基础衔接 16 · 相交、接触阶与 Tor：相切为什么未必产生高次同调？

两条曲线在原点碰到一起，Tor 会自动出现吗？

1. 先把三幅图压进同一个两项复形

固定环境环

以及横轴

另一条曲线或子空间记作 \(X=\operatorname{Spec}A\)。普通相交 \(X\cap Y\) 的坐标环是

这已经保留了交点的概形结构：例如 \(\mathbb C[x]/(x^2)\) 不只是一个集合点，而是一个长度为 2 的非约化点。但普通张量只给余核。若想知道张量过程中有没有丢掉单射，还要保留 \(R\) 的自由分解

因为 \(B\) 是整环，乘 \(y\) 的确单射。把两个自由项与 \(A\) 张量，得到统一账本

因此每个例子都只需回答两个朴素问题：在 \(A\) 中，谁乘 \(y\) 后变成零？把 \(y\) 设成零以后还剩什么？答案分别是

由于所用自由分解长度为 1，本讲全部例子都有 \(\operatorname{Tor}_i^B(A,R)=0\)（\(i\ge2\)）。这不是一般相交理论的高阶消失定理，只是这一个超曲面 \(Y=V(y)\) 的分解足够短。

2. 横截：一个普通点，且没有隐藏的核

先取竖轴

在 \(A_\perp\) 中乘 \(y\) 是多项式环里的乘法，所以没有非零元素被杀死：

由此

几何上，两条曲线的切向量方向不同；代数上，方程 \(x,y\) 在原点给出两个独立方向。普通交点是一个约化点，局部环的复长度为 1，导出张量没有额外同调。

这里的“横截”可以用梯度看见：\(\nabla x=(1,0)\) 与 \(\nabla y=(0,1)\) 线性无关。但真正完成 Tor 计算的仍是上面的核与余核，不能只凭图形角度猜答案。

3. 相切：普通交点变厚，Tor 仍然可以为零

再取抛物线

在这个同构中，\(y\) 的作用就是乘 \(x^2\)。共同账本于是变成

多项式环 \(\mathbb C[x]\) 没有零因子，所以乘 \(x^2\) 仍然单射：

但余核不再是一个约化点：

它以 \(1,x\) 为复向量空间基，长度为 2。几何上，\(y=x^2\) 与 \(y=0\) 在原点共用切线；代数上，把 \(y\) 设成零后留下 \(x^2=0\)。所以相切已经被普通交点环的幂零结构和长度记录，不需要靠非零 \(\operatorname{Tor}_1\) 才能被看见。

这给出本讲最重要的反例：

\(\nabla(y-x^2)|_{(0,0)}=(0,1)\) 与 \(\nabla y=(0,1)\) 相同，说明它们相切；然而 \(y=x^2\) 在 \(A_{\rm tan}\) 中仍是非零因子，故核为零。切向条件与 Tor 独立性有关联，却不是在所有闭子概形上可以互换的同一句话。

用有限矩阵试算时，为什么可能算出假的 Tor？

取相切阶 \(m=3\)。真正的问题在 \(A=\mathbb C[x]\) 中计算乘 \(x^3\) 的核；它为零。若为了画矩阵，先把底环换成

基 \(1,x,x^2,x^3,x^4\) 上乘 \(x^3\) 却给出

现在核由 \(x^2,x^3,x^4\) 张成，维数为3。这个核没有推翻原来的单射性：\(x^5=0\) 是你刚刚加入的新关系。

一般在 \(A_L=\mathbb C[x]/(x^L)\) 中，乘 \(x^m\) 的秩是 \(\max(L-m,0)\)，核与余核的维数都是 \(\min(m,L)\)。当 \(L\ge m\) 时，余核长度恰好与原交点长度m相同，错误的核却一直有m维。因此“增大截断后两个维数都稳定”仍不足以证明原问题的Tor。

这份有限矩阵可以正确计算改变底环后的问题。若把 \(A_L\) 看作B模，并令y作用为 \(x^m\)，它对应额外带有 \(x^L=0\) 的子概形；对这个新输入，核确实就是Tor₁。使用有限维计算时，要先写出它到底代表哪个环和哪组关系。

4. 自交：普通交集是一整条线，负一次同调也是一整份模

最后让 \(X\) 就是 \(Y\)：

现在 \(y\) 在 \(A_{\rm self}\) 中已经等于零，张量后的微分是零映射：

因此

这里两项都是无限维复向量空间，不能在实验里伪装成某个有限数字。更准确的报告方式是：\(H^{-1}\) 是普通交点环 \(H^0=\mathbb C[x]\) 上的秩 1 自由模。它由次数 \(-1\) 的类生成，不是在线上又添了无穷多个普通点。

自交中，普通张量只说“这条线与自己相交后仍是这条线”；导出张量还记下定义方程在这条线上完全失去约束力。这个核是导出信息，但不能脱离其模结构只数一个维数。

5. 把三例放在一张账本里

这张表不把“长度 2”和“有一份 Tor”相加。相切例的长度 2 全部已经在 \(H^0\)；自交例的 \(H^{-1}\) 则位于另一个同调次数。只有在额外假设下，Tor 的交错长度才进入经典相交重数公式；本讲没有建立那个一般定理。

6. 实验怎样读：先选碰法，再预测微分

实验的三个案例共享同一套流程。

1. 横截：\(X=V(x)\)。应显示微分为乘 \(y\)，\(H^0=\mathbb C\)、长度 1、\(\operatorname{Tor}_1=0\)。
2. 相切：\(X=V(y-x^m)\)，接触阶滑块 \(m=2,\ldots,6\)。应显示微分为乘 \(x^m\)，\(H^0=\mathbb C[x]/(x^m)\)、长度 \(m\)、\(\operatorname{Tor}_1=0\)。增大 \(m\) 只增加普通交点长度。
3. 自交：\(X=Y=V(y)\)。应显示零微分，\(H^0=\mathbb C[x]\)、\(\operatorname{Tor}_1=\mathbb C[x]\)；两者的复维数都应标为无限，而后者应另报为 \(H^0\)-模秩 1。

先在纸上写出 \(A\) 和“\(y\) 在 \(A\) 中变成什么”，再切换案例。图上的曲线只是几何提示；核与余核才是答案。相切案例的 \(m\) 控件对横截和自交没有数学作用，不应把它误读为所有案例的参数。

无脚本后备：横截输出为 \((H^0,H^{-1})=(\mathbb C,0)\)；相切阶 \(m\) 输出为 \((\mathbb C[x]/(x^m),0)\)，普通长度为 \(m\)；自交输出为 \((\mathbb C[x],\mathbb C[x])\)，负一次同调在普通交点环上秩 1。全部案例的 \(H^{-i}\) 在 \(i\ge2\) 时为零。

7. 两道迁移题

题一。 把抛物线换成

仍与 \(Y=V(y)\) 相交。计算全部 Tor，并解释 \(m=1\) 与 \(m>1\) 的几何差异。接触阶能否只从 \(\operatorname{Tor}_1\) 读出？

题二。 取

\(X\) 是两条坐标轴的并，而 \(Y\) 是其中一条共享分量。令 \(A=B/(xy)\)。计算 \(H^0\)、\(H^{-1}\) 和更高 Tor，并说明 \(H^{-1}\) 为什么不是“多出来的一条普通直线”。

8. 哪些结论可以带走，哪些还不能？

本讲严格建立的是以下局部代数事实：

1. 普通相交环是 \(H^0=A/yA\)，它本身可以携带幂零元和有限接触长度；
2. \(H^{-1}=\operatorname{ann}_A(y)\) 检测定义方程 \(y\) 在另一方坐标环中是否成为零因子；
3. 横截例与相切例都 Tor 独立，但普通交点长度不同；自交与共享分量例出现非零 Tor；
4. 非零 Tor 是一个带模结构、带同调次数的对象，不是可直接解释成“额外几个交点”的计数器。

这些计算没有证明一般的正则嵌入判据、过量交丛公式、相交重数的 Tor 交错和，也没有构造完整导出概形。进入前沿内容时，要继续追踪局部化、模结构与乘法，而不能只保留“有没有 Tor”这个布尔标签。