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力学 II · 应力、应变与材料行为

层次：本科核心。 上一页算的是"力有多大"，本页问"材料受得住吗"。答案需要两步：把力转成应力（单位面积上的力），把变形转成应变（单位长度的变形），再用材料的本构关系把两者连起来。这三个概念是全部固体力学的语言。

学习层：把一次拉伸试验拆成可追溯的应变账本

具体工程情境：校准一根拉杆的材料窗口

质量部门拿到一根初始标距 \(L_0=50\,\mathrm{mm}\)、初始面积 \(A_0=25\,\mathrm{mm^2}\) 的钢制拉伸试样。试验机记录力 \(F\) 和标距伸长；设计工程师要从同一组数据给出初始弹性模量 \(E\)、0.2% 条件屈服强度，以及均匀颈缩开始前的材料窗口。这个任务最容易被一句不加限定的“工程应力换真应力”带偏：均匀变形时可以换算，扩散颈缩之后截面已经不再处处相同。

必须提交的预测

  1. 在 \(e=10\%\) 的均匀拉伸段，真应变 \(\varepsilon=\ln(1+e)\) 与工程应变谁更大？
  2. 0.2% 偏移线应写成 \(\sigma=E(e-0.002)\)，还是 \(\sigma=Ee+0.002\)？
  3. 均匀拉伸何时到达 Considere 条件 \(d\sigma/d\varepsilon=\sigma\)？到达后还能把整根试样当作同一瞬时截面积吗？

正式公式桥：单位、转换与两个判据

工程量以初始几何量归一化：

\[ e=\frac{L-L_0}{L_0},\qquad s=\frac{F}{A_0}. \]

若标距段仍是均匀变形，并近似塑性不可压缩，则 \(AL\approx A_0L_0\)，从而

\[ \varepsilon=\ln(1+e),\qquad \frac{A}{A_0}=\frac{1}{1+e},\qquad \sigma=s(1+e). \]

\(E\) 是弹性段的斜率（\(\sigma\) 用 Pa 或 MPa 时，\(E\) 必须用同一应力单位）；0.2% 条件屈服点由试验曲线与

\[ \sigma_{0.2}=E(e-0.002),\qquad e\ge0.002 \]

的交点定义。实验台用一个有界的分段真应力玩具本构展示这套映射：弹性段取 \(\sigma=E\varepsilon\)，屈服后取 \(\sigma=\sigma_y+H(\varepsilon-\varepsilon_y)^n\)。在均匀段，Considere 条件 \(d\sigma/d\varepsilon=\sigma\) 给出扩散颈缩的起点；它是“最大工程应力”与几何失稳相遇的判据，不是材料在颈缩后突然没有承载力。

误区与模型边界

  • \(s(1+e)\) 不是颈缩后任意一点的精确真应力。它依赖均匀截面与体积近似，最多把全局工程曲线可靠地映射到扩散颈缩开始；之后应使用颈部局部面积测量、数字图像相关或带几何更新的有限元。
  • “颈缩后真应力仍上升”只能在知道颈部瞬时局部面积并给出测量/本构条件时成立；不能用均匀公式把断裂前整段曲线直接当作精确真曲线。
  • 0.2% 是条件定义，不等于材料发生一个尖锐、唯一的物理相变；加载速率、温度、试样几何和数据平滑都会影响读数。
  • 本实验的 \(H,n\) 只是有界玩具本构，用来练习账本与 Considere 判据；它不是某个牌号的材料认证，也不描述损伤、剪切唇和断裂。

对应 lab 的静态 fallback

无 JavaScript 时仍可核对：默认玩具参数为 \(E=210\,\mathrm{GPa}\)、\(\sigma_y=250\,\mathrm{MPa}\)、\(H=900\,\mathrm{MPa}\)、\(n=0.35\)，所选工程应变 \(e=0.080\)。单位换算使用 \(1\,\mathrm{MPa}=1\,\mathrm{N/mm^2}\)。

账本项 含义 默认读数
\(\varepsilon=\ln(1+e)\) 均匀段真应变 \(0.076961\)
\(A/A_0=1/(1+e)\) 均匀体积假设下的面积比 \(0.925926\)
\(s\) 工程应力 \(569.27\,\mathrm{MPa}\)
\(\sigma=s(1+e)\) 均匀段玩具真应力 \(614.81\,\mathrm{MPa}\)
\(E\) 初始斜率 \(210\,\mathrm{GPa}\)
\(\sigma_{0.2}\) \(e=0.003712\) 的偏移交点 \(359.43\,\mathrm{MPa}\)
Considere \(d\sigma/d\varepsilon=\sigma\) \(e\approx0.272902\) 开始扩散颈缩
选定状态 \(e=0.080\) 是否仍均匀 是，均匀换算有效

页面会明确标出扩散颈缩之后的虚线段只是有界玩具外推；它不把均匀面积换算冒充断裂前的精确局部真应力。

迁移问题

如果试样中段已经颈缩，而你只能拿到载荷与夹具位移，怎样设计额外测量才能把“名义曲线”变成可用于断裂分析的局部真应力曲线？请列出至少一个几何测量和一个模型假设，并说明各自的失效边界。

一、应力：为什么需要它

同样 1000 N 的拉力，作用在 \(\phi\)1 mm 的丝上会拉断，作用在 \(\phi\)50 mm 的杆上毫无影响。决定材料命运的不是力，是应力：

\[\sigma = \frac{F}{A} \quad (\text{正应力}), \qquad \tau = \frac{F}{A} \quad (\text{切应力})\]

单位：Pa = N/m²，工程上常用 MPa = N/mm²（这个换算很方便：牛顿除以平方毫米直接得 MPa）。

应力是张量，不是矢量。一点的应力状态需要 6 个独立分量（三维）描述：

\[\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix}\]

为什么必须是张量：同一点上，不同方向的截面承受的应力不同。所以"这一点的应力是多少"这个问题不完整——必须问"哪个方向的截面上"。

二、主应力与 Mohr 圆

既然应力随截面方向变化，自然要问：哪个方向最危险？

主应力：存在三个互相垂直的方向，其截面上只有正应力、没有切应力。这些正应力 \(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3\) 就是主应力——它们是应力张量的特征值（🔗 数学站线性代数：这就是实对称矩阵的谱分解，主方向即特征向量）。

最大切应力出现在与主方向成 45° 的面上：

\[\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}\]

Mohr 圆把这一切画成一个圆——它是应力状态变换的几何表示，至今是工程师快速判断的利器。

一个直接的实验印证：拉伸低碳钢试样时，滑移带（吕德斯带）出现在与轴线成 45° 的方向，正是最大切应力面。这说明塑性变形由切应力驱动——这个观察直接引出下面的屈服准则。

三、应变与本构关系

应变度量变形：

\[\varepsilon = \frac{\Delta L}{L} \quad(\text{正应变}), \qquad \gamma = \text{角度改变} \quad(\text{切应变})\]

胡克定律（线弹性、各向同性）：

\[\sigma = E\varepsilon, \qquad \tau = G\gamma, \qquad \nu = -\frac{\varepsilon_{\text{横向}}}{\varepsilon_{\text{轴向}}}\]

三个常数只有两个独立：

\[G = \frac{E}{2(1+\nu)}\]

典型值（要有量级感）：

材料 \(E\) (GPa) \(\nu\) 密度 (g/cm³)
钢 ~210 0.30 7.85
铝合金 ~70 0.33 2.70
钛合金 ~110 0.34 4.5
铸铁 100–170 0.25 7.2
工程塑料 1–4 ~0.4 ~1.2
碳纤维复合（纵向） 100–200 — ~1.6

一个极重要的工程事实：钢与铝的比刚度（\(E/\rho\)）几乎相同（约 27 vs 26 GPa·cm³/g）。所以用铝替代钢并不能在同等重量下获得更高刚度——铝的优势在于同等强度下更轻、以及成形与耐蚀性。"换轻材料就能减重"是一个需要具体分析的直觉，取决于设计受强度控制还是受刚度控制。

泊松比的含义：拉伸时横向收缩。\(\nu=0.5\) 意味着体积不变（橡胶接近）；金属约 0.3。存在 \(\nu<0\) 的超构材料（拉伸时横向也膨胀），是第二十二页的话题。

四、拉伸曲线：材料的身份证

典型金属的应力-应变曲线

图 2-1 典型工程应力—应变曲线。延性金属（如低碳钢，蓝）经历弹性段 → 屈服 → 强化 → 颈缩 → 断裂，断后延伸率大；脆性材料（如铸铁，红）几乎无塑性段即断裂。曲线下的面积代表韧性（单位体积吸收的能量）——延性材料远高于脆性材料，这正是它在冲击与超载下更安全的原因。虚线为 0.2% 残余应变法确定的条件屈服强度 \(\sigma_{0.2}\)。

关键点：

工程应力 vs 真应力：工程应力用原始截面积，真应力用瞬时局部截面积。在扩散颈缩前，可用均匀变形/体积近似由 \(\sigma=s(1+e)\) 换算；颈缩后截面不均匀，这个全局公式不再是精确真曲线。若要说颈部真应力仍上升，必须有局部面积测量或几何更新模型支撑。这个区别在成形工艺分析中至关重要（第十七页）。

五、屈服准则：什么时候开始塑性变形

单向拉伸时判据很简单（\(\sigma > \sigma_s\)）。但复杂应力状态下呢？ 需要把多维应力状态折算成一个等效值。

von Mises 准则（畸变能理论）——延性金属的标准判据：

\[\sigma_{eq} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]} < \sigma_s\]

物理含义：屈服由畸变能（改变形状的能量）控制，而非体积改变能。

一个有力的实验证据：静水压力（三向等压）下金属几乎不屈服——深海压力可以极大，材料却只是被均匀压缩。因为静水压力只改变体积、不改变形状，\(\sigma_{eq}=0\)。这直接支持了畸变能理论。

Tresca 准则（最大切应力）：\(\tau_{\max} = (\sigma_1-\sigma_3)/2 < \sigma_s/2\)。比 von Mises 略保守，形式简单，某些规范采用。

脆性材料用不同准则：铸铁、陶瓷、玻璃的失效由最大拉应力主导，因为它们的破坏机制是裂纹扩展而非滑移。所以脆性材料抗压远强于抗拉（铸铁抗压强度可达抗拉的 3–4 倍）——这就是为什么它常用于受压件（机床床身、发动机缸体）。

"先判断材料是延性还是脆性，再选准则"——用错准则的后果可能是灾难性的。

六、其他材料行为

七、要点

下一页：把应力分析用到最常见的两种受载形式——弯曲与扭转。你会看到一个反复出现的主题：材料的效率，取决于它离中性轴有多远。