基础衔接 17 · 连续时间路径熵与控制：给布朗路径的终点加权

只在终点重新加权，整条随机路径为什么会出现漂移？

1. 参考路径与终端倾斜

在时间区间 \([0,T]\) 上，令参考测度 \(R\) 下的坐标过程满足

所以 \(X_T\sim N(0,\varepsilon T)\)。选择严格为正的终端权重

定义

以及新的路径测度

这不是一句形式记号。因为 \(b\ge0\)，高斯尾部足以保证 \(0<h(0,0)<\infty\)；分母正是 \(E_R[g(X_T)]\)，所以右边非负且期望为 1，确实定义概率测度。\(P\) 与 \(R\) 的初始分布都是同一个 \(\delta_0\)，这里没有额外的初始 KL 项。

可以把操作想成给每条路径一张只由终点决定的“权重票”：走到较受 \(g\) 偏爱的终点，整条路径在新总体里出现得更频繁。接下来要证明，这种全路径重排等价于在每个时刻加入一个状态依赖漂移。

2. 高斯配方：把未来权重压回当前时刻

在 \(t<T\) 时给定 \(X_t=x\)，剩余增量是方差

的高斯变量。写终点为 \(y\)，则

令

把指数对 \(y\) 配方：

第一项积分后给出 \(D_t^{-1/2}\)，因此

两个端点检查能及时发现符号错误。\(t=T\) 时 \(D_T=1\)，上式回到 \(h(T,x)=g(x)\)；而

由条件期望的塔式性质，

是正的、一致可积的 \(R\)-鞅，且 \(M_T=dP/dR\)。这里“真鞅”不是从一个未经检查的局部鞅猜出来的，而是由可积终端密度的条件期望直接保证。

3. Doob 变换：漂移是未来对数权重的梯度

\(h\) 满足向后热方程

对光滑测试函数 \(f\)，把参考生成元作用在乘积 \(hf\) 上并除以 \(h\)。用上面的热方程消去只作用于 \(h\) 的项，得到时间非齐次 Doob 生成元

由显式 \(h\)，

所以 \(P\) 下的过程满足

\(a\) 把路径整体拉向一个方向；\(b\) 提供指向 \(a/b\) 的线性回复，但分母随剩余时间改变强度。\(b=0\) 时只剩常漂移 \(u=\varepsilon a\)。这里改变的是漂移，二次变差仍为 \([X]_t=\varepsilon t\)。

严格地说，Girsanov 换测度需要密度过程是真鞅，并要有足够可积性来讨论熵与能量。Novikov 条件是一种常用的充分条件，却不是定义换测度的必要条件。本模型中，\(M_t\) 已由可积的正终端密度直接构造为一致可积鞅；显式线性漂移和高斯边缘还保证下文的平方能量有限。因此无需把“形式随机指数”当作已经完成的证明。

4. 终点变成哪个高斯？

参考终点密度乘上 \(g\)：

再次配方，得到

增大 \(a\) 改变均值方向；增大 \(b\) 压缩终端方差，同时也抑制均值大小。不要把 \(g\) 本身误叫作终端概率密度：它是相对于参考终端律的未归一化权重，真正密度还包含参考高斯与归一化常数。

任意中间时刻也能直接读出。因为下节将证明给定终点后的桥没有改变，

这些边缘公式也可由线性 SDE 的矩方程得到，是一条独立核对路径。

反过来指定终点，哪些高斯可以在本页实现？

把参考终端方差记为 \(v_0=\varepsilon T\)。若希望终端恰为 \(N(\mu,v_*)\)，其中 \(v_*>0\)，从上一节的方差与均值公式依次解得

先由方差决定b，再由均值决定a，顺序很实用。例如参考 \(\varepsilon=T=1\)，要求终端 \(N(1,1/2)\)，就应取 \(b=1,a=2\)。此时

本讲限定 \(b\ge0\)，所以这族势只能保持或缩小参考方差：\(0<v_*\le v_0\)。要求 \(v_*=2v_0\) 会反解出负b，超出本页假设；这不表示所有终端倾斜都无法扩宽方差。若要扩展到负b，须重新检查高斯可积条件与相应参数域。即使满足上述条件，反解得到的a、b也可能超出当前滑块范围；解析公式的范围与界面可选范围应分别检查。

5. 为什么条件桥完全没变？

密度 \(dP/dR\) 只依赖 \(X_T\)。对任意有界路径泛函 \(F\)，用正则条件分布写

因此对 \(P_T\)-几乎处处的终点 \(y\)，

右边是从 0 到 \(y\) 的布朗桥：

所以 \(P\) 不是修改每个终点对应的桥形状，而是重新分配不同终点桥的混合权重。条件在连续变量的单点事件上概率为零；上式应理解为正则条件概率的版本，而不是用初等比值除以 \(P(X_T=y)=0\)。

6. 路径 KL、终端 KL 与控制能量为何相等？

因为两测度给定 \(X_T\) 后的条件路径律相同，相对熵链式分解中的条件项为零：

对两个一维高斯 \(P_T=N(\mu_T,\sigma_T^2)\) 与 \(R_T=N(0,\varepsilon T)\)，代入高斯 KL 得

另一边从 Girsanov 密度计算。令 \(\theta_t=u(t,X_t)/\sqrt\varepsilon\)。在 \(P\) 下写 \(dW_t=dW_t^P+\theta_tdt\)，则

本模型平方可积，随机积分期望为零，故

这份能量还可以不用随机模拟，直接由中间高斯边缘积分。由上一节的均值与方差，

代入 \(u=\varepsilon(a-bX_t)/D_t\)，在 \(b>0\) 时利用

得到

与终端 KL 逐项相同。\(b=0\) 的结果由直接计算或连续极限得到，不需要在含 \(b^{-1}\) 的中间式里硬代零。

7. 实验怎样读：四个参数，各自改变哪一层？

实验控制 \(a\in[-2,2]\)、\(b\in[0,3]\)、\(\varepsilon\in[0.5,2]\)、\(T\in[0.5,2]\)。默认均为 1。它展示解析终端均值与方差、若干时刻的漂移场，并用两条独立公式计算终端 KL 与积分能量。

按下面顺序操作：

1. 默认输入先核对 \(D_0=2\)、\(\mu_T=1/2\)、\(\sigma_T^2=1/2\)，两份代价都为约 \(0.2215735903\)。
2. 把 \(a\) 从 1 改成 \(-1\)。均值和漂移场左右翻转，方差与 KL 不变，因为代价只含 \(a^2\)。
3. 令 \(a=0\)，再增大 \(b\)。终端均值保持零，方差缩小；控制仍要付出把终点分布压窄的代价。
4. 令 \(b=0\)、\(a=1\)。漂移应在全部时空恒为 \(\varepsilon\)；默认 \(\varepsilon=T=1\) 时终端为 \(N(1,1)\)，KL 与积分能量都为 \(1/2\)。

\(\varepsilon\) 滑块每次定义一个新的“参考与控制成对问题”。它可以检验本页解析式怎样依赖噪声强度，但不能把两个不同 \(\varepsilon\) 的连续路径律直接送进 Girsanov KL 比较；这个陷阱在第二道迁移题处理。

无脚本后备：

表中的 KL 与积分能量必须分别算出后相符；只把同一个数字复制到两行，不算独立核验。漂移图是解析场的切片，不是有限样本对期望的证明。

8. 两道迁移题

题一。 令 \(b=0\)，保留任意 \(a\in\mathbb R\)、\(\varepsilon,T>0\)。从 \(h\) 开始推导漂移、终端律和两种熵代价，不直接引用默认数值。

题二。 比较两个无漂移参考过程 \(R_\varepsilon\) 与 \(R_{\widetilde\varepsilon}\)，其中 \(\varepsilon\ne\widetilde\varepsilon\)。为什么它们的终端高斯 KL 有限，却不能把连续路径 KL 当作同一个有限数？用 \(n\) 个等距增量的离散化说明极限发生什么。

9. 这是不是已经解了任意 Schrödinger 桥？

不是。本讲给定一个终端势 \(g\)，它自动决定终端分布

若题目反过来指定任意终端边缘，必须先检查它对 \(R_T\) 的绝对连续性并求出相应密度；若初、终两端边缘都需要同时调整，通常还要解一对 Schrödinger 势的耦合问题。本讲初点固定为双方共同的 \(\delta_0\)，只做单侧终端倾斜。

同样，本页的高斯闭式依赖线性 Brownian 参考与二次终端势。一般扩散、路径依赖势、状态约束或不可积权重，需要重新检查 \(h\) 的存在、正则性、密度鞅与能量有限性。公式的形状可以提示方向，不能替代这些条件。