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渐近统计 I · 收敛工具箱

对标：van der Vaart AS §2–3 ｜前置：mt-01/02、本科概率 V、统计 I–II 渐近统计 = "样本量趋于无穷时统计程序的精确行为"。本页配齐三件日用工具：Slutsky（收敛的代数）、连续映射（收敛的函数演算）、Delta 方法（"估计量的函数"的极限分布）——它们是后两页一切定理的语法。

1. 依分布收敛的正式基础

定义升级（Portmanteau 定理，选三条常用）【引用】 \(X_n \xrightarrow{d} X\) 等价于：对一切有界连续 \(f\)，\(Ef(X_n) \to Ef(X)\)；对一切 \(P(X \in \partial A) = 0\) 的集合，\(P(X_n \in A) \to P(X \in A)\)；分布函数在连续点处处收敛（本科定义）。（第一条是工作定义——"对一切温和的检验函数过关"；测度的弱收敛语言与实变/泛函的弱拓扑同源。）

特征函数工具（Lévy 连续性定理）【引用】 \(\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)\) 逐点（极限在 0 连续）\(\iff X_n \xrightarrow{d} X\)——CLT 证明（本科概率 V）的引擎，正式引用备案。

紧性（Prokhorov）一嘴【引用】：胎紧（tight，质量不逃逸）⟺ 依分布收敛子列存在——"分布列的 Bolzano–Weierstrass"，证明存在极限分布时的兜底工具。

2. 三大工具

定理（连续映射，CMT） \(X_n \xrightarrow{d} X\)、\(g\) 在 \(X\) 的支撑上连续 ⇒ \(g(X_n) \xrightarrow{d} g(X)\)。 【骨架】 Portmanteau 第一条：\(Ef(g(X_n)) = E(f\circ g)(X_n)\)，\(f\circ g\) 有界连续。\(\blacksquare\)（对 \(\xrightarrow{P}\)、a.s. 同样成立。）

定理（Slutsky） \(X_n \xrightarrow{d} X\)，\(Y_n \xrightarrow{P} c\)（常数），则

\[ X_n + Y_n \xrightarrow{d} X + c, \qquad Y_nX_n \xrightarrow{d} cX, \qquad X_n/Y_n \xrightarrow{d} X/c\ (c \neq 0) \]

【骨架】 联合收敛 \((X_n, Y_n) \xrightarrow{d} (X, c)\)（一边是常数时联合收敛免费——一般情形不免费！），再 CMT。\(\blacksquare\) ⚠️ \(Y_n\) 收敛到"常数"是本质：两个都收敛到非退化分布时和的极限不确定（依赖联合结构——本科概率"边缘定不了联合"的渐近版）。

定理（Delta 方法） \(\sqrt n(T_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)\)、\(g\) 在 \(\theta\) 可微且 \(g'(\theta) \neq 0\)：

\[ \sqrt n\big(g(T_n) - g(\theta)\big) \xrightarrow{d} N\big(0,\ [g'(\theta)]^2\sigma^2\big) \]

【证明】 Taylor：\(g(T_n) - g(\theta) = g'(\theta)(T_n - \theta) + R_n\)，\(R_n = o_P(|T_n - \theta|)\)（可微性 + \(T_n \xrightarrow{P}\theta\)）。乘 \(\sqrt n\)：主项 CMT 给 \(g'(\theta)N(0,\sigma^2)\)，余项 \(\sqrt n R_n = o_P(1)\)，Slutsky 收尾。\(\blacksquare\) 读法："光滑函数不改变 \(\sqrt n\) 速率，只按导数平方缩放方差"——误差传播定律（物理实验课的公式）的严格版。\(g'(\theta) = 0\) 时降速为 \(n\)、极限变 \(\chi^2\) 型（二阶 Delta【引用】）——"参数恰在临界点"的检验为何行为异常的答案。

记号纪律（\(o_P/O_P\) 演算）：\(o_P(1)\) = 依概率趋零；\(O_P(1)\) = 胎紧。运算规则如同小 o/大 O（\(o_P\cdot O_P = o_P\) 等）——渐近论证的速记法，后两页全程使用。

3. 联合渐近与多维版

多维 Delta：\(\sqrt n(T_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \Sigma)\) ⇒ \(\sqrt n(g(T_n) - g(\theta)) \xrightarrow{d} N(0,\ \nabla g^\top\Sigma\nabla g)\)（同证，Jacobi 替导数）。Cramér–Wold 装置【引用】：多维依分布收敛 ⟺ 一切线性组合一维收敛——"多维问题一维化"的官方通道（多维 CLT 由一维 CLT + C–W 一行获得）。

4. 练习与要点

例 1（样本方差的渐近分布，三工具合演） \(S_n^2 = \frac1n\sum(X_i - \bar X)^2\)：分解 \(= \frac1n\sum(X_i - \mu)^2 - (\bar X - \mu)^2\)；第一项 CLT 给 \(\sqrt n(\cdot - \sigma^2) \xrightarrow{d} N(0, \mu_4 - \sigma^4)\)，第二项 \(\sqrt n(\bar X - \mu)^2 = O_P(1)\cdot o_P(1) = o_P(1)\)——Slutsky 合并：

\[ \sqrt n(S_n^2 - \sigma^2) \xrightarrow{d} N(0,\ \mu_4 - \sigma^4) \]

（正态总体时 \(= N(0, 2\sigma^4)\)，与本科统计 I 的 χ² 精确分布对账：\(n\) 大时一致 ✓。）

例 2（Delta 实战） 变异系数、相关系数、对数收益：\(\sqrt n(\hat\sigma/\hat\mu - \sigma/\mu)\) 的渐近方差按二维 Delta 一次算清——"任何光滑统计量的置信区间"的流水线：CLT 出原料、Delta 出成品（金融里 Sharpe 比率的标准误正是此流程【引用 Lo 2002】）。

例 3（Slutsky 的日常） t 统计量 \(\frac{\sqrt n(\bar X - \mu)}{S_n}\)：分子 \(\xrightarrow{d} N(0,\sigma^2)\)、分母 \(\xrightarrow{P}\sigma\) ⇒ 商 \(\xrightarrow{d} N(0,1)\)——"t 检验在大样本下不需要正态总体"（本科统计 III/IV 大样本通行证的三行证明），也是"为何 \(n>30\) 口诀能横行"的定理出处。\(\blacksquare\)

下一页：把工具箱对准统计的心脏——MLE 的相合性与渐近正态性、Fisher 信息与渐近有效性。