代数进阶 I · 群作用、Sylow 定理与可解群
对标：Dummit & Foote §4 / Artin §6–7 ｜ 前置：本科抽代 I 研究生群论的主线是结构分析：有限群的内部由什么零件构成？三件武器：群作用的计数（类方程——本科 Burnside 的深化）、Sylow 定理（素数幂子群必然存在——有限群论的第一大定理）、可解群（为 Galois 理论定制的结构概念，下两页的钥匙）。
1. 群作用的计数学
轨道-稳定子（本科抽代 I）\(|G| = |\mathrm{Orb}(x)||\mathrm{Stab}(x)|\) 的两大特化：
类方程：\(G\) 对自身共轭作用，轨道 = 共轭类：
（中心 = 单点轨道；\(C_G\) = 中心化子。）第一滴血【证明】：\(p\)-群（阶 \(= p^n\)）中心非平凡——类方程模 \(p\)：左边 \(\equiv 0\)、非中心项都被 \(p\) 整除 ⇒ \(|Z| \equiv 0 \pmod p\)，而 \(|Z| \geq 1\)。\(\blacksquare\)（推论：\(p^2\) 阶群必交换【骨架：\(G/Z\) 循环 ⇒ \(G\) 交换的标准引理】。）
Cauchy 定理【骨架】：\(p \mid |G|\) ⇒ 存在 \(p\) 阶元。妙证（McKay）：集合 \(\{(g_1,\dots,g_p): \prod g_i = e\}\) 大小 \(|G|^{p-1}\)，\(\mathbb{Z}_p\) 轮换作用于其上——不动点 = \(g^p = e\) 的常值组；轨道大小 1 或 \(p\) ⇒ 不动点数 \(\equiv |G|^{p-1} \equiv 0 \pmod p\)，而 \((e,\dots,e)\) 是一个 ⇒ 还有别的。\(\blacksquare\)（群作用计数的教科书级妙用。）
2. Sylow 定理
\(|G| = p^a m\)（\(p \nmid m\)）；Sylow \(p\)-子群 = 阶 \(p^a\) 的子群。
定理（Sylow 三连） ① 存在；② 任何 \(p\)-子群含于某 Sylow \(p\)-子群，且 Sylow \(p\)-子群两两共轭；③ 个数 \(n_p \equiv 1 \pmod p\) 且 \(n_p \mid m\)。 【骨架（作用三连证）】 ①：\(G\) 作用于"大小 \(p^a\) 的子集族"（大小 \(\binom{p^am}{p^a} \not\equiv 0 \bmod p\)——Kummer/Lucas 的组合数论），必有轨道大小与 \(p\) 互素 ⇒ 其稳定子恰为所求；②③：\(p\)-子群作用于 Sylow 子群的共轭族/陪集空间，逐次数不动点模 \(p\)。\(\blacksquare\)（三条全靠"选好集合让 \(G\) 作用、数不动点模 \(p\)"——§1 的方法论一以贯之。）
用法（判非单群的流水线）：\(n_p = 1 \iff\) Sylow \(p\)-子群正规。例：\(|G| = 15\)——\(n_3 \mid 5, \equiv1(3) \Rightarrow n_3 = 1\)；\(n_5 = 1\) 同理 ⇒ 两个正规子群、交平凡、乘积全群 ⇒ \(G \cong \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_{15}\)——15 阶群只有一个。"用算术锁死结构"是 Sylow 的日常。
3. 可解群（Galois 的定制零件）
定义 \(G\) 可解：存在正规列 \(\{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_n = G\)，每层商 \(G_{i+1}/G_i\) 交换。（"可以逐层拆成交换积木"。）等价刻画：导出列 \(G^{(k)} = [G^{(k-1)}, G^{(k-1)}]\)（换位子群迭代）终达 \(\{e\}\)。
性质包【骨架】：子群、商群、扩张（\(N\) 与 \(G/N\) 可解 ⇒ \(G\) 可解）都保持可解性——三条都是"正规列的拼接手术"。\(p\)-群可解（中心非平凡 + 归纳——§1 第一滴血的结构性回报）；Burnside \(p^aq^b\) 定理【立牌】：两素数阶群必可解（表示论证明）。
关键反例（下两页的主角）：\(A_5\) 是最小非交换单群（阶 60），故不可解。 【骨架】 单性：\(A_5\) 的共轭类大小 \(1, 15, 20, 12, 12\)——正规子群 = 若干共轭类之并且含 \(e\)、阶整除 60：枚举组合 \(1 + \{15,20,12,12\}\) 的子集和，无一整除 60（除 1 与 60）⇒ 无非平凡正规子群。\(\blacksquare\)（类方程当筛子——§1 的武器第三次开火。）\(S_5 \supseteq A_5\) 不可解随之（子群保可解的逆否）。
4. 练习与要点
例 1（Sylow 实战） 证明 40 阶群非单：\(n_5 \mid 8, \equiv 1(5) \Rightarrow n_5 = 1\)——一行毙命。再试 30 阶（需要 \(n_3, n_5\) 联合数元素个数的经典论证——数元素法的入门题）。
例 2（可解性判定） \(S_4\) 可解：正规列 \(\{e\} \trianglelefteq V_4 \trianglelefteq A_4 \trianglelefteq S_4\)，商依次 \(V_4, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_2\) 全交换 ✓——四次方程有求根公式的群论原因（下两页兑现这句话）。
例 3（类方程亲算） 写出 \(S_3\) 的类方程 \(6 = 1 + 2 + 3\)（恒等/三轮换/对换）；验证 \(Z(S_3) = \{e\}\) 与各中心化子的阶——最小非交换群上把 §1 的机器盘熟。\(\blacksquare\)
下一页：Galois 理论主定理——域扩张与群的完美对应：本科抽代 II"山顶眺望"的正式攻顶。