环

在 \(X=\mathbb A^1_{\mathbb C}\) 上，让 \(x\) 表示乘以坐标，让 \(\partial=\partial_x\) 表示求导。对任意多项式 \(f\)，乘积法则给出

\[ \partial(xf)-x\partial(f)=f. \]

所以作为算子有

\[ \boxed{[\partial,x]=\partial x-x\partial=1.} \]

第一 Weyl 代数定义为

\[ A_1=\mathbb C\langle x,\partial\rangle/ (\partial x-x\partial-1). \]

尖括号表示先取不交换自由代数。关系允许把每个元素唯一整理成

\[ P=\sum_{j=0}^r a_j(x)\partial^j, \qquad a_j(x)\in\mathbb C[x]. \]

例如

\[ \partial x^3=x^3\partial+3x^2. \]

右边多出的 \(3x^2\) 正是 Leibniz 规则，不是排序误差。若错误地令 \(x\partial=\partial x\)，就会把所有导数对系数的作用删掉。

正规形的存在来自反复用 \(\partial x=x\partial+1\) 换序；唯一性可用算子作用检验：若最高阶为 r 的组合恒为零，连续地与乘以 x 的算子取 r 次交换子会得到 \(r!a_r(x)=0\)，特征0迫使最高系数为零，再向下归纳。

一个左 \(A_1\)-模 \(M\) 同时给出 \(x\) 与 \(\partial\) 在 \(M\) 上的作用，并要求二者满足同一交换子关系。元素 \(m\in M\) 可被多项式乘，也可被求导方向作用；一个循环模常写成

\[ M=A_1/A_1P, \]

其中 \(A_1P\) 是由算子 \(P\) 生成的左理想。关系 \(P\bar1=0\) 把微分方程保存在模内部。

“左”指可以在左边继续乘任意算子：\(Q\cdot(RP)=(QR)P\) 仍在 \(A_1P\) 中。生成元 \(P\) 因此写在每项的右端；\(PA_1\) 是右理想，不能交换顺序。这里取的是左模的商，一般不是能任意相乘陪集的代数商。

2. 一般光滑簇上的 \(\mathcal D_X\)

令 \(X\) 是光滑复代数簇。可内在地令 \(F_{-1}\mathcal D_X=0\)，并递归定义 \(F_r\mathcal D_X\) 为满足 \([P,f]\in F_{r-1}\mathcal D_X\) 对所有局部函数 f 成立的复线性算子 P；取这些层之并就是 \(\mathcal D_X\)。在本讲的光滑特征0条件下，微分算子层 \(\mathcal D_X\) 由函数 \(f\in\mathcal O_X\) 与向量场 \(\xi\in\mathcal T_X\) 局部生成，基本关系是

\[ [\xi,f]=\xi(f), \qquad [\xi,\eta]=[\xi,\eta]_{\rm Lie}. \]

在一张光滑坐标图 \((x_1,\ldots,x_n)\) 上，它看起来像由

\[ x_1,\ldots,x_n,\partial_1,\ldots,\partial_n \]

生成的 Weyl 代数层，其中

\[ [\partial_i,x_j]=\delta_{ij}, \qquad [x_i,x_j]=[\partial_i,\partial_j]=0. \]

“光滑、特征 \(0\)”不是装饰条件。它使切向量场表现良好，并让微分算子按阶数的伴随分次恢复余切空间上的交换函数环。奇异底空间或正特征中的微分算子会出现额外现象，本讲的公式不能原样搬过去。

全讲使用左 D-模。左右 D-模可以借助典范线丛互换，但公式会带符号和扭曲；不声明侧别就直接混用商模，是常见错误。

3. 第一个商模：\(A_1/A_1\partial\) 就是普通多项式函数

令

\[ M_{\rm fun}=A_1/A_1\partial, \qquad e=[1]. \]

关系 \(\partial e=0\) 意味着每个正规形中含正次 \(\partial\) 的项作用到 \(e\) 后消失。因此

\[ M_{\rm fun}=\mathbb C[x]e \]

作为 \(\mathbb C[x]\)-模自由秩一。作用为

\[ x\cdot(f e)=xf e, \qquad \partial\cdot(f e)=f'e, \]

因为

\[ \partial(f e)=f\partial e+f'e=f'e. \]

所以 \(M_{\rm fun}\) 不是“满足所有导数为零的常数空间”。它是整个函数模，只是循环生成元 \(e\) 被 \(\partial\) 杀死；对 \(xe\) 再作用 \(\partial\) 仍得到 \(e\)。

一般地，一个向量丛 \(E\) 带代数联络

\[ \nabla:E\longrightarrow E\otimes\Omega_X^1 \]

时，可以令向量场按 \(\nabla_\xi\) 作用。要让所有向量场关系真的给出 \(\mathcal D_X\)-作用，必须有零曲率

\[ [\nabla_\xi,\nabla_\eta]=\nabla_{[\xi,\eta]}. \]

这就是可积或平坦联络。在光滑特征 \(0\) 情形，底层为 \(\mathcal O_X\)-凝聚的左 \(\mathcal D_X\)-模与带可积联络的向量丛对应；这里的 \(\mathcal O_X\)-凝聚条件至关重要。

4. 第二个商模：\(A_1/A_1x\) 只支撑在原点，却不是有限维

现在令

\[ M_\delta=A_1/A_1x, \qquad \delta=[1]. \]

关系是 \(x\delta=0\)。用 \(\partial x-x\partial=1\) 反复换序，可得

\[ x\partial^j=\partial^jx-j\partial^{j-1}. \]

因此在商模中

\[ \boxed{x\partial^j\delta=-j\partial^{j-1}\delta.} \]

作为复向量空间，\(M_\delta\) 有基

\[ \delta,\partial\delta,\partial^2\delta,\ldots. \]
为什么这真是基，而不仅是一组生成元？

换序关系已经把每个向量写成有限和 \(\sum_jc_j\partial^j\delta\)。为了排除这些向量之间的隐藏关系，在另一个多项式空间 \(\mathbb C[t]\) 上定义

\[\partial\cdot f(t)=tf(t),\qquad x\cdot f(t)=-f'(t).\]

这里 \(t\) 是检验模型的坐标，不是原来的 \(x\)。直接计算

\[\begin{aligned} (\partial x-x\partial)\cdot f &=-tf'(t)+(tf(t))'\\ &=f(t), \end{aligned}\]

所以它确实是一个左 \(A_1\)-模。又因为 \(x\cdot1=0\)，映射

\[\Phi:M_\delta\longrightarrow\mathbb C[t],\qquad [Q]\longmapsto Q\cdot1\]

是良定义的：改变代表元所加的 \(Rx\) 总把 \(1\) 送到 \(0\)。而 \(\Phi(\partial^j\delta)=t^j\)。若商模中有有限线性关系，取像就得到 \(\sum_jc_jt^j=0\)，各系数只能全为零。这补齐了线性无关，也给出了 \(M_\delta\cong\mathbb C[t]\) 的具体模型。

注意 \(x\delta=0\) 只约束生成元，不表示 \(x\) 杀死所有向量；例如 \(x\partial\delta=-\delta\)。若误取由 \(x\) 生成的双边理想，那么 \(\partial x\) 和 \(x\partial\) 都在理想中，连 \(1=\partial x-x\partial\) 也在其中，商代数只剩零。

它不是有限维，也不是 \(\mathbb C[x]\)-有限生成模：乘 \(x\) 只能把导数阶数向下降，无法从有限多个基向量生成任意高阶 \(\partial^j\delta\)。但把 \(x\) 局部化为可逆元后，\(x\delta=0\) 会推出 \(\delta=0\)，所以这个模的几何支撑只在 \(x=0\)。

这正是“所有 D-模都是向量丛带联络”的反例。\(M_\delta\) 是循环的、D-凝聚的，却有点支撑，底层不是局部自由 \(\mathcal O_X\)-模。把它类比为 delta 分布及其导数有助于直觉，但代数定义就是上面的左商模，不依赖先建立分布论。

还有一个有用的警告：方程 \(xu=0\) 在普通全纯函数中只有零解，但 \(M_\delta\) 本身绝非零对象。若只用普通函数解空间探测所有 D-模，会漏掉点支撑信息；完整的 Riemann-Hilbert 对应需要导出解函子和构造性层，而不是“把每个方程写成若干函数”。

顶部从乘坐标与求导的交换子进入Weyl代数。中部并列比较A1模掉偏导与A1模掉x：前者是函数模且特征簇为零截面，后者由delta及其各阶导数组成且特征簇是原点的整个余切纤维。底部比较x偏导减alpha的正则奇点和偏导减一除x平方的不规则奇点，前者由幂函数与单值化描述，后者由指数e负一除x的方向增长描述。

D-模同时看见方程与支撑。两个商模都 holonomic，却分别沿整个底空间传播和集中在一点；正则性则是另一层关于奇点渐近行为的信息。

5. 特征簇：把最高阶方向投影到余切空间

按微分阶数过滤 \(\mathcal D_X\)：函数是 \(0\) 阶，向量场是 \(1\) 阶。交换子会降低一次阶数，因此伴随分次重新交换，并有

\[ \operatorname{gr}\mathcal D_X \cong\operatorname{Sym}_{\mathcal O_X}\mathcal T_X \cong\pi_*\mathcal O_{T^*X},\qquad \pi:T^*X\to X. \]

这里的凝聚 D-模要求底层O-拟凝聚，并局部由有限多个元素作为D-模生成。对这样的 M，好过滤是下有界、穷尽的O-凝聚子模过滤 \(F_jM\)，满足 \(F_i\mathcal D_X\cdot F_jM\subseteq F_{i+j}M\)，且分次模局部有限生成于 \(\operatorname{gr}\mathcal D_X\)。它把无穷多个导数按阶数组织起来；不是截掉高阶后改变原模。将分次模视为余切空间上的凝聚层，令

\[ \operatorname{Char}(M) =\operatorname{Supp}(\operatorname{gr}M) \subseteq T^*X. \]

虽然好过滤不唯一，所得特征簇的闭子集与选择无关。它记录微分方程在哪些余切方向失去椭圆性；这里只讨论集合支撑，不计算特征循环的重数。

在 \(\mathbb A^1\) 上用余切坐标 \(\xi\) 表示 \(\partial\) 的主符号。于是

\[ \operatorname{Char}(M_{\rm fun})=V(\xi), \]

即余切丛的零截面；而

\[ \operatorname{Char}(M_\delta)=V(x), \]

即原点上方的整个余切纤维。可以直接检查：函数模取 \(F_j=0\)（j<0）、\(F_j=\mathbb C[x]e\)（j≥0），正阶导数在分次上作用为0，故分次模是 \(\mathbb C[x,\xi]/(\xi)\)。点模取 \(F_j=\operatorname{span}_{\mathbb C}(\delta,\ldots,\partial^j\delta)\)；乘x降阶，所以在分次上作用为0，而ξ升阶，故分次模是 \(\mathbb C[x,\xi]/(x)\)。这实际给出上述两张特征簇，而不只是从图猜支撑。两者维数都为 \(1=\dim X\)。

对光滑不可约 \(n\) 维 \(X\) 上的非零凝聚 D-模，Bernstein 不等式给出

\[ \dim\operatorname{Char}(M)\ge n. \]

若取到最小可能维数

\[ \boxed{\dim\operatorname{Char}(M)=\dim X,} \]

就称 \(M\) 为 holonomic D-模。holonomic 表示方程系统在特征方向意义下“尽可能有限”，不表示底层向量空间有限维，也不表示底层 \(\mathcal O_X\)-模一定是向量丛。\(M_\delta\) 同时反驳这两个误解。

6. \(x\partial-\alpha\)：正则奇点、规范移位与单值化

在 \(X=\mathbb G_m=\operatorname{Spec}\mathbb C[x,x^{-1}]\) 上考虑循环 D-模

\[ M_\alpha=\mathcal D_X/ \mathcal D_X(x\partial-\alpha). \]

一支 D-线性解把生成元送到局部函数 \(u\)，关系要求

\[ (x\partial-\alpha)u=0. \]

在选定 \(\operatorname{Log}x\) 的小区域中

\[ u=x^\alpha=\exp(\alpha\operatorname{Log}x). \]

绕 \(x=0\) 正向一周，\(\operatorname{Log}x\) 增加 \(2\pi i\)，因此解的单值化是

\[ \boxed{u\longmapsto e^{2\pi i\alpha}u.} \]

这里算的是解函子 \(\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(M_\alpha,\mathcal O)\) 的单值化。模自身满足 \(\partial e=(\alpha/x)e\)；它的水平截面 \(fe\) 却满足 \(f^{\prime}+(\alpha/x)f=0\)，所以是 \(x^{-\alpha}e\)，单值化为 \(e^{-2\pi i\alpha}\)。两者互为对偶，不能把解空间与模自身的水平截面混用。

把未知函数写成 \(u=x^m v\)，其中 \(m\in\mathbb Z\)，则

\[ x\partial v=(\alpha-m)v. \]

所以整数规范变换把 \(\alpha\) 改为 \(\alpha-m\)，而

\[ e^{2\pi i(\alpha-m)}=e^{2\pi i\alpha} \]

保持单值化。\(\alpha=3/2\) 与 \(1/2\) 在 \(\mathbb G_m\) 上由这种规范相连；这不自动说明它们在已经指定延拓的 \(\mathbb A^1\) 上是同一个 D-模，因为 \(x^m\) 在原点未必可逆。

把方程看成原点附近的亚纯联络时，系数 \(\alpha/x\) 至多有一阶极点，属于正则奇点。正则性控制的是解在奇点附近的增长类型；它与 holonomic 不是同一个形容词。具体选择延拓 \(\widetilde M_\alpha=A_1/A_1(x\partial-\alpha)\)（不是宣称所有延拓相同）。其算子主符号是

\[ \sigma(x\partial-\alpha)=x\xi, \]

因主符号环是整环，\(\sigma(QP)=\sigma(Q)\sigma(P)\)，这个主左理想的分次理想正是 \((x\xi)\)。故此延拓的特征簇等于

\[ V(x\xi)=V(\xi)\cup V(x), \]

即零截面与原点余切纤维之并，仍是一维，因而 holonomic。特征簇看见原点是奇异位置，却没有仅凭这张集合告诉我们奇点是否正则。

7. 不规则奇点：单值化甚至可能什么也没发现

在穿孔圆盘上考虑

\[ \left(\partial-\frac1{x^2}\right)u=0. \]

积分给出

\[ u(x)=e^{-1/x}. \]

它绕原点一周仍回到自身，单值化是 \(1\)。但若写

\[ x=re^{i\theta}, \]

则

\[ |u(x)|=\exp\left(-\frac{\cos\theta}{r}\right). \]

沿 \(\theta=0\) 接近原点时它快速衰减，沿 \(\theta=\pi\) 时却以 \(e^{1/r}\) 快速增长；\(\theta=\pi/2,3\pi/2\) 是增长类型改变的方向。系数 \(1/x^2\) 是二阶极点，这个秩一模型在 \(0\) 有不规则奇点，它的指数增长类型不能由普通单值化矩阵完整记录。这个秩一精确指数例没有非平凡的 Stokes 矩阵；高秩系统中不同扇区的渐近基还可能通过非平凡 Stokes 矩阵连接，不能把本例的方向增长直接当成已经算出了那些矩阵。

还可以把“不规则”和“仍然 holonomic”在同一个对象上核验。先在 \(\mathbb G_m\) 上看秩一联络，再选择它在仿射直线上的一个延拓

\[\widetilde M_{\rm irr}=A_1/A_1P,\qquad P=x^2\partial-1.\]

在 \(x\ne0\) 的开集上，乘以可逆系数 \(x^{-2}\) 就恢复原方程。在整个仿射直线上按微分阶数过滤，\(x\) 是零阶，因此 \(P\) 的最高阶符号为 \(x^2\xi\)，不是按 \(x\) 与 \(\partial\) 的总次数过滤。对任意非零 \(Q\)，主符号环 \(\mathbb C[x,\xi]\) 是整环，故 \(\sigma(QP)=\sigma(Q)x^2\xi\)，没有最高阶抵消。由商过滤得到

\[\operatorname{gr}\widetilde M_{\rm irr}\cong\mathbb C[x,\xi]/(x^2\xi).\]

所以集合意义下

\[\begin{gathered}\operatorname{Char}(\widetilde M_{\rm irr})=V(\xi)\cup V(x),\\[3pt]\dim\operatorname{Char}(\widetilde M_{\rm irr})=1.\end{gathered}\]

它是 holonomic，却在原点不正则。其特征簇集合与上节选定正则模型的相同；这让“特征方向”和“奇点增长类型”两个问题有了直接对照。这里保持 holonomic 这一术语，避免将它与普通复分析中的“全纯函数”混淆。

因此三张账必须分开：

性质 回答的问题 本讲例子
holonomic 特征簇是否达到最小维数 \(M_{\rm fun},M_\delta\) 及选定的正则、不规则延拓都是
regular singular 奇点附近是否只有受控的正则增长 \(x\partial-\alpha\) 在 \(0\) 正则
monodromy 沿闭路解析延拓怎样变换解 \(e^{2\pi i\alpha}\)；\(e^{-1/x}\) 的普通单值化为 \(1\)

“单值化平凡”不推出正则，“holonomic”也不推出所有奇点正则。正则 holonomic D-模与构造性拓扑数据之间有经典 Riemann-Hilbert 对应；不规则情形需要加入 Stokes 数据的增强版本。本讲只展示这些条件为什么不可删，没有证明对应。

8. 操作同一个代数关系，再比较不同奇点

第一项实验按有限多项式的精确系数实际执行 x 与 ∂ 的两种顺序。它仅显示无限维模中的有限多个元素，没有在最高次数把乘法截断成一个错误的有限维 Weyl 表示。特征簇图是复余切簇的实坐标切片；零截面和纤维是整条线，图窗外继续延伸。

第二项实验把“绕一圈”和“沿一条射线接近零”分开。图画 log|u|，避免指数过大掩盖另一条方向；调小半径时，正则幂函数随 log r 变化，不规则指数随 1/r 变化。滑块中的 α 取实数，不能据此概括所有复参数或所有高秩系统。

无脚本默认先取 \(j=3\)：

\[ x\partial^3\delta=-3\partial^2\delta. \]

交换子可在 \(x^3\) 上核对：

\[ \partial(x\cdot x^3)-x\partial(x^3) =4x^3-3x^3=x^3. \]

再取 \(\alpha=1/2,w=1\)，得到单值化 \(e^{\pi i}=-1\)。正则模型的特征方程是 \(x\xi=0\)；不规则模型 \(e^{-1/x}\) 的普通单值化虽为 \(1\)，沿正实轴衰减、沿负实轴增长。实验必须同时报告这两件事，不能用“转一圈回来了”误判正则性。

9. 两道迁移题

题一。 考虑

\[ M=A_1/A_1(\partial-x). \]

求局部函数解，计算其在 \(\mathbb A^1\) 上的特征簇并判断是否 holonomic。把直线紧化到 \(\mathbb P^1\) 后，\(\infty\) 是正则还是不规则奇点？

查看解、主符号与无穷远渐近

方程是 \(u'=xu\)，所以

\[ u=e^{x^2/2} \]

乘任意常数。算子的一阶主符号是 \(\xi\)，故

\[ \operatorname{Char}(M)=V(\xi), \]

是零截面，维数 \(1\)；因此 \(M\) holonomic。

令 \(z=1/x\)。由链式法则 \(\partial_x=-z^2\partial_z\)，先把算子本身换元：

\[(-z^2\partial_z-z^{-1})u=0.\]

在穿孔邻域 \(z\ne0\) 除以 \(-z^2\)，方程才变成

\[ \partial_z u=-\frac1{z^3}u, \]

解为 \(e^{1/(2z^2)}\)。系数有三阶极点并产生方向相关的指数增长，所以 \(\infty\) 是不规则奇点。仿射特征簇为零截面并没有自动证明紧化边界处正则。

题二。 比较 \(M_{\rm fun}=A_1/A_1\partial\) 与 \(M_\delta=A_1/A_1x\)。分别算 \(x\partial^2\) 对循环生成元的作用，并说明为什么两者都是 holonomic，却只有前者来自 \(\mathbb A^1\) 上的向量丛带联络。

查看交换子、支撑与底层 O 模

在 \(M_{\rm fun}\) 中 \(\partial e=0\)，所以

\[ x\partial^2e=0. \]

在 \(M_\delta\) 中

\[ x\partial^2\delta=-2\partial\delta. \]

前者作为 \(\mathbb C[x]\)-模是自由秩一，带通常微分作用；其特征簇为 \(V(\xi)\)。后者的基为所有 \(\partial^j\delta\)，不是 \(\mathbb C[x]\)-有限生成模，并只支撑在原点；其特征簇为 \(V(x)\)。两张特征簇都一维，所以两者都 holonomic；holonomic 条件没有把点支撑模块强迫成向量丛。

速查与资料

\(\mathcal D_X\) 同时编码函数与向量场，局部满足 \([\partial_i,x_j]=\delta_{ij}\)。只有底层 \(\mathcal O_X\)-凝聚的左 D-模才对应向量丛带可积联络；\(A_1/A_1x\) 是点支撑反例。特征簇来自好过滤，holonomic 指其维数等于 \(\dim X\)。\(x\partial-\alpha\) 是正则奇点模型，单值化为 \(e^{2\pi i\alpha}\)；\(e^{-1/x}\) 单值化平凡却不规则。

定义、好过滤、特征簇、holonomic 与 Riemann-Hilbert 边界可核对 Mustață：D-modules and singularities；Weyl 代数入口见 Coutinho：A primer of algebraic D-modules，联络的代数定义见 Stacks Project：Connections。本讲没有构造六函子、特征循环、V-filtration、b-function、perverse sheaf 或不规则 Riemann-Hilbert 对应；在模叠上定义 D-模还需要下一讲的几何语言。核查：2026-09-09。