基础衔接 08 · 联络、水平截面与 D-模：绕孔一周留下什么

1. 每个小区域都有解，为什么绕一圈却对不上

令 \(X=\mathbb C^*=\mathbb C\setminus\{0\}\)，在平凡秩一线丛中固定基向量 \(e\)。对局部函数 \(f\) 定义

联络不是 \(\mathcal O_X\)-线性映射，因为微分会看到函数变化；它满足 Leibniz 规则

水平截面是满足 \(\nabla(fe)=0\) 的截面，因此

在不绕住原点的单连通小区域上，可以选定一个 \(\operatorname{Log}z\) 分支，于是

这条公式首先是局部解析解。若 \(\alpha\) 不是整数，\(z^\alpha\) 不能在整个 \(\mathbb C^*\) 上选成单值函数；局部能写出解，不等于存在全局非零水平截面。

2. 到普适覆盖上，单值化变成一次平移

用普适覆盖坐标 \(\zeta\in\mathbb C\)，令 \(z=e^\zeta\)。此时 \(dz/z=d\zeta\)，水平解成为

沿正向绕原点一周对应 \(\zeta\mapsto\zeta+2\pi i\)，所以解被乘上

绕行 \(w\) 次则 \(M_w=e^{2\pi i\alpha w}\)。这个乘数叫单值化；它比较解析延拓前后的同一局部解。一次正向绕行生成 \(\pi_1(\mathbb C^*)\cong\mathbb Z\)，因此判断是否存在全局非零水平截面必须检查 \(M_1=1\)，不能只挑某个 \(w>1\)。

例如 \(\alpha=1/2\) 时，\(M_1=-1\)，两圈后 \(M_2=1\)。这不产生 \(\mathbb C^*\) 上的全局非零水平截面；它只说明把回路走两次后符号再次返回。对本秩一复联络，

平坦联络的运输不一定保持长度

正文允许 \(\alpha=u+iv\)，其中 u、v 为实数。一次单值化可以拆成

实部 u 控制旋转，虚部 v 控制模长变化。例如 α=i 时，一圈后乘 \(e^{-2\pi}\)；曲率仍为零，但在固定的标准 Hermitian 长度下运输并不保长。实验限制 α 为实数，所以画出的乘数都在单位圆上；这是参数范围带来的性质，不是“平坦”二字自动保证的性质。

3. 整数规范变换改表达，不改单值化

在 \(\mathbb C^*\) 上，\(z^m\) 对任意整数 \(m\) 都是处处可逆的代数函数。改用基

时，

所以新参数为

同一个截面若原来写成 \(f e\)，现在写成 \(f'e'\)，则 \(f'=z^{-m}f\)；水平系数由 \(z^\alpha\) 变为 \(z^{\alpha-m}\)。由于 \(m\) 是整数，

参数的实数代表改变了，单值化没有改变。这和 Berry 联络中局部规范势改变、闭合回路相位保持的结构相似，但对象不同：这里是复代数曲线上的平坦联络，不是 Hilbert 空间本征态的 Berry 联络。

还要限定空间。\(z^m\) 在 \(\mathbb C^*\) 上可逆，却在紧化的 \(\mathbb P^1\) 上可能在 \(0\) 或 \(\infty\) 有零点、极点；因此不能无条件说它保持某个已经固定的 \(\mathbb P^1\) 延拓。

4. 代数、解析与正则奇点要分账

代数上，\(\mathbb C^*\) 写成 \(\mathbb G_m=\operatorname{Spec}\mathbb C[z,z^{-1}]\)，正则函数是有限 Laurent 多项式。联络 \(d-\alpha\,dz/z\) 对这个代数函数环有意义。若要求水平截面本身也是全局代数正则函数，则方程 \(zf'=\alpha f\) 的非零解只能是 Laurent 单项式 \(cz^k\)，所以仍要求 \(\alpha=k\in\mathbb Z\)。

解析上，可以在小区域选 \(\operatorname{Log}z\)，并沿路径解析延拓；这产生水平截面的局部系统及其单值化。代数联络与解析局部系统之间的系统对应需要 Riemann-Hilbert 理论的条件，本例只展示最小的秩一机制。

在 \(X=\mathbb C^*\) 内，这个联络没有奇点。把它看成 \(\mathbb P^1\) 上允许在 \(0,\infty\) 有极点的联络时，\(dz/z\) 在两处都只有一阶对数极点，因此属于正则奇点模型。像 \(d-dz/z^2\) 这样的高阶极点会产生 \(e^{-1/z}\) 型行为，属于本讲没有处理的不规则奇点；不能仅凭“也有单值化”把两者并在同一分类里。

本例曲率为零：\(d(dz/z)=0\) 在 \(\mathbb C^*\) 上成立，秩一时联络一形式与自身的楔积也为零。平坦意味着局部有水平解，不意味着单值化必为恒等。

5. 从联络进入 D-模语言

令 \(D=z\partial_z\)。联络沿这个向量场的作用为

它满足

正是微分算子作用所需的 Leibniz 规则。水平方程就是

D-模把“函数乘法”和“求导”同时作为作用保存，并要求 \([\partial_z,z]=1\)。这里由一个秩一平坦联络得到最简单的 D-模入口；一般 D-模可以有奇异支撑、非局部自由底层模和更复杂的正则或不规则行为，不能全部改写成一个 \(z^\alpha\)。

模的生成元关系，与水平系数的方程要分开

记 \(\mathscr D_X\) 为微分算子层。本讲由联络得到的左 \(\mathscr D_X\)-模 \(M=\mathcal O_Xe\) 中，算子作用是 \(\partial_z\cdot e=-\alpha z^{-1}e\)，所以生成元满足

而对一个变动系数 f，Leibniz 规则给出 \((z\partial_z)\cdot(fe)=(zf'-\alpha f)e\)；令它为零，才得到水平系数的方程 \((z\partial_z-\alpha)f=0\)。两个符号来自不同对象，不能把 f 和生成元 e 混成同一个未知量。

若进一步取解函子 \(\operatorname{Hom}_{\mathscr D}(M,\mathcal O)\)，一个同态把 e 送到 h，生成元关系强迫 \(zh'+\alpha h=0\)，局部解为 \(z^{-\alpha}\)。其单值化是 \(e^{-2\pi i\alpha}\)，与 M 的水平截面单值化互为对偶。取 α=1/3 时，一者为 \(-1/2+i\sqrt3/2\)，另一者为 \(-1/2-i\sqrt3/2\)；不像 α=1/2 的特例，两者已经能直接区分。此处只计算秩一的普通解，不展开导出解函子。

在几何 Langlands中，D-模承担自守侧的微分方程数据，局部系统承担谱侧的平坦运输数据。本讲让“联络、水平截面、单值化、微分算子作用”各自成为可计算对象，但没有构造 \(\operatorname{Bun}_G\) 上的 D-模范畴或证明 Riemann-Hilbert、几何 Langlands 对应。

6. 两道迁移题

题一。 取 \(\alpha=3/2\)，并作规范变换 \(e'=ze\)。求 \(\alpha'\)、一次与两次绕行的单值化，并判断是否存在全局非零水平截面。

题二。 取 \(\alpha=-2\)。写出一个全局代数水平截面，并选择整数规范使新参数为零。为什么这不自动给出 \(\mathbb P^1\) 上同一个无奇点联络？