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动力 I · 刚体动力学与转动惯量

层次：本科核心 ｜ 与物理站的分工：🔗 物理站从拉格朗日/哈密顿的角度讲力学（变分原理、相空间、守恒律）；本课讲工程动力学——机器的惯量分配、平衡、动反力，以及它们如何决定机器能转多快。 物理关心"运动的规律"，机械关心"这台机器转起来会不会抖、轴承受多大力、要多大电机"。

一、转动惯量：机械动力学的中心量

\[I = \int r^2\,dm\]

平行轴定理：\(I = I_c + md^2\)（\(d\) 是到质心轴的距离）。

常用值（要有直觉）：

形状 绕质心轴
细杆（绕中点，长 \(L\)） \(mL^2/12\)
实心圆盘/圆柱 \(mR^2/2\)
薄壁圆环/圆筒 \(mR^2\)
实心球 \(2mR^2/5\)

注意圆环与实心盘差一倍：同样质量下，质量分布在外缘的转动惯量最大。

这个事实的两面性（机械设计中反复出现的权衡）：

伺服系统的关键指标是惯量比（负载惯量 / 电机惯量）。惯量比过大，系统响应迟钝、易振荡、难以整定——🔗 这直接连到自动化站第十二页的伺服调试。一个机械设计的选择（把质量放哪里），会变成控制工程师的噩梦或福音。

二、刚体动力学方程

平面运动：

\[\sum \vec{F} = m\vec{a}_c, \qquad \sum M_c = I_c \alpha\]

三维一般运动（欧拉方程，绕主轴）：

\[M_1 = I_1\dot\omega_1 + (I_3-I_2)\omega_2\omega_3, \quad \text{（及其轮换）}\]

耦合项 \((I_3-I_2)\omega_2\omega_3\) 是三维转动一切怪异现象的来源：陀螺进动、网球拍定理（绕中间主轴旋转不稳定）、以及高速转子的陀螺效应（第九页会用到）。

达朗贝尔原理（工程上极实用）：引入惯性力 \(-m\vec a\) 后，动力学问题变成形式上的静力学问题——可以直接画受力图、写平衡方程。这是分析加速运动构件（连杆、活塞、离心机）时的标准手法。

三、平衡：不平衡的代价

旋转机械的不平衡是最常见的振动源。 一个偏心质量 \(m\) 在半径 \(e\) 处以 \(\omega\) 旋转，产生离心力：

\[F = m e \omega^2\]

关键在 \(\omega^2\)：转速加倍，不平衡力增大四倍。这就是为什么低速时毫无问题的转子，升速后会剧烈振动——高速旋转机械对平衡的要求呈平方级严苛化。

两类平衡：

工程实践：动平衡在两个校正平面上加/减配重完成，用动平衡机测量。平衡等级（如 ISO 的 G 级）按"许用偏心 × 转速"分级——转速越高，允许的残余不平衡越小。

往复机械的平衡更难：活塞的往复惯性力含一阶（\(\omega\)）与二阶（\(2\omega\)）分量。二阶力无法用简单配重完全平衡，需要平衡轴（以 \(2\omega\) 反向旋转）。这就是四缸发动机常配平衡轴、而直列六缸天生平衡性好的原因——后者的一、二阶惯性力与力偶因气缸排列而自然抵消。发动机的"平顺性"很大程度上是刚体动力学的直接结果。

四、功率、扭矩与转速

\[P = T\omega\]

这个简单公式支配了整个传动系统的设计逻辑：

推论：电机应尽量高速小扭矩，再用减速器换取扭矩。这样电机可以做得小而轻。这正是机器人关节、电动车驱动系统普遍采用高速电机 + 减速器的原因（直驱方案需要巨大的电机）。

代价：减速器带来回差（间隙）、摩擦、效率损失、以及额外的惯量与柔性——🔗 又一次成为自动化站的控制难题（第十九页的机器人关节柔性）。

五、转动的能量与冲击

动能：\(T = \frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c\omega^2\)（平动 + 转动）。

飞轮储能：\(E = \frac{1}{2}I\omega^2\)。注意 \(\omega^2\)——提高转速比增加惯量有效得多。现代储能飞轮因此采用高强度复合材料转子在真空中高速旋转，其极限由材料的比强度（\(\sigma/\rho\)）决定，而非尺寸。

转动惯量对冲击的影响：大惯量意味着转速变化慢——发动机飞轮正是靠这个把断续的做功冲程"抹平"成近似连续的输出。

六、要点

下一页：让结构振起来。单自由度振动虽然简单，却包含了共振、阻尼、隔振的全部核心思想——而它们是机械现场问题的主要来源。