渐近统计 III · 三大检验与 Wilks 定理

对标：van der Vaart AS §15–16 ｜ 前置：as-01/02、本科统计 IV 本科的检验都要精确分布（正态总体专属）；渐近理论把检验解放到任意正则模型：似然比、Wald、得分（Rao）三大检验渐近等价、极限都是 χ²——这就是几乎所有统计软件输出里 χ² 与 p 值的来历。收官附 Neyman–Pearson 引理（最优性的地基）与局部功效视角。

1. Neyman–Pearson 引理（检验最优性的原点）

定理（N–P） 简单假设 \(H_0: f_0\) vs \(H_1: f_1\)：给定水平 \(\alpha\) 下功效最大的检验是似然比检验——拒绝当 \(\frac{f_1(x)}{f_0(x)} > k\)（\(k\) 由 \(\alpha\) 定）。 【证明】 设 \(\varphi^*\) 为 LR 检验、\(\varphi\) 任意水平 \(\leq\alpha\) 检验（取值 \([0,1]\) 的拒绝概率函数）。逐点非负性：\((\varphi^*(x) - \varphi(x))(f_1(x) - kf_0(x)) \geq 0\)（LR \(> k\) 处 \(\varphi^* = 1 \geq \varphi\)；\(< k\) 处 \(\varphi^* = 0 \leq \varphi\)）。积分展开：\(\int(\varphi^* - \varphi)f_1 \geq k\int(\varphi^* - \varphi)f_0 \geq 0\)（后者由水平条件）。即功效 \(\varphi^* \geq \varphi\)。\(\blacksquare\) 读法：证据的正确排序方式是似然比——三行证明立起整个检验理论的北极星；本科统计 IV 各检验的"合理性"都溯源于此（复合假设下推广为单调似然比/UMP 理论【引用】）。

2. 三大检验

检验 \(H_0: \theta = \theta_0\)（或约束 \(r(\theta) = 0\)，自由度 \(q\) = 约束数），三种度量"数据离 \(H_0\) 多远"的方式：

定理（Wilks + 三剑客等价） 正则条件下，\(H_0\) 真时三者都 \(\xrightarrow{d} \chi^2(q)\)，且两两之差 \(= o_P(1)\)。 【骨架】（一维核心计算）：对 \(\ell\) 在 \(\hat\theta\) 处二阶 Taylor（一阶项为零——MLE 是驻点）：

代入 as-02 主定理 \(\sqrt{nI}(\hat\theta - \theta_0) \xrightarrow{d} N(0,1)\) ⇒ 右端 \(\xrightarrow{d} \chi^2(1)\)——LR 与 Wald 在此展开中显式相等到 \(o_P(1)\)；Score 用 \(\psi(\theta_0) \approx -\psi'(\cdot)(\hat\theta - \theta_0)\) 换算归队。多维/约束版沿约束流形分块投影，自由度 = 被约束的维数。\(\blacksquare\)

Wilks 的魔法：极限 \(\chi^2(q)\) 不依赖模型细节与冗余参数——logistic 回归删三个变量的检验和生存模型删三个变量的检验查同一张 χ² 表："自由度是唯一要问的问题"，统计软件输出的通用性由此而来。

实务分野（渐近等价 ≠ 有限样本等价）：Wald 最方便（只拟合一次、回归系数表的 z 值即其开方）但对参数化不变性差、小样本最糙；LR 最稳（参数化不变），推荐默认；Score 在"约束模型好算、全模型难算"时独占（诊断检验/拉格朗日乘子检验——计量的 LM 检验即它）。

3. 功效的渐近视角（一段话版）

固定备择下三大检验功效都 \(\to 1\)（相合性）——比较功效必须让备择随 \(n\) 靠近：局部备择 \(\theta_n = \theta_0 + h/\sqrt n\) 下统计量 \(\xrightarrow{d}\) 非中心 χ²（非中心参数 \(h^\top I h\)）——功效由 \(I\) 度量的"距离"决定，三大检验局部功效也等价；这套"\(1/\sqrt n\) 邻域内看清一切"的显微镜（Le Cam 局部渐近正态理论 LAN【引用】）是渐近统计的深水区门牌——其核心对象（对数似然比过程）与 sc-04 Girsanov 的似然比是同一族。

4. 渐近统计三页资产盘点

CMT/Slutsky/Delta（语法）→ M-估计三段论 + "曲率之逆 × 得分噪声"（MLE 主定理）→ N–P 排序原理 + 三剑客 χ²（检验）。一切光滑参数模型的大样本推断到此闭环；界外（高维 \(p \sim n\)、非光滑、误设）各有下游学科接管（hdp 线、稳健统计、slt 线）。

5. 练习与要点

例 1（三剑客亲算） 泊松 \(H_0: \lambda = 1\)，观测 \(\bar X = 1.2, n = 100\)：Wald \(= n(\bar X - 1)^2/\bar X = 3.33\)；Score \(= n(\bar X - 1)^2/1 = 4.0\)；LR \(= 2n[\bar X\ln\bar X - \bar X + 1] = 3.65\)——三者相近（等价的体现）但不等（有限样本的分野），都对照 \(\chi^2(1)_{0.05} = 3.84\)：Score 拒绝、其余不拒绝——边缘案例三剑客可以投出不同票，报告时说明用了哪把剑是学术诚实的一部分。

例 2（Wilks 实战：嵌套模型比较） 回归模型删 3 个变量：\(2(\ell_{\text{全}} - \ell_{\text{删}})\) 对照 \(\chi^2(3)\)——变量选择的 LR 检验流水线（AIC = 此量 \(- 2\times\)参数差的改装，本科时序页信息准则认亲）。

例 3（Wald 的参数化陷阱） 检验 \(\theta = 1\) 与检验 \(\ln\theta = 0\) 的 Wald 统计量不同（Delta 缩放不抵消），LR 则完全相同——"换个参数化结论翻转"是 Wald 的原罪；重要结论用 LR 复核。\(\blacksquare\)

下一门：统计学习理论——把"检验一个假设"换成"从假设类里学一个假设"，PAC/VC/Rademacher 三部曲。