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基础衔接 09 · Wick 平方与截断极限：点值发散后还能留下什么

先修：测度论语言与期望、独立性与大数律、分布与弱导数，并会使用三角函数的正交关系。本讲在圆周上把一个 Gaussian Fourier 场算到底：点上的平方越来越狂躁，减去均值仍不能救回点值；但对常数测试函数的空间平均，在恰当正则性下却能成为 \(L^2\) Cauchy 序列。这是通往奇异 SPDE 与重整化的一座可验算小桥，不是完整随机分布收敛定理。

每个点都越来越不稳定，为什么整体平均反而可能稳定？

1. 先固定同一场，再逐步打开高频

把圆周写成 \(\mathbb T=[0,2\pi]\)，首尾视为同一点，并固定归一化平均

\[ \langle f\rangle=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\,dx. \]

令 \(a_k,b_k\) 相互独立且都服从 \(N(0,1)\)。对 \(s\geq0\) 定义 Fourier 截断

\[ X_N(x)=\sum_{k=1}^N k^{-s} \bigl(a_k\cos kx+b_k\sin kx\bigr). \]

\(k^{-s}\) 是第 \(k\) 个频率的振幅尺度：\(s\) 越大，高频衰减越快。所有 \(N\) 使用同一组随机系数；从 \(N\) 到 \(M\) 只是把 \(N+1,\ldots,M\) 模态接上去。这一点决定了 \(Y_M-Y_N\) 能否只剩尾部。若每次截断都重新抽一套系数，比较的是两个独立样本，不是同一随机对象的逼近。

对任意固定 \(x\)，\(X_N(x)\) 是中心 Gaussian，且

\[ \begin{aligned} C_N:=\mathbb E[X_N(x)^2] &=\sum_{k=1}^Nk^{-2s} \bigl(\cos^2kx+\sin^2kx\bigr)\\ &=\sum_{k=1}^Nk^{-2s}. \end{aligned} \]

方差与 \(x\) 无关。特别地，\(s=1/2\) 时 \(C_N=H_N\) 是调和和，按 \(\log N\) 发散。因此 \(X_N(x)\) 不会在固定点上成为 \(L^2\) Cauchy 序列。

2. 减均值只完成了第一步

点上的 Wick 平方是

\[ W_N(x)=X_N(x)^2-C_N. \]

它满足 \(\mathbb EW_N(x)=0\)。但若 \(Z\sim N(0,C_N)\)，则 \(\mathbb EZ^4=3C_N^2\)，所以

\[ \operatorname{Var}W_N(x) =3C_N^2-C_N^2=2C_N^2. \]

在 \(s=1/2\) 时，这个方差是 \(2H_N^2\)，仍然发散。反项 \(C_N\) 去掉的是确定性均值，不会改变随机波动。于是“已经 Wick 排序”和“每一点都有极限”是两句不同的话。

真正值得试的是让粗糙对象作用在测试函数上。本讲只选最简单的常数测试函数 \(1\)，即定义

\[ Y_N=\langle W_N\rangle =\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\bigl(X_N(x)^2-C_N\bigr)\,dx. \]

3. Fourier 正交性把双重和变成能量账本

展开 \(X_N^2\) 会出现许多 \(k,l\) 交叉项。归一化平均满足

\[ \langle\cos kx\cos lx\rangle =\langle\sin kx\sin lx\rangle=\frac12\delta_{kl}, \qquad \langle\cos kx\sin lx\rangle=0. \]

因此不同频率互相消掉，同频率的正弦与余弦各留下 \(1/2\)：

\[ \langle X_N^2\rangle =\frac12\sum_{k=1}^Nk^{-2s}(a_k^2+b_k^2). \]

又因为 \(C_N=\frac12\sum_{k=1}^Nk^{-2s}(1+1)\)，所以

\[ \boxed{Y_N=\frac12\sum_{k=1}^Nk^{-2s} \bigl(a_k^2+b_k^2-2\bigr).} \]

这就是机制：空间平均不是把噪声“抹平”，而是利用 Fourier 正交性把交叉项精确投影掉，留下各频率相互独立的中心化能量。

Fourier平方展开先形成许多频率交叉项，圆周平均通过正交性删除不同频率和正弦余弦交叉项，只保留每个频率的中心化能量二分之一乘k负二s次乘a平方加b平方减二。

圆周平均是一种精确投影。它消去交叉模态，却不会自动保证剩余模态之和收敛；收敛门槛还要由方差级数判断。

4. 方差级数给出精确门槛

记 \(Q_k=a_k^2+b_k^2-2\)。因为 \(a_k,b_k\) 独立，且标准 Gaussian 平方的方差为 \(2\)，所以

\[ \mathbb EQ_k=0, \qquad \operatorname{Var}Q_k=2+2=4. \]

不同 \(k\) 的 \(Q_k\) 也独立。于是

\[ \operatorname{Var}Y_N =\frac14\sum_{k=1}^Nk^{-4s}\operatorname{Var}Q_k =\sum_{k=1}^Nk^{-4s}. \]

更重要的是，在同一耦合下，若 \(M\geq N\)，前 \(N\) 项逐项抵消：

\[ Y_M-Y_N=\frac12\sum_{k=N+1}^Mk^{-2s}Q_k, \]

从而

\[ \boxed{\mathbb E|Y_M-Y_N|^2 =\sum_{k=N+1}^Mk^{-4s}.} \]

因此 \((Y_N)\) 在 \(L^2\) 中 Cauchy，当且仅当 \(p\) 级数 \(\sum k^{-4s}\) 收敛，也就是

\[ \boxed{s>\frac14.} \]

这不是从有限图像猜出的阈值，而是由完整的跨截断二阶矩等式得到的。由于 \(L^2\) 是完备的，Cauchy 性保证存在同一概率空间上的极限 \(Y\in L^2\)。对 \(s>1/4\)，先令 \(M\to\infty\)（利用 \(L^2\) 范数的连续性），再作积分比较，得到误差界

\[ \mathbb E|Y-Y_N|^2 =\sum_{k>N}k^{-4s} \leq\int_N^\infty x^{-4s}\,dx =\frac{N^{1-4s}}{4s-1}, \]

所以均方根误差不超过

\[ \|Y-Y_N\|_{L^2} \leq\sqrt{\frac{N^{1-4s}}{4s-1}}. \]

若每次重抽系数，曲线为什么不能证明同一个极限？

假如截断 N 与 M 分别使用独立系数，记对应平均为 \(\widetilde Y_N,\widetilde Y_M\)。它们均值为零而互不相关，因此

\[\mathbb E|\widetilde Y_M-\widetilde Y_N|^2 =\operatorname{Var}Y_M+\operatorname{Var}Y_N.\]

在 s=1/2 时，两项各趋于 \(\pi^2/6\)，差的均方反而趋于 \(\pi^2/3\)，不趋零。它们的边缘分布仍可以越来越接近同一个分布；失败的是这个独立耦合下的 \(L^2\) Cauchy 性。因此读实验时要分开“分布是否稳定”与“同一组随机系数下两截断是否接近”。

点上的平方什么时候也能收敛？

令 \(T=X_M(x)-X_N(x)\)。在本讲同一组系数的耦合下，T 与 \(X_N(x)\) 独立，方差为 \(C_M-C_N\)。展开可得

\[\begin{aligned}W_M-W_N&=2X_NT+T^2\\&\quad-(C_M-C_N).\end{aligned}\]

利用独立性和中心 Gaussian 的奇数阶矩为零，交叉期望消失，从而

\[\begin{aligned}\mathbb E|W_M-W_N|^2 &=4C_N(C_M-C_N)\\&\quad+2(C_M-C_N)^2\\&=2(C_M^2-C_N^2).\end{aligned}\]

因此点上的 Wick 平方在 \(L^2\) 中 Cauchy，恰好要求 \(C_N\) 有有限极限，即 s>1/2。结合平均量的结论：

参数范围 点上 \(X_N\) 与 \(W_N\) 的 \(L^2\) Cauchy 性 圆周平均 \(Y_N\) 的 \(L^2\) Cauchy 性
\(0\le s\le1/4\) 不成立 不成立
\(1/4<s\le1/2\) 不成立 成立
\(s>1/2\) 成立 成立

中间这一段正是本讲关心的现象：点值不能稳定，某个测试函数配对却可以稳定。它仍未替代第六节要求的所有测试函数与函数空间估计。

5. 临界反例与默认实验

临界值 \(s=1/4\) 不能靠“差一点”蒙混过去。令 \(M=2N\)，则

\[ \mathbb E|Y_{2N}-Y_N|^2 =\sum_{k=N+1}^{2N}\frac1k\longrightarrow\log2\neq0. \]

因此序列甚至不能让相邻倍增截断彼此靠近。若 \(s<1/4\)，同一块尾和还会随 \(N\) 按 \(N^{1-4s}\) 量级增长。

默认实验取 \(N=16,s=1/2,M=2N=32\)。这时点值与平均展示出完全不同的命运：

完整静态后备：先预测把 \(N\) 从 16 增到 32 时，点上 Wick 平方的方差和空间平均的跨截断差会一起变小吗？实验中的 \(N\) 范围为 2 到 128，\(s\) 范围为 0 到 1，比较截断固定为 \(M=2N\)。

默认账本 公式 数值
点方差尺度 \(C_{16}=H_{16}\) \(3.380729\)
点上 Wick 平方方差 \(2C_{16}^2\) \(22.858657\)
平均量方差 \(\sum_{k=1}^{16}k^{-2}\) \(1.584347\)
两截断均方差 \(\sum_{k=17}^{32}k^{-2}\) \(0.029821\)
两截断均方根差 上一行开方 \(0.172687\)
到极限的尾和上界 \(16^{-1}\) \(0.062500\)
到极限的均方根上界 \(16^{-1/2}\) \(0.250000\)

\(s=1/2\) 时，\(C_N\) 和点上方差继续发散，但 \(\operatorname{Var}Y_N\to\sum_{k\geq1}k^{-2}=\pi^2/6\)，而跨截断差趋零。若把滑块调到 \(s=1/4\)，尾积分上界不再适用；默认 \(N=16\) 时 \(\mathbb E|Y_{32}-Y_{16}|^2\approx0.677766\)，增加 \(N\) 也不会把倍增截断差压到零。

6. 这证明了什么，又没有证明什么

我们已经严格证明：当 \(s>1/4\) 时，标量随机变量

\[ Y_N=\left\langle:X_N^2:,1\right\rangle \]

在 \(L^2\) 中收敛。这里的 \(1\) 是常数测试函数，归一化配对就是圆周平均。

我们没有证明 \(:X_N^2:\) 作为随机分布收敛。完整结论必须允许每个光滑测试函数 \(\varphi\)，研究

\[ \left\langle:X_N^2:,\varphi\right\rangle, \]

并给出随 \(\varphi\)、空间尺度和函数空间范数一致的估计。更没有证明某个非线性 SPDE 的解收敛；方程还需要时间正则性、非线性乘积、固定点或重构以及近似方案的稳定性。

这个模型补上了前沿课中的一块中间推理：点值方差发散并不排除测试函数配对收敛，而中心化本身也不保证这种收敛。决定结果的是空间相关结构经过测试函数投影后留下怎样的可求和尾部。

7. 两道迁移题

题一。 仍用同一耦合，但把比较截断改成 \(M=3N\)。证明 \(s=1/4\) 时 \(\mathbb E|Y_{3N}-Y_N|^2\to\log3\)。这个结论怎样排除 \(L^2\) Cauchy 性？若 \(s>1/4\)，\(M/N\) 的固定比例会改变阈值吗？

先判断尾和，再查看

\(s=1/4\) 时，跨截断方差为 \(\sum_{k=N+1}^{3N}1/k\)，由积分比较或调和数渐近式趋于 \(\log3\)，不趋于零。Cauchy 条件要求任意充分大的 \(M,N\) 都彼此接近，因此这一组反例已经足够。\(s>1/4\) 时，任何 \(M\geq N\) 的差都被无穷尾和 \(N^{1-4s}/(4s-1)\) 控制，所以固定比例不会改变阈值。

题二。 把反项从 \(C_N\) 改成 \(C_N+c\)，其中 \(c\) 与 \(N\) 无关。新的空间平均极限是什么？它是否改变 \(s>1/4\) 的 Cauchy 阈值？

分开检查确定性平移与随机尾部

新的平均量是

\[ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\bigl(X_N^2-C_N-c\bigr)dx=Y_N-c. \]

若 \(Y_N\to Y\)，新极限就是 \(Y-c\)。跨截断差仍为 \((Y_M-c)-(Y_N-c)=Y_M-Y_N\)，所以阈值不变。有限反项选择会平移极限，却不会修复一个不可求和的随机尾部。

速查与资料

层次 本讲的判据 结论
固定点 \(C_N=\sum k^{-2s}\) \(s=1/2\) 时点方差发散
点上 Wick 平方 \(\operatorname{Var}(X_N^2-C_N)=2C_N^2\) 减均值不等于点值收敛
常数测试函数 \(\mathbb E\lvert Y_M-Y_N\rvert^2=\sum_{N<k\leq M}k^{-4s}\) 当且仅当 \(s>1/4\) 时 \(L^2\) Cauchy
随机分布或 SPDE 还需所有测试函数和尺度的一致估计 本讲没有证明

更广的 Wick 幂与 Fourier 截断背景可参见 Hairer 的 Advanced Stochastic Analysis 讲义，其中以 Gaussian Fourier 场构造 \(\Phi^4_2\)；奇异方程中近似、反项与极限解的关系见 Hairer 的 Renormalisation of parabolic stochastic PDEs。本讲的有限和、阈值与误差界均已在正文独立推导，不把这个一维标量算例冒充一般定理。资料核查：2026-09-13。

连续训练：路径熵与随机场极限把有限模型、误差控制和退出题接成可交卷的路线。

后续练习：热核正则化与随机分布把单一测试函数推广到完整 Sobolev 范数，推导精确阈值与临界壳层，并区分有限频率图和无穷尾界。

后续练习：分布乘积与重建从相位反例、负Sobolev单壳层极限走到准确的模型相容条件，区分重整化对象与重建定理的职责。