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渐近统计 I · 收敛工具箱
对标：van der Vaart AS §2–3 ｜ 前置：mt-01/02、本科概率 V、统计 I–II 渐近统计 = "样本量趋于无穷时统计程序的精确行为"。本页配齐三件日用工具：Slutsky（收敛的代数）、连续映射（收敛的函数演算）、Delta 方法（"估计量的函数"的极限分布）——它们是后两页一切定理的语法。
学习层：结论证书与反例选择器
1. 先标记目标，再检查假设
这一页暂时不使用鞅。实验只处理可以完全写出有限 PMF、概率和矩的序列或三角阵列；它的任务不是用有限图证明极限定理，而是训练“我究竟拿到了哪一种收敛证书”。标量结论的常用方向是
但反向箭头通常需要额外条件。特别是“依分布收敛”若极限不是常数，并不自动给出同一概率空间上的依概率、a.s. 或 \(L^p\) 结论。
实验有两个页签：序列 / 三角阵列显示 exact PMF、\(E X_n\)、\(E|X_n|\)、\(E X_n^2\) 和证书表；Slutsky / CMT / Delta显示假设检查、结论与边界。提交预测前，曲线、数值和答案都隐藏。
2. 五个完全解析的序列模型
设 \(U,U_1,U_2,\ldots\) 为 \([0,1]\) 上的均匀变量，\(\varepsilon,\varepsilon_n,\varepsilon_{nk}\) 为取 \(\pm1\) 且概率各为 \(1/2\) 的 Rademacher 变量。三角阵列每一行内的变量相互独立；行间耦合未指定。其余模型是否共用变量或相互独立，以各自定义为准。
nested rare spike 取同一个 \(U\)：
因此 \(P(X_n=n)=1/n\)、\(P(X_n=0)=1-1/n\)、\(E|X_n|=1\)、\(E X_n^2=n\)。对每个 \(U>0\)，最终有 \(n>1/U\)，故 \(X_n\to0\) a.s.，也依概率和依分布收敛到 \(0\)，但不 \(L^1\)、不 \(L^2\)。这是“a.s. 不自动给 \(L^p\)”的精确反例。
independent rare spike 改用独立的 \(U_n\)，有限时刻的 PMF 和上述完全相同，所以 \(X_n\to0\) 依概率、依分布，但 \(E|X_n|=1\)、\(E X_n^2=n\)。另一方面，对 \(N\le n\le M\) 没有尖峰的概率是
故尖峰无穷多次发生，a.s. 不收敛。这是“依概率不自动给 a.s.”的反例；它和上一个模型共享每个有限 \(n\) 的账本，却有不同的路径结论。
scaled Rademacher 取 \(X_n=\varepsilon_n/\sqrt n\)。这里 \(|X_n|=1/\sqrt n\) 是确定的，所以 a.s.、依概率、\(L^1\)、\(L^2\) 都收敛到 \(0\)，且 \(E X_n^2=1/n\)。
fixed Rademacher 取 \(X_n=\varepsilon\)。它在同一空间上 a.s.、依概率、\(L^1\)、\(L^2\) 收敛到非退化的 \(\varepsilon\)，依分布极限是 Rademacher，而不是常数 \(0\)。这提醒我们先写极限对象，不能把“收敛”默认为“趋零”。
Rademacher triangular array 的第 \(n\) 行是
（\(j=-n,-n+2,\ldots,n\)）。每一行精确满足 \(E T_n=0\)、\(E T_n^2=1\)、\(E T_n^4=3-2/n\)；CLT 才给出 \(T_n\xrightarrow{d}N(0,1)\)。行间没有默认的共同路径，所以实验只认证依分布结论；有限 lattice 图不能证明一般 CLT。
3. 静态 fallback：逐项结论证书
关闭 JavaScript 时，取 \(n=8\)。下表中的“有 / 无 / 不作断言”是理论结论，不是从有限柱状图猜出来的；PMF 和矩是该固定 \(n\) 的精确快照。
| 模型 | a.s. | 依概率 | \(L^1\) | \(L^2\) | 依分布极限 | 精确账本 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| nested spike | 有，极限 \(0\) | 有 | 无 | 无 | \(\delta_0\) | \(P(X_n=n)=1/n\)，\(E\lvert X_n\rvert=1\)，\(E X_n^2=n\) |
| independent spike | 无 | 有，极限 \(0\) | 无 | 无 | \(\delta_0\) | 无尖峰区间概率 \((N-1)/M\) |
| scaled Rademacher | 有，极限 \(0\) | 有 | 有 | 有 | \(\delta_0\) | \(\lvert X_n\rvert=n^{-1/2}\)，\(E X_n^2=1/n\) |
| fixed Rademacher | 有，极限 \(\varepsilon\) | 有 | 有 | 有 | Rademacher | \(P(\varepsilon=\pm1)=1/2\) |
| triangular array | 本页不作断言 | 本页不作断言 | 本页不作断言 | 本页不作断言 | \(N(0,1)\)（CLT） | \(E T_n=0\)，\(E T_n^2=1\)，\(E T_n^4=3-2/n\) |
4. 三个工具的证书 / 反例
- Slutsky：若 \(X_n\xrightarrow{d}X\) 且 \(Y_n\xrightarrow{P}c\)，其中 \(c\) 是常数，则和、积、在 \(c\ne0\) 时的商可由联合收敛和连续映射推出。若两个边缘都只收敛到非退化分布，边缘信息不决定联合结构：\(X=Y=R\) 时 \(X+Y=2R\)，\(X=R,Y=-R\) 时 \(X+Y=0\)，不能直接套定理。
- 连续映射：精确条件是 \(g\) 的不连续点集 \(D_g\) 满足 \(P(X\in D_g)=0\)；在极限支撑上处处连续是更强的常用充分条件。\(X_n=R/n\to0\)、\(g(x)=x^2\) 是可用证书；\(X_n=1/n\to0\)、\(g(x)=1/x\) 在 \(0\) 处不连续且极限质量全在 0，则 \(g(X_n)=n\) 发散，不能把形式代入当作结论。
- Delta method：需要 \(\sqrt n(T_n-\theta)\xrightarrow{d}Z\)，并且 \(g\) 在 \(\theta\) 可微。一阶结论为 \(g'(\theta)Z\)；若希望一阶极限非退化，还需 \(g'(\theta)\ne0\) 及非退化输入。取 \(T_n=1+R/\sqrt n,g(x)=x^2\)，有 \(\sqrt n(g(T_n)-1)=2R+1/\sqrt n\)；若改为 \(\theta=0\)，则 \(g'(0)=0\)，\(\sqrt nT_n^2\to0\) 而 \(nT_n^2=1\)，若想看一阶零极限之外的非零主项，需要在这个平方函数特例中切换到二阶尺度；这里得到常数 1，仍不是非退化随机极限。
反例选择器让你先选择一个拟议箭头，再选模型：依概率不推出 a.s. 选 independent spike；a.s. 不推出 \(L^2\) 选 nested spike；有限图不证明一般定理选 triangular array；两个非退化边缘不能直接套 Slutsky 选两种 coupling。选择器的答案是在提交后才显示。
5. 边界与迁移
- \(L^p\)、依概率、依分布的结论必须写明目标变量；“矩看起来稳定”不是 \(L^p\) 收敛证书。
- 三角阵列的每行可以有精确 PMF，但行间独立、同分布、Lindeberg 条件或共同概率空间等信息要另行声明；有限图只展示当前行。
- 连续映射不要求 \(g\) 处处连续，但要求极限变量以概率 1 避开它的不连续点；有界连续检验函数可用于依分布收敛，不连续函数需要检查极限在断点上的质量。
- 一阶 Delta 的导数为零不是小误差，而是主项消失；若要寻找非退化极限，须检查下一个非零阶导数再决定尺度，不能一律套二阶项。
- 迁移到 MLE、t 统计量或机器学习风险时，先把 CLT/相合性作为输入证书，再逐条检查 Slutsky、CMT、Delta 的条件；不要用一次 finite-n 图替代渐近证明。
无 JavaScript 时的静态读法：默认模型为 nested spike、\(n=8\)，反例选择器默认“依概率是否自动给 a.s.”。工具页默认 Slutsky 的常数极限案例。交互的每个 PMF、概率、矩和 toy 变换都由解析式直接计算；SVG 只画有限账本，结论证书来自上面的条件和反例论证。
1. 依分布收敛的正式基础
定义升级（Portmanteau 定理，选三条常用）【引用】 \(X_n \xrightarrow{d} X\) 等价于：对一切有界连续 \(f\)，\(Ef(X_n) \to Ef(X)\)；对一切 \(P(X \in \partial A) = 0\) 的集合，\(P(X_n \in A) \to P(X \in A)\)；分布函数在连续点处处收敛（本科定义）。 （第一条是工作定义——"对一切温和的检验函数过关"；测度的弱收敛语言与实变/泛函的弱拓扑同源。）
特征函数工具（Lévy 连续性定理）【引用】 \(\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)\) 逐点（极限在 0 连续）\(\iff X_n \xrightarrow{d} X\)——CLT 证明（本科概率 V）的引擎，正式引用备案。
紧性（Prokhorov）【引用】：在 Polish 空间上，一族概率测度紧（tight，质量一致不逃逸）当且仅当它在弱拓扑中相对紧。对序列 \((\mu_n)\)，等价表述是：每个子序列都有一个进一步弱收敛子序列。仅仅“原序列存在一个收敛子列”远远不够；例如 \(\mu_{2n}=\delta_0\)、\(\mu_{2n+1}=\delta_n\) 有收敛的偶数子列，却不紧。
2. 三大工具
定理（连续映射，CMT） 设 \(g\) 可测。若 \(X_n\xrightarrow{d}X\)，且 \(g\) 的不连续点集 \(D_g\) 满足 \(P(X\in D_g)=0\)，则 \(g(X_n)\xrightarrow{d}g(X)\)。要求 \(g\) 在 \(X\) 的整个支撑上连续是更强、但常用的充分条件。 【骨架】 若 \(g\) 全局连续，Portmanteau 第一条可直接用于有界连续的 \(f\circ g\)。在一般的 \(P(X\in D_g)=0\) 版本里，\(f\circ g\) 未必全局连续，需用扩展 Portmanteau 定理（或 Skorokhod 表示后在连续点逐点传递）完成；不能仍把 \(f\circ g\) 宣称为处处连续。\(\blacksquare\)（对 \(\xrightarrow{P}\)、a.s. 有对应版本。）
定理（Slutsky） \(X_n \xrightarrow{d} X\)，\(Y_n \xrightarrow{P} c\)（常数），则
【骨架】 联合收敛 \((X_n, Y_n) \xrightarrow{d} (X, c)\)（一边是常数时联合收敛免费——一般情形不免费！），再 CMT。\(\blacksquare\) ⚠️ \(Y_n\) 收敛到"常数"是本质：两个都收敛到非退化分布时和的极限不确定（依赖联合结构——本科概率"边缘定不了联合"的渐近版）。
定理（Delta 方法） \(\sqrt n(T_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)\)、\(g\) 在 \(\theta\) 可微：
【证明】 Taylor：\(g(T_n) - g(\theta) = g'(\theta)(T_n - \theta) + R_n\)，\(R_n = o_P(|T_n - \theta|)\)（可微性 + \(T_n \xrightarrow{P}\theta\)）。乘 \(\sqrt n\)：主项 CMT 给 \(g'(\theta)N(0,\sigma^2)\)，余项 \(\sqrt n R_n = o_P(1)\)，Slutsky 收尾。\(\blacksquare\) 读法："非零导数把一阶误差按线性系数搬运，方差按导数平方缩放"——误差传播定律（物理实验课的公式）的严格版。\(g'(\theta)=0\) 时，上面的一阶结论仍给零极限。只有再假定 \(g\) 在邻域二阶连续可微且 \(g''(\theta)\ne0\)，才得到
例如 \(g(x)=x^2,\theta=0\) 用 \(n\) 尺度；\(g(x)=x^3,\theta=0\) 则一、二阶导都为零，要用 \(n^{3/2}\) 尺度，极限是 \(\sigma^3Z^3\)，这里 \(Z\sim N(0,1)\)。可见“一阶导为零”本身并不指定下一种尺度或保证 χ² 极限。
记号纪律（\(o_P/O_P\) 演算）：\(o_P(1)\) = 依概率趋零；\(O_P(1)\) = 依概率有界（等价地，相应分布族 tight）。运算规则如同小 o/大 O（\(o_P\cdot O_P=o_P\) 等）——渐近论证的速记法，后两页全程使用。
3. 联合渐近与多维版
多维 Delta（这里 \(g:\mathbb R^d\to\mathbb R\) 在 \(\theta\) 可微）：\(\sqrt n(T_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \Sigma)\) ⇒ \(\sqrt n(g(T_n) - g(\theta)) \xrightarrow{d} N(0,\ \nabla g^\top\Sigma\nabla g)\)（同证，Jacobi 替导数）。Cramér–Wold 装置【引用】：多维依分布收敛 ⟺ 一切线性组合一维收敛——"多维问题一维化"的官方通道（多维 CLT 由一维 CLT + C–W 一行获得）。
4. 练习与要点
例 1（样本方差的渐近分布，三工具合演） 设 \(X_i\) iid，\(EX_i=\mu\)、\(\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2\)，并且中心四阶矩 \(\mu_4=E(X_i-\mu)^4<\infty\)。 \(S_n^2 = \frac1n\sum(X_i - \bar X)^2\)：分解 \(= \frac1n\sum(X_i - \mu)^2 - (\bar X - \mu)^2\)；第一项 CLT 给 \(\sqrt n(\cdot - \sigma^2) \xrightarrow{d} N(0, \mu_4 - \sigma^4)\)，第二项 \(\sqrt n(\bar X - \mu)^2 = O_P(1)\cdot o_P(1) = o_P(1)\)——Slutsky 合并：
（正态总体时 \(= N(0, 2\sigma^4)\)，与本科统计 I 的 χ² 精确分布对账：\(n\) 大时一致 ✓。）
例 2（Delta 实战） 沿用 iid 有限四阶矩，再设 \(\mu\ne0,\sigma>0\)。变异系数 \(g(\mu,v)=\sqrt v/\mu\) 的梯度为 \((-\sigma/\mu^2,1/(2\mu\sigma))^\top\)；均值与方差的联合 CLT 协方差阵是 \(\begin{pmatrix}\sigma^2&\mu_3\\\mu_3&\mu_4-\sigma^4\end{pmatrix}\)，其中 \(\mu_3=E(X-\mu)^3\)。于是\(\sqrt n(\hat\sigma/\hat\mu - \sigma/\mu)\) 的渐近方差为 \(\sigma^4/\mu^4-\mu_3/\mu^3+(\mu_4-\sigma^4)/(4\mu^2\sigma^2)\)。接近零均值时导数放大，不能忽略分母条件。其余光滑函数也按相应梯度处理——"任何光滑统计量的置信区间"的流水线：CLT 出原料、Delta 出成品（金融里 Sharpe 比率的标准误正是此流程【引用 Lo 2002】）。
例 3（Slutsky 的日常） 设 iid 样本具有有限且非零方差。t 统计量 \(\frac{\sqrt n(\bar X - \mu)}{S_n}\)：分子 \(\xrightarrow{d} N(0,\sigma^2)\)、分母 \(\xrightarrow{P}\sigma\) ⇒ 商 \(\xrightarrow{d} N(0,1)\)——"t 检验在大样本下不需要正态总体"（本科统计 III/IV 大样本通行证的三行证明），但定理没有给出普适的 \(n>30\) 门槛；重尾、偏斜或相关数据需要另外核查矩条件、依赖结构和近似精度。\(\blacksquare\)
独立迁移：同样的“趋零”，可能需要不同工具
- 把嵌套尖峰改为 \(Y_n=\sqrt n\,\mathbf1\{U\le1/n\}\)，分别判断 a.s.、\(L^1\)、\(L^2\) 收敛到 0。
- 已知 \(\sqrt nT_n\Rightarrow Z\sim N(0,1)\)。比较 \(g(x)=x^2\) 与 \(g(x)=x^3\) 的非退化尺度和极限。
- iid 数据只有有限二阶矩，四阶矩无限时，能否直接调用本页样本方差的 \(\sqrt n\) 正态公式？这是否同时否定样本均值 CLT？
核对独立迁移与条件
第一题仍因同一个 \(U>0\) 最终离开缩小区间而 a.s. 趋零。\(E|Y_n|=n^{-1/2}\to0\)，所以也 \(L^1\) 趋零；但 \(EY_n^2=1\)，不 \(L^2\) 趋零。它补出本页默认尖峰没有展示的“\(L^1\) 有、\(L^2\) 无”层次。
第二题用 CMT 直接看：\(nT_n^2=(\sqrt nT_n)^2\Rightarrow Z^2\sim\chi_1^2\)；\(n^{3/2}T_n^3=(\sqrt nT_n)^3\Rightarrow Z^3\)。立方极限有正有负，不能误认成 χ²；两者的一阶 \(\sqrt n\) 变换都退化为 0。
第三题不能调用方差例子的普通 CLT，因为 \((X-\mu)^2\) 的方差就是 \(\mu_4-\sigma^4\)，此时并不有限。样本均值的 iid CLT 只需有限二阶矩，仍可成立；一个统计量的条件失效并不自动否定另一个统计量的极限定理。
下一页：把工具箱对准统计的心脏——MLE 的相合性与渐近正态性、Fisher 信息与渐近有效性。
把渐近标准误的条件放回真实相关资料，可做NOAA CO₂真实数据项目。使用有版本和质量说明的固定快照，保留独立复算与模型边界。
本页 Delta 定理与样本方差例可对照 van der Vaart《Asymptotic Statistics》预览中的定理3.1与例3.2–3.3，特别留意有限四阶矩条件。