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传动 II · 齿轮与传动系统
层次：本科核心 + 业界核心零件。 齿轮是机械传动的主力。它看似只是"带齿的轮子"，但齿廓的形状不是随意画的——它由一个严格的运动学要求推导而来。本页从这个要求出发，讲到齿轮的强度、失效与传动系统设计。
学习层：先用几何账本检查一对标准直齿轮
具体机械情境：给输送线减速箱配一对齿轮
一台输送线电机以 \(n_1=1500\,\mathrm{r/min}\) 驱动小齿轮，工程师要用一只大齿轮把速度降到约一半。先把齿轮简化成标准外啮合直齿轮：模数 \(m=3\,\mathrm{mm}\)，齿数 \((z_1,z_2)=(20,40)\)，压力角 \(\phi=20^\circ\)。在加工和装配前，要同时回答“速比是否正确”“中心距是多少”“啮合是否连续”和“齿数是否有根切风险”。
必须提交的预测
- \(z_2/z_1\) 从 \(2\) 增大到更大值时，从动轮转速 \(n_2\) 会增大还是减小？
- 若轴向重合度不计，理想刚体几何下至少一对齿接触的边界应是 \(\varepsilon_\alpha\ge1\) 还是 \(\varepsilon_\alpha<1\)？工程设计通常还会留出 \(>1\) 的余量。
- 在 \(\phi=20^\circ\) 下，\(z_1=20\) 是否高于 \(z_{\min}\approx2/\sin^2\phi\)，因而通过本页的标准根切筛查？
正式模型：把速比、啮合线与根切分成三本账
取 \(r_i=mz_i/2\)，标准中心距、基圆半径和齿顶圆半径分别为
两轮的理论啮合路径、基节和横向重合度是
外啮合的速度账是 \(i=\omega_1/\omega_2=z_2/z_1\)，两轴反向，故 \(n_2=n_1/i\)。理想刚体几何下 \(\varepsilon_\alpha\ge1\) 才至少有一对齿接触；工程上通常要求 \(\varepsilon_\alpha>1\) 以留下余量。标准全齿高、无变位的根切初筛用 \(z_{\min}\approx2/\sin^2\phi\)，并分别检查 \(z_1,z_2\ge z_{\min}\)。默认值给出 \(a=90.00\,\mathrm{mm}\)、\(i=2.000\)、\(n_2=750.0\,\mathrm{r/min}\)、\(\varepsilon_\alpha\approx1.63\)，所以几何接触成立且有工程余量，也通过这个根切筛查。
误区与模型边界
- \(\varepsilon_\alpha\ge1\) 是理想几何下至少一对齿接触的边界；\(\varepsilon_\alpha>1\) 才表示留有正的工程余量，二者都不能替代齿根弯曲、齿面接触、润滑、噪声和轴系刚度校核。
- \(z_{\min}\) 是标准压力角、标准全齿高的近似根切筛查；变位齿轮、短齿制、修形和非标准刀具会改变结论。
- 上述路径公式只适用于标准全齿高、无变位、标准中心距与理想刚体几何。它不覆盖齿隙、齿形误差、弹性变形、轴线偏斜、斜齿轴向重合度或实际载荷分配。
- 渐开线的恒传动比不等于无振动；啮合刚度周期变化、制造误差和轴承支承仍会激发啮合频率边带。
- 根切筛查通过也不代表齿根有足够疲劳寿命；强度账必须回到载荷、齿宽、材料和修正系数。
对应 lab 的静态 fallback
无 JavaScript 时仍可核对：默认 \(m=3.00\,\mathrm{mm}\)、\((z_1,z_2)=(20,40)\)、\(\phi=20.0^\circ\)、\(n_1=1500\,\mathrm{r/min}\)。
| 几何/传动账本 | 默认读数 | 单位或判定 |
|---|---|---|
| 中心距 \(a\) | 90.000 | mm |
| 基圆半径 \((r_{b1},r_{b2})\) | (28.191, 56.382) | mm |
| 齿顶圆半径 \((r_{a1},r_{a2})\) | (33.000, 63.000) | mm |
| 啮合路径 / 基节 | 14.48 / 8.86 | mm |
| 横向重合度 \(\varepsilon_\alpha\) | 约 1.63 | \(\ge1\) 几何接触，且 \(>1\) 有工程余量 |
| 速比 \(i\) / 从动转速 \(n_2\) | 2.000 / 750.0 | 外啮合反向；r/min |
| \(z_{\min}\) / 根切筛查 | 约 17.10 / 20、40 | 两轮通过 |
脚本可用时，改变齿数或压力角会同步重算中心距、啮合路径和根切风险；结果揭示后调参不会重新锁回预测门。若把齿数降到筛查阈值以下，实验会明确标出风险，而不会把公式外推成“安全”。
迁移问题
如果输送线需要非标准中心距，且小齿轮只有 14 齿，你会怎样选择变位系数并重新检查重合度、齿顶变尖、齿根弯曲和中心距？请说明为什么此时不能直接把上面的标准 \(z_{\min}\) 当成最终设计结论。
一、齿廓啮合基本定律
要求：两轮以恒定传动比啮合。若传动比波动，从动轮就会周期性加减速 → 惯性力 → 振动与噪声（承第七页）。
基本定律：两齿廓在任一接触点的公法线，必须通过连心线上的一个固定点（节点 P）。
满足这个条件的齿廓有多种，工程上主要用渐开线。
二、为什么是渐开线
渐开线的定义：一条直线在基圆上纯滚动时，直线上一点的轨迹。
渐开线齿廓的四个决定性优点（这四条解释了它统治齿轮世界的原因）：
① 中心距可变而传动比不变。 装配误差、轴承磨损、热膨胀使中心距略有变化时，传动比仍严格恒定（只是压力角与齿隙略变）。这个性质对制造与装配极其宽容，是渐开线胜出的首要原因。
② 齿廓可用直边刀具加工。 渐开线齿轮的基本齿条是直线齿廓，因此可用简单的直线刃刀具（滚刀、插齿刀）以范成法加工——一把刀具可以加工同模数、任意齿数的齿轮。这是巨大的制造经济性优势。
③ 传力方向恒定。 啮合点始终沿啮合线（基圆的公切线）移动，压力角恒定 → 轴承受力方向不变，利于设计。
④ 可互换性。 同模数、同压力角的齿轮都能互相啮合。标准压力角 20° 是全球通用标准。
三、基本参数与几何
模数 \(m\) 是齿轮的"尺寸单位"：
\(d\) 为分度圆直径，\(z\) 为齿数，\(p\) 为齿距。模数已标准化（1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5…），因为刀具按模数配备。
两个必须掌握的概念：
① 重合度 \(\varepsilon\)：平均同时啮合的齿数。
在该标准直齿轮模型内，\(\varepsilon_\alpha\) 越大通常意味着载荷分担更均匀、噪声更小。标准直齿轮 \(\varepsilon_\alpha\) 常在 1.2–1.8；斜齿轮因有轴向重合度，总重合度可达 2–3 以上，因而运转平稳、噪声低——这是汽车变速箱普遍用斜齿轮的原因（代价是产生轴向力，需要止推轴承）。非标准全齿高、变位、修形或实际载荷下，应重新定义并校核重合度。
② 根切与最少齿数：齿数太少时，刀具会把齿根切去一部分，削弱强度。标准直齿轮（压力角 20°、正常齿）的理论最少齿数为 17。
变位齿轮是对策：把刀具径向移动一个距离加工。变位不改变模数与压力角，却能：
- 避免根切（少于 17 齿也能做）；
- 调整中心距（配凑非标中心距）；
- 平衡两轮的齿根强度与磨损。 变位是齿轮设计中一个强有力却常被忽视的工具。
四、齿轮的两种失效模式
这是齿轮设计的核心——两种失效机理完全不同，必须分别校核：
① 齿根弯曲疲劳（断齿）：把齿看作悬臂梁，齿根圆角处应力集中（承第一页）。
关键：\(\sigma_F \propto 1/m\) → 提高弯曲强度靠增大模数（齿变大变粗）。
② 齿面接触疲劳（点蚀）：赫兹接触应力（承第五页）导致次表面裂纹与剥落。
关键：\(\sigma_H\) 与直径相关 → 提高接触强度靠增大直径（或提高齿面硬度）。
这个区别有直接的设计后果：
- 要抗断齿：增大模数（齿数不变则直径也增大，但主要靠模数）；
- 要抗点蚀：增大直径或表面硬化（渗碳淬火可使接触疲劳极限大幅提高）；
- 硬齿面齿轮（例如渗碳淬火，HRC 58–62）在某些常见设计窗口中可能更接近弯曲强度控制；软齿面（例如调质）也可能更接近接触强度控制，但这不是材料状态的绝对分类，必须按齿宽、模数、载荷、硬度、修正系数和实际失效模式分别校核。
其他失效：胶合（高速重载下油膜破裂、齿面焊合撕裂——靠润滑油极压添加剂与降低闪温对抗）、磨粒磨损、塑性变形。
五、齿轮系与速比
定轴轮系：\(i_{\text{总}} = \prod i_k\)，注意方向（外啮合反向、内啮合同向）。
行星轮系：用转化机构法（给整个系统加上 \(-\omega_H\)，转化为定轴轮系）求解。
行星轮系的优点（现代传动的主流）：
- 功率分流：多个行星轮分担载荷 → 同样体积传递更大功率；
- 同轴布置：输入输出同轴，结构紧凑；
- 大速比：单级可达 10 以上，复合式更大；
- 可实现差速（汽车差速器）与多档变速（自动变速箱）。
代价：制造精度要求高（多个行星轮必须均载，否则一个轮承担全部载荷），装配有齿数条件限制。
其他传动的定位：
- 蜗杆传动：单级速比可达 80，可自锁（承第一页），但效率低（自锁型常低于 50%，滑动摩擦大、发热严重）；
- 谐波减速器：体积小、速比大、回差极小，机器人关节常用；但刚度较低、寿命有限；
- RV 减速器：刚度高、精度高、抗冲击，工业机器人主关节的主流；
- 带传动/链传动：可远距离、有缓冲；带传动可打滑（过载保护）但有滑差、链传动有多边形效应。
六、传动系统设计的思路
分配速比的原则：
- 多级减速时，高速级取较小速比、低速级取较大速比（使各级尺寸协调、浸油润滑深度合理）；
- 扭矩决定尺寸（承第六页）：低速级扭矩最大，因此尺寸最大——这是减速箱"一头大一头小"的原因。
齿轮传动的噪声与振动：啮合频率 = 齿数 × 转速（承第七页那张表）。齿轮制造误差、齿距偏差、装配偏心会在啮合频率周围产生边带——频谱上的边带间距对应故障轴的转速，这是齿轮箱故障诊断的关键判据。
修形：为补偿受载变形与制造误差，高端齿轮会做齿廓修形与齿向修鼓——让齿在受载后才成为理想形状。这是"故意做不准，以便受载后正好准"的精妙做法，在风电齿轮箱、汽车变速箱中是标准工艺。
七、要点
- 齿廓啮合基本定律要求公法线过节点；渐开线胜出的关键是中心距可变仍恒传动比 + 可用直刃刀具范成加工；
- 标准全齿高、无变位直齿轮的横向重合度 \(\varepsilon_\alpha\ge1\) 是至少一对齿接触的理想几何边界，工程上通常要求 \(>1\) 留余量，斜齿轮还要计入轴向重合度；
- 变位是避免根切、配凑中心距、平衡强度的有力工具；
- 弯曲疲劳靠增大模数、接触疲劳靠增大直径或表面硬化——两种失效必须分别校核；
- 行星轮系靠功率分流实现紧凑大扭矩，代价是均载与精度要求；
- 啮合频率及其边带是齿轮箱诊断的核心特征。
下一页：轴系与轴承——机器的关节。以及一个常被低估的学科：摩擦学。机械系统的能量损失与失效，很大一部分发生在两个表面接触的地方。