基础衔接 20 · 导出纤维积的乘法：Tor 不只是一串维数

一个点与自己相交，为什么会长出能相乘的负次数方向？

1. 普通纤维积只保留零次账本

全讲固定系数域 \(k=\mathbb C\)，采用上同调编号，微分次数为 \(+1\)。设

都是仿射，并有环映射 \(R\to A,R\to B\)。普通纤维积仍是仿射概形：

若张量破坏单射，\(A\otimes_RB\) 只留下余核。导出纤维积把张量本身替换成导出张量：

右边一般不再是一个只位于次数 0 的普通环，而是非正次数的交换 dg 代数，或在更一般基础上用等价的导出交换环模型表示。它的同调满足

但“各个 Tor 群是什么”还没有说完。链级对象有乘法，微分与乘法相容；因此同调的直和

也是一个分次代数。两个负一次类的积可能生成负二次类。只记录维数，会把这条关系删掉。

2. Koszul 代数：把方程、符号和微分装进同一个对象

先取 \(R\) 中的正则序列 \(f_1,\ldots,f_r\)，令

Koszul 代数在底层分次代数上是外代数

并规定

乘法满足分次交换律

特别地，两个次数 \(-1\) 的生成元换位会变号：

微分不是随意逐格填写的矩阵；它由分次 Leibniz 规则唯一延拓：

例如

再作用一次微分得到 \(f_if_j-f_jf_i=0\)。所以 \(d^2=0\) 与底环交换性、换位符号共同配合，而不是额外的巧合。

正则序列条件保证增广映射

是自由分解。于是若 \(\bar f_i\) 表示 \(f_i\) 在 \(A\) 中的像，便可用交换 dg 代数

计算导出相交。这一步很关键：Koszul 复形之所以能代表导出张量，是因为张量之前它确实分解了 \(B\)。 若最初的 \(f_i\) 不是正则序列，朴素 Koszul 复形可能已有高次同调，不能未经检查就把它叫作 \(B\) 的分解；一般情形要换用保留乘法的合适半自由交换dg代数或Tate型分解。仅有底层模的K-flat分解可以算Tor群，却不会自动提供所需的交换dg代数乘法。

一般仿射构造怎样落到这份计算？

在特征0的当前约定下，可以从自由交换R-代数 \(Q^0=R[t_i]\) 到B的满射开始，逐层附加负次数生成元：先用次数−1生成元的微分记录核中的关系，使 \(H^0=B\)；再对仍未消失的负一次闭元附加次数−2生成元，以这些闭元为微分；如此向负次数递推，杀掉剩余负次同调。偶次数生成元按多项式方式相乘，奇次数生成元按外代数方式相乘，微分始终遵守分次Leibniz规则。可能需要无限多个生成元或无限层，不能假定每个商都有两步有限模型。

所得半自由交换dg代数增广 \(Q\to B\) 是拟同构，且可作为合适的导出代数分解；用 \(A\otimes_R Q\) 表示导出张量。Koszul正则序列例恰好不需要在外代数之后继续加高阶生成元。不同选择的比较须在拟同构所定义的导出意义下进行；这里给出计算构造，不声称已建立模型范畴或全部粘合理论。

一个直接的失败对照：在 \(R=k[x]\) 中用重复方程 \((x,x)\) 表示商 \(B=k\)。其Koszul复形有闭元 \(\eta=\varepsilon_2-\varepsilon_1\)，且 \(d(\varepsilon_1\varepsilon_2)=x\eta\)，所以 \(H^{-1}=k\eta\ne0\)。它不是B的分解。若取A=R，真实的 \(R\otimes_R^{\mathbf L}B\simeq B\) 无负次同调，错误地套这个Koszul复形却会多出一类。非正则输入的修复需要继续加生成元杀同调，而不是把错误结果改名成Tor。

重复方程的错误，怎样真正修复？

继续上面的 \(K_{k[x]}(x,x)\)。改用生成元 \(e=\varepsilon_1\) 与 \(\eta=\varepsilon_2-\varepsilon_1\)，便有 \(de=x,d\eta=0\)。要杀掉多出的负一次类，附加次数−2的偶生成元z，规定 \(dz=\eta\)：

这里 \(|e|=|\eta|=-1\)，\(|z|=-2\)。z可以有任意高次幂；不能因为微分中出现奇生成元η，就把z也误作平方为零的外代数生成元。Leibniz规则给

因此对每个 \(j\ge0\)，

我们固定 \(k=\mathbb C\)，所以这些除法合法。子代数 \(k[z]\otimes\Lambda(\eta)\) 只留下次数0的常数同调；再与 \(k[x]\otimes\Lambda(e)\)、\(de=x\) 张量，得到 \(H^0(Q)=k\)、全部负次同调为零。于是增广 \(Q\to k\) 才是一份合法的半自由代数分解。

修复增加的是一个偶生成元及其无限多幂，而不是在最后的Tor表格中手动删除一行。这个例子也说明为什么当前计算明确固定特征0：在正特征下，\(j\) 可能为零，以上消去论证不能照搬。

3. 横截直线：微分消掉全部负次数

令

用 \(K_R(y)\) 分解 \(B\)，再张量到 \(A\)，得到

因为 \(y\) 在 \(A=k[y]\) 中不是零因子，微分单射，所以

导出纤维积在本例没有额外同调，等价于普通的一个交点。这里“横截”不是靠图上看起来有一个角度来证明，而是由 \(y\) 拉回 \(A\) 后仍为非零因子完成代数核验。

4. 原点自交：一张可复算的完整乘法表

现在令 \(P=V(x,y)\subset\mathbb A_k^2\)，其坐标环是

用 \(K_R(x,y)\) 分解右边的 \(B\)。张量到左边的 \(A=k\) 后，\(x,y\) 都变成零，因此

链群与同调完全相同：

由于没有非零微分，下面就是同调代数的完整基乘法表。令 \(\omega=\varepsilon_x\varepsilon_y\)：

例如 \(\varepsilon_x\varepsilon_y=\omega\ne0\)，而 \(\varepsilon_y\varepsilon_x=-\omega\)。维数列

并没有告诉我们哪个负一次方向相乘生成了顶次类，也没有告诉我们换位的符号。乘法表保留了这份信息。

几何上，普通自交 \(P\times_{\mathbb A^2}P\) 仍只是 \(P\)；导出自交额外记录两个定义方程在 \(P\) 上同时失去约束力。\(\varepsilon_x,\varepsilon_y\) 是次数 \(-1\) 的同调方向，不是又添了两个集合论点；\(\omega\) 也不是第三个隐藏点。

5. 方程拉回后冗余：有一个负一次类，但没有负二次类

仍在 \(S=\mathbb A_k^2\) 中，令

并让 \(Y=P=V(x,y)\)，\(B=R/(x,y)=k\)。序列 \(x,y\) 在 \(R\) 中正则，所以 \(K_R(x,y)\) 确实分解 \(B\)。张量到 \(A\) 后，两个方程分别变成 \(x\) 与 \(0\)：

把三项和微分写全：

因为 \(A=k[x]\) 是整环，\(ax=0\) 推出 \(a=0\)。所以负一次闭元都是 \(b\varepsilon_y\)；其中 \(x\varepsilon_y\) 又是负二次元素的边界。于是

普通交集仍是原点。负一次类 \(\varepsilon_y\) 记录：定义 \(Y\) 的方程 \(y\) 拉到已经满足 \(y=0\) 的 \(X\) 上后完全冗余。它的平方为零，而且不存在可由两个负一次类生成的非零负二次同调。这与原点自交的外代数乘法明显不同。

注意“冗余”发生在拉回以后。原序列 \(x,y\) 在 \(R\) 中仍是正则序列，因而我们使用的 Koszul 分解合法；不能把“拉回后的序列不再正则”误说成“原分解从一开始就无效”。

6. 为什么链级 Leibniz 规则保证乘法能下降到同调？

若 \(u,v\) 都是闭元，则

所以闭元的积仍闭。若 \(u=d(w)\) 是边界而 \(v\) 闭，则

仍是边界。改变任一同调类的代表元都不会改变乘积类，因此链级乘法诱导

这说明为什么只拿一个普通自由分解算出 Tor 群还不总能自动得到想要的乘法：需要在链级保留兼容的代数结构。Koszul 分解的优势正是把外代数乘法与微分同时给出。

不同合法分解可能长得很不一样，生成元名称也不具有绝对意义；它们表示同一个导出张量时，在适当的导出意义下等价，并给出相容的同调代数。不变量是导出代数对象及其等价类，不是某张矩阵或某组手选符号。

7. 三种相交放在同一张乘法账本里

第一行称为 Tor 独立：高次 Tor 全消失。后两行的普通交点都还是同一个 \(k\)-点，但导出结构不同；甚至只知道“是否有 \(H^{-1}\)”也不足以区分全部乘法。

若某一方在 \(R\) 上平坦，则普通张量已经计算导出张量，高次 Tor 消失。反过来，在给定一对对象上高次 Tor 消失，只说明这一次基变换或相交 Tor 独立，不自动证明其中某个对象对所有输入都平坦。

8. 先检查闭元，再问同调类的乘积

第一个实验切换横截、自交、包含及迁移题中的抛物线。它用精确有限整数多项式和外代数符号计算微分、uv、vu及最高外积的微分。核、像和商的结论另标为正文已经证明的解析结果；没有把 \(k[x]\) 截断成有限维矩阵来冒充同调计算。

默认原点自交取 \(u=\varepsilon_x,v=\varepsilon_y\)，得到 \(du=dv=0\)、\(uv=\omega\)、\(vu=-\omega\)。切到横截时 \(d\varepsilon_y=y\ne0\)，不能把链级生成元本身称作同调类。切到包含情形，\(\varepsilon_y\) 闭，而 \(x\varepsilon_y=d\omega\) 为边界。抛物线中的闭元则为 \(\eta=\varepsilon_y-x\varepsilon_x\)。

第二个实验把原点自交推广到 \(\mathbb A^r\)，\(1\le r\le4\)。令 \(u=\varepsilon_1\)、\(v=\varepsilon_2\cdots\varepsilon_r\)；r=1时右边是空积1。uv生成负r次同调，而换序给

若让右因子也含 \(\varepsilon_1\)，乘积便因重复生成元而变成零。图上同时给出 \(\dim H^{-i}=\binom ri\)，但先读表中的实际非零外积与换位符号，避免再次把代数缩减为维数。

9. 两道迁移题

题一。 令原点 \(P=V(x,y,z)\subset\mathbb A_k^3\) 与自身做导出自交。写出一个 dg 代数模型、各次同调维数，并计算

题二。 仍取 \(R=k[x,y]\) 与原点 \(Y=V(x,y)\)，但令

把 \(K_R(x,y)\) 拉到 \(A\) 后方程变成 \((x,x^2)\)。计算 \(H^0,H^{-1},H^{-2}\)，并找出一个负一次生成类。为什么这个计算合法，而直接拿任意非正则方程列的 Koszul 复形冒充分解可能不合法？

10. 本讲到哪里为止？

本讲严格完成的是复数仿射完全交情形的有限计算：用正则序列的 Koszul dg 代数表示导出张量，求同调，并保留分次乘法。它解释了横截、原点自交和拉回后冗余方程的差别。

尚未完成的内容包括：一般导出交换环的模型范畴或 \(\infty\)-范畴构造、仿射模型的下降与粘合、余切复形和形变阻碍、过量相交公式、虚基本类，以及 dg 代数可能携带的更高同伦相干信息。这里也没有建立完整导出范畴课程，更没有进入 D-模在模叠上的六函子形式；这些分别留给后续 A5 与 A6，不能由三张 Koszul 表格代替。

链级模型往往比同调代数还保留更多信息。即使两份 dg 代数的同调分次环同构，也不能不加条件地断言它们准同构；还需研究形式性或更高运算。本讲的三个有限 Koszul 模型都可直接计算，但不提供这种一般判据。