基础衔接 12 · 映射锥：把一个映射的失败装进复形

两个复形同调相同，是否一定能逐项互相还原？

1. 先看真正的问题：地图可能看起来不同，却留下同样的洞

上一讲把一个复形压缩成上同调

现在给两个上链复形 \(A^\bullet,B^\bullet\) 和一族同次数线性映射 \(f^n:A^n\to B^n\)。仅有逐项映射还不够；它必须与微分交换：

这样的 \(f\) 才叫上链映射。若 \(x\) 是闭元，即 \(d_Ax=0\)，那么 \(d_Bf(x)=f(d_Ax)=0\)；若 \(x=d_Ay\) 是边界，那么 \(f(x)=d_Bf(y)\) 仍是边界。因此 \(f\) 诱导

若每个 \(H^n(f)\) 都是同构，就称 \(f\) 为拟同构。注意定义只承诺“所有洞的信息相同”，并没有承诺每个 \(f^n\) 可逆，也没有自动给出一个反向链映射。

2. 链同伦：把一次“先走微分再退回”的误差视为可消去

设 \(f,g:A^\bullet\to B^\bullet\) 都是上链映射。一条从 \(f\) 到 \(g\) 的上链同伦是一族降一次数的映射

满足

也就是逐次写成

为何这类误差不会改变上同调？若 \(d_Ax=0\)，则

它在 \(B\) 中只是一个边界。因此链同伦的映射诱导相同的上同调映射。

若存在链映射 \(u:B^\bullet\to A^\bullet\)，使

就称 \(f\) 为链同伦等价。它必然是拟同构，因为 \(H(u)H(f)\) 与 \(H(f)H(u)\) 都是恒等映射。反过来在一般系数环上并不成立，第 7 节会给出一个无法逃避的整数反例。

3. 第一个完整收缩：非零项不等于非零信息

取域 \(k\) 上的两项上链复形

其他次数为零。它的上同调全为零，但两个链群都非零。更强的是，它可以收缩到零：令

其余 \(h^n=0\)。在次数 \(0\)，有 \(h^1d^0=\operatorname{id}_{C^0}\)；在次数 \(1\)，有 \(d^0h^1=\operatorname{id}_{C^1}\)。所以

即 \(\operatorname{id}_C\simeq0\)。称这样的复形为可缩复形。可缩一定推出上同调全零，因为恒等映射与零映射在上同调上相同；但“上同调全零是否一定可缩”取决于系数环境，不能在所有环上直接反推。

4. 主模型：标量映射的锥把可逆性变成一次秩跳变

令 \(A=B=k[0]\)，即两个复形都只在次数 \(0\) 放一个域 \(k\)。取

它的映射锥在本例中就是

因此

若 \(a\ne0\)，域中的非零数可逆，微分的秩为 \(1\)，两个上同调都为零。此时还能写出显式收缩：

其余 \(s^n=0\)。对次数 \(-1\) 的 \(x\)，\(s^0d^{-1}(x)=x\)；对次数 \(0\) 的 \(y\)，\(d^{-1}s^0(y)=y\)，所以

若 \(a=0\)，微分秩为 \(0\)，于是

这时 \(1/a\) 根本不存在，锥也不可能可缩。若它可缩，恒等映射会在非零上同调上同时等于恒等与零，矛盾。

5. 一般映射锥：负号不是装饰，而是让两条路径抵消

对任意上链映射 \(f:A^\bullet\to B^\bullet\)，定义

这里 \(x\in A^{n+1}\)，所以第一分量中的 \(f\) 实际是 \(f^{n+1}\)。把微分再做一次：

第一分量为零用到了链映射条件 \(d_Bf=fd_A\)；第二分量为零用到了 \(d_A^2=0\)。若把第二分量草率写成 \(+d_Ax\)，第一分量一般会变成

不再自动为零。其他教材可以把符号移到等价的约定里，但同一套约定内部必须协调。

更概念化地，移位复形 \(A[1]\) 定义为

于是映射锥进入逐项分裂的短正合列

负号正是让最后的投影成为链映射所需要的移位符号。

6. 为什么锥恰好检测拟同构

上面的短正合列给出标准长正合上同调列。把指标排到能看见 \(f\) 的位置：

这立刻给出判据

理由可以逐项读出。若 \(H^n(f)\) 对所有 \(n\) 都是同构，正合性迫使夹在相邻同构之间的 \(H^n(\operatorname{Cone}(f))\) 为零。反过来，若所有锥上同调都为零，那么正合列同时给出 \(H^n(f)\) 的单射性与满射性。

因此三种强度应按下面的方向记忆：

映射锥上同调全零只说明最后一层。若还知道锥可缩，才对应更强的链同伦等价。下一节说明“全零”和“可缩”为什么不能随意互换。

7. 整数反例：拟同构没有链同伦逆

固定整数 \(n\ge2\)。取自由两项复形

以及只在次数 \(0\) 非零的复形

定义链映射 \(q:P^\bullet\to M^\bullet\)：次数 \(0\) 取模 \(n\)，次数 \(-1\) 取零。它确实与微分相容，因为 \(q^0(nx)=0\)。又有

所以 \(q\) 是拟同构。

现在假设它有链同伦逆 \(s:M^\bullet\to P^\bullet\)。次数 \(0\) 的分量必须是群同态

但这样的同态只能是零：若 \(z=s^0([1])\)，则 \(nz=s^0([n])=s^0(0)=0\)；而 \(\mathbb Z\) 没有非零挠元，所以 \(z=0\)。因此 \(s=0\)，从而 \(qs=0\)。

另一方面，\(M\) 只在次数 \(0\) 非零且微分为零，任意同伦算子都无处可去，所以 \(M\to M\) 的两个链映射同伦当且仅当它们严格相等。于是

矛盾说明 \(q\) 没有链同伦逆。它在上同调上完全正确，却不能在链复形层面逐项倒过来。导出范畴的一个核心动作正是形式地把这类拟同构变成可逆箭头；本讲到此为止，不把这个口号冒充为完整构造。

把这个整数反例的锥真正列出来

对刚才的 \(q:P\to M\)，按本讲 \(B^n\oplus A^{n+1}\) 的约定，锥有三个非零项：

第一个箭头的负号来自移位。它单射，像为 \(n\mathbb Z=\ker q\)，最后的 q 满射，所以三个次数的上同调全部为零。

但如果存在收缩 h，在次数 0 就必须有 \(q h^0=\operatorname{id}_{\mathbb Z/n}\)。这要求一个同态 \(h^0:\mathbb Z/n\to\mathbb Z\) 把取模映射分裂，而正文已经证明这样的同态只能为零。于是这就是一个可逐项验算的“无环但不可缩”复形；失败点是无法选择整数模意义下的分裂。

8. 为什么有限维向量空间看起来更友好

若 \(C^\bullet\) 是域 \(k\) 上的有界无环复形，每个子空间都能选补空间。记

并选 \(C^n=B^n\oplus L^n\)。微分限制为同构

在 \(B^{n+1}\) 上用这个同构的逆定义降次映射，在 \(L^{n+1}\) 上令它为零，就得到 \(ds+sd=\operatorname{id}_C\)。因此域上的有界无环复形可缩。

这也意味着：域上的有界复形之间，拟同构的锥是有界无环复形，因而可缩；标准锥判据进一步给出该拟同构是链同伦等价。整数反例没有矛盾，因为 \(\mathbb Z/n\) 在 \(\mathbb Z\)-模中不能像向量子空间那样总能找到线性补空间。不要把“向量空间可分裂”的舒适经验无条件搬到一般环的模上。

9. 两道迁移题

题一。 对任意上链复形 \(A^\bullet\)，证明 \(\operatorname{Cone}(\operatorname{id}_A)\) 可缩。请给出收缩，而不只说它的上同调为零。

题二。 把 \(f:\mathbb Z[0]\to\mathbb Z[0]\) 取为乘 \(6\)。计算映射锥的上同调。再把整个复形与 \(\mathbb Q\) 张量，结论怎样变化？能否由有理数上的结果反推整数上的锥可缩？