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失效 II · 公差、配合与几何量

层次：本科核心 + 业界日常 ｜ 这是设计与制造之间的正式契约。 没有零件能被造得"完全准确"。公差就是规定允许的不准确程度——它把"我需要多准"翻译成"你要花多少钱"。这一页的内容看似琐碎，却是机械图纸上信息量最大、也最容易出错的部分。

学习层：先把一条轴向间隙的尺寸链对账

具体工程情境：泵壳与轴肩之间的装配间隙

某泵的转子需要在壳体内保留 \(0.9\)–\(1.5\,\mathrm{mm}\) 的轴向间隙。图纸给出四个带符号尺寸：壳体基准到端面的 \(+40.0\,\mathrm{mm}\)、隔圈 \(+5.0\,\mathrm{mm}\)、轴肩 \(-42.6\,\mathrm{mm}\) 和止推垫 \(-1.2\,\mathrm{mm}\)。每个“±值”先按一个制造能力的 3σ 估计解释，而不是把标准公差天然当成正态分布。工程师要回答：最坏情况是否越界、独立近似下 RSS/正态良率是多少，以及一个共同基准或 GD&T 约束是否会让独立假设失效。

必须提交的三项预测

  1. 把所有尺寸的半公差同时放大，最坏情况间隙区间会变窄、变宽，还是只改变中心值？
  2. 在各尺寸偏差相互独立、近似正态且“±值”都是 3σ 的前提下，RSS 的 3σ 带宽相对极值法会更小、更大，还是必然相等？
  3. 如果两个尺寸共享同一装夹基准或位置度误差明显相关，能否仍把独立正态 RSS 的良率直接当成最终装配保证？

最小模型与假设：符号尺寸、极值、RSS 与正态良率

设第 \(i\) 个尺寸为 \(x_i\)，方向符号为 \(s_i\in\{+1,-1\}\)，名义值为 \(\bar x_i\)，半公差为 \(t_i\)。封闭环名义间隙为

\[ C_0=\sum_i s_i\bar x_i, \]

最坏情况只传播边界：

\[ C_{\min}=C_0-\sum_i t_i,\qquad C_{\max}=C_0+\sum_i t_i. \]

为了把统计法的假设说清楚，本实验把 \(t_i\) 暂时解释成各尺寸偏差的 \(3\sigma_i\)，并假设偏差独立、近似正态：

\[ \sigma_C=\sqrt{\sum_i(t_i/3)^2},\qquad P(L\le C\le U)=\Phi\!\left(\frac{U-C_0}{\sigma_C}\right)-\Phi\!\left(\frac{L-C_0}{\sigma_C}\right). \]

RSS 的“3σ 带宽”是 \(3\sigma_C=\sqrt{\sum_i t_i^2}\)，它不是 100% 保证；正态良率还依赖分布尾部是否可信。实验中的基准偏置滑块只展示一个系统性均值移动，不会伪装成随机散布。

若尺寸偏差存在相关性，统计叠加要写成

\[ \operatorname{Var}(C)=\sum_i\sigma_i^2+2\sum_{i<j}s_is_j\operatorname{Cov}(x_i,x_j), \]

而不是继续把协方差项删掉。共同温度、同一装夹、同一批次和测量基准都可能造成系统项或相关项；它们必须从数据或过程模型确认。

误区与模型边界

  • 极值法给出的是在每个尺寸都能同时落到边界时的包络；它保守但不等于真实生产分布，更不说明测量系统足够好。
  • RSS/正态良率必须明确独立性、近似正态性、尺寸定义和过程能力。共享夹具、热漂移、批次偏移或同一基准会引入协方差，不能继续用简单平方和。
  • 形状公差（直线度、平面度、圆度、圆柱度）通常不需要 datum；方向公差（平行度、垂直度、倾斜度）、位置公差（位置度、同轴度、对称度）和跳动通常要在功能基准体系下解释。它们不是普通轴向尺寸，必须按实体要求和装配边界建模；本 lab 的一维线性 stack 只作筛查。
  • 热装/冷装的间隙变化取决于材料的热膨胀系数、温差、接触压力、温度场和装配时序；铝-钢组合可能在某些升温条件下松脱，也可能因几何与约束得到相反结果，不能把“热装一定更松”当成通用结论。
  • “良率 99.9%”是给定分布与规格窗口下的概率估计，不是每一件零件的保证，也不替代 GD&T 公差域、测量不确定度和装配试验。

对应 lab 的静态 fallback

无 JavaScript 时仍可核对：默认尺寸偏差按独立正态、每个“±值”为 3σ 解释；规格为 \(0.90\)–\(1.50\,\mathrm{mm}\)。

尺寸环 符号 名义值 (mm) 半公差 \(t_i\) (=3σ_i) (mm)
壳体基准到端面 + 40.00 0.20
隔圈 + 5.00 0.10
轴肩 − 42.60 0.15
止推垫 − 1.20 0.05
封闭环名义间隙 1.20
公差账本 默认读数 单位或边界
极值 \([C_{\min},C_{\max}]\) \([0.70,1.70]\) mm；越过规格窗口
RSS 3σ 带宽 0.274 mm；统计估计
\(\sigma_C\) 0.0913 mm
正态窗口良率 约 99.90% 独立/正态/无系统相关

提交三项预测后，实验才揭示 SVG 间隙区间、尺寸贡献表和证据账；调节公差尺度或基准偏置后，结果会明确标出极值越界、统计估计和模型边界。

正式返回：从尺寸链回到图纸决策

这个筛查的正式输出不是一个孤立的“公差值”，而是四项可追溯证据：名义封闭环 \(C_0\)、极值包络、带假设标签的统计估计，以及未建模的 datum/GD&T 风险。若功能要求是 100% 互换，先看极值包络；若允许经验证的少量超差，再用独立性、过程能力和实测分布支撑 RSS，而不是先用统计法替制造能力兜底。

迁移问题

如果轴肩和止推垫由同一装夹基准加工，且 CMM 数据显示它们存在正相关，你会怎样把协方差项加入 \(\operatorname{Var}(C)\)？再把位置度和端面垂直度纳入装配功能时，哪个基准关系必须先由装配状态定义？

一、为什么必须有公差

任何加工都有误差：机床精度、刀具磨损、热变形、材料弹性回复、测量误差。

公差的作用是双向的：

成本与公差的关系是强非线性的——公差每收紧一档，加工成本可能上升几十个百分点乃至成倍：因为它可能意味着换更精密的机床、增加工序（粗车→精车→磨削→研磨）、更严格的温控、更慢的进给、更高的废品率。

所以"能松则松"是机械设计的职业素养：只在功能真正需要的地方收紧公差。新手的通病是全图纸标注高精度，结果零件贵得离谱且交期漫长。

二、尺寸公差与配合

基本概念：基本尺寸、上下偏差、公差带。

标准化体系（ISO 与国标一致）：

工程上优先用基孔制——理由很实际：孔比轴难加工、难测量，且孔的加工常用定尺寸刀具（钻头、铰刀、拉刀），刀具规格是离散的。把孔固定为标准（H），调整轴的尺寸（轴用车磨即可连续调整），成本最低。

三类配合：

配合 特征 典型代号 用途
间隙配合 总有间隙 H7/g6、H7/f7 相对运动（滑动轴承、导向）
过渡配合 可能有隙也可能有过盈 H7/k6、H7/m6 定位准确、可拆（联轴器、齿轮）
过盈配合 总有过盈 H7/r6、H7/s6 靠摩擦传力（轮毂、轴承内圈）

过盈配合的注意点：

三、几何公差（形位公差）

尺寸合格 ≠ 零件可用。 一根轴每个截面直径都合格，但整体可能是弯的、椭圆的、或两段不同心。几何公差控制形状、方向、位置与跳动：

类别 项目
形状 直线度、平面度、圆度、圆柱度
方向 平行度、垂直度、倾斜度
位置 位置度、同轴度、对称度
跳动 圆跳动、全跳动

基准（datum）是部分几何公差的核心：形状公差通常独立控制自身形状，不必强行添加 datum；方向、位置和跳动公差才通常要在基准体系中解释。基准的选择应与零件的功能状态一致——比如以实际安装面为基准，而不是以加工方便的面为基准；基准选错会让功能检验与图纸意图不一致。

最大实体要求（MMC）：一个巧妙的机制——当零件尺寸偏离最大实体状态时，可以获得额外的位置度公差。

直观理解：孔越大，螺栓越容易穿过，位置就可以偏得多一些。所以对"只要能装进去"的场合（螺栓通孔），用 MMC 可以在保证装配的前提下放宽公差，直接降低成本。这是 GD&T 中最有实用价值的工具之一。

GD&T 的哲学：标注功能需求，而非标注加工方法。它让设计意图（"这两个面必须平行到什么程度才能正常工作"）被精确表达，而不是隐含在一堆尺寸链里。

四、尺寸链

多个零件装配后，某个关键间隙由一串尺寸累积决定。

极值法（最坏情况）：

\[T_{\text{封闭环}} = \sum T_i\]

保证 100% 互换，但要求各环公差很严，成本高。

统计法（概率法）：各环误差近似独立正态分布，

\[T_{\text{封闭环}} \approx \sqrt{\sum T_i^2}\]

这个平方和大幅放宽了要求：5 个等公差环，极值法需要每环 \(T/5\)，统计法只需约 \(T/2.24\)。代价是允许极小比例的装配超差（需要选配或返工）。

在过程稳定、分布与相关性已用数据验证，并允许规定的不合格率或后续筛选时，大批量生产常采用统计公差；安全关键、100% 互换或小样本过程仍可能需要极值边界、能力研究与逐件检验。统计法不是用数学替代制造能力，而是把可接受风险写进质量计划。

工程对策：

五、测量与计量

"没有测量就没有公差"——公差必须可验证。

六、要点

下一页：安全系数从哪来？可靠性又如何量化？这一页处理机械设计中"留多少余量"这个既古老又现代的问题。