本页目录

动力 III · 多自由度与模态分析

层次：本科核心 + 业界日常工具 ｜ 🔗 前置：线性代数特征值问题（数学站）。 真实结构有无穷多自由度。模态分析的思想极其漂亮：把复杂的耦合振动分解成一组互不干扰的单自由度振动——于是上一页的全部直觉都能直接复用。这是振动分析的核心工具，也是有限元动力学计算的标准输出。

学习层：两块质量、三根弹簧与一组可核对的模态

具体工程情境：输送机框架上的双质量振动

把电机转子和传送带附件先约化成两个平动质量 \(m_1,m_2\)，三根等效弹簧分别连接地面—质量 1、质量 1—质量 2、质量 2—地面。启动时质量 1 被初始位移，工程师想知道哪一阶模态被激起、地基的统一基座加速度能参与哪些模态，以及两个接近的频率是否会产生拍振。

必须提交的预测

  1. 对称质量和对称端弹簧下，统一基座加速度会不会激起反对称模态？
  2. 若两阶频率很接近，初始位移同时投影到两阶时，响应包络会变慢还是变快？
  3. 把未经质量归一化的特征向量直接当成模态坐标，能否保证 \(\phi_i^T M\phi_j=\delta_{ij}\)？

正式公式桥：广义特征值、参与系数与时间响应

\[ M=\begin{bmatrix}m_1&0\\0&m_2\end{bmatrix},\qquad K=\begin{bmatrix}k_1+k_2&-k_2\\-k_2&k_2+k_3\end{bmatrix},\qquad K\phi_i=\omega_i^2M\phi_i. \]

实验台先对 \(M^{-1/2}KM^{-1/2}\) 做精确的 \(2\times2\) 对称特征分解，再变回物理坐标并施加 \(\phi_i^TM\phi_j=\delta_{ij}\)。对统一基座加速度影响向量 \(r=[1,1]^T\)，质量归一化后的参与系数和有效质量为

\[ \Gamma_i=\phi_i^TMr,\qquad m_{eff,i}=\Gamma_i^2. \]

无阻尼、无外力且给定 \(x_0,v_0\) 时

\[ q_i(0)=\phi_i^TMx_0,\quad \dot q_i(0)=\phi_i^TMv_0,\quad x(t)=\sum_i\phi_i\left[q_i(0)\cos\omega_it+\frac{\dot q_i(0)}{\omega_i}\sin\omega_it\right]. \]

这里的“精确”指二自由度、线性、无阻尼自由响应的矩阵解。若两阶简并或近简并，单个振型的方向可能随数值扰动旋转，简并子空间和投影响应才是稳定对象；实验台会标出频率间隔并用确定性正交基处理退化边界。

误区与模型边界

  • 模态叠加需要线性 \(M,K\)、固定边界和可解耦的阻尼假设。局部摩擦、间隙、强非线性或非比例阻尼会破坏“两个独立 SDOF”的简单说法。
  • 对称系统的统一基座激励可能让反对称模态的 \(\Gamma_i=0\)，但一个只作用在质量 1 的点力或不对称初始条件仍可激起它；“看不见”不等于“模态不存在”。
  • 模态向量的符号任意，质量归一化的尺度不任意；参与系数、初始投影和有效质量都必须与同一个归一化约定配套。
  • 近简并时不要只比较某个特征向量的分量；应比较频率簇的投影、子空间残差或响应重构误差。

对应 lab 的静态 fallback

无 JavaScript 时仍可核对：默认 \(m_1=m_2=1.5\,\mathrm{kg}\)、\(k_1=k_3=1800\,\mathrm{N/m}\)、\(k_2=400\,\mathrm{N/m}\)，初始位移 \(x_0=[12,0]\,\mathrm{mm}\)，统一基座影响向量 \(r=[1,1]^T\)。

账本项 默认读数 单位或判定
\(\omega_1^2,\omega_2^2\) \(1200,\ 1733.33\) s\(^{-2}\)
\(\omega_1,\omega_2\) \(34.641,\ 41.633\) rad/s
质量归一化 \(\phi_1\) \([0.5774,\ 0.5774]^T\) 对称模态
质量归一化 \(\phi_2\) \([0.5774,-0.5774]^T\) 反对称模态
\(\Gamma_1,\Gamma_2\) \(1.732,\ 0\) 统一基座加速度
\(\phi_i^TM\phi_j\) \(I_2\) 质量正交
当前时间 \(t=0.100\) s
时间响应 \(x(0.100)=[-8.822,-2.559]\) mm；\(x(t)=\Phi q(t)\)

两块质量的位移图、两阶模态箭头和时间响应同时更新；把 \(k_2\) 调小可把频率间隔压窄，观察拍振与近简并提示。

迁移问题

如果实测连接摩擦使阻尼矩阵明显非比例，你会保留这组无阻尼实模态作初筛，还是直接使用复模态/状态空间模型？请说明选择依据，以及如何用残差或 FRF 验证模态截断没有漏掉工作频段。

一、多自由度系统与特征值问题

\[\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{x}} + \mathbf{K}\mathbf{x} = \mathbf{F}(t)\]

无阻尼自由振动 \(\mathbf{x} = \boldsymbol{\phi}e^{i\omega t}\) 代入，得广义特征值问题：

\[\left(\mathbf{K} - \omega^2\mathbf{M}\right)\boldsymbol{\phi} = 0\]

\(n\) 个自由度给出 \(n\) 阶模态。

二、模态的正交性：为什么可以解耦

关键性质：不同模态关于质量矩阵与刚度矩阵正交：

\[\boldsymbol{\phi}_i^T\mathbf{M}\boldsymbol{\phi}_j = 0, \qquad \boldsymbol{\phi}_i^T\mathbf{K}\boldsymbol{\phi}_j = 0 \quad (i\neq j)\]

后果（这是模态分析的全部威力所在）：用模态坐标 \(\mathbf{x} = \sum q_i\boldsymbol{\phi}_i\) 展开，方程组解耦为 \(n\) 个独立的单自由度方程：

\[\ddot{q}_i + 2\zeta_i\omega_i\dot{q}_i + \omega_i^2 q_i = f_i(t)\]

于是上一页关于共振、阻尼、频段的一切直觉，逐模态适用。 复杂系统的振动被理解为"若干个独立单自由度系统的叠加"。

注意阻尼的前提：只有比例阻尼（\(\mathbf{C}=\alpha\mathbf{M}+\beta\mathbf{K}\)，即瑞利阻尼）才能被同一组模态解耦。真实结构的阻尼往往不是比例的（局部阻尼器、连接摩擦），此时需要复模态分析。工程上常直接假设比例阻尼并给各阶模态指定实测阻尼比——这是一个务实但需要意识到的近似。

三、模态的工程意义

① 在给定激励、测点与工作频段内，常只有少数模态重要。 高频模态可能因输入频谱和参与系数很小而贡献有限，但局部冲击、宽带激励或靠近高阶共振时不能默认忽略。工程上常在验证截断误差后只保留前若干相关模态（模态截断），把上万自由度的模型降到几十个模态——这使得动力学仿真可行，也是 🔗 自动化站第七页"平衡截断降阶"的力学版本。

② 振型决定"哪里该加固"。 若某阶模态的振型在某处位移大，则：

若增加的是对地平动弹簧，把它放在该阶的位移节点附近通常一阶效果很小；但一般结构加筋取决于模态应变能，位移为零处仍可能有很大曲率或转角，不能把“节点”泛化成“任何加固都无效”。必须同时看位移振型与应变能，再决定加哪里。

③ 振型决定"哪里该测量"。 传感器放在节点上会测不到该阶模态。这与 🔗 自动化站第七页的"能观性"是同一个概念——传感器位置决定了哪些模态可观测。

四、实验模态分析：业界的标准手段

理论计算需要模型，实验模态分析（EMA）直接从实测得到模态参数：

流程：

  1. 激励：力锤敲击（快速、适合现场）或激振器（可控、适合精细测量）；
  2. 测量：加速度计或激光测振仪采集响应；
  3. 计算频响函数（FRF） \(H(\omega) = X(\omega)/F(\omega)\)；
  4. 参数识别：从 FRF 的峰值提取固有频率、阻尼比、振型。

它的用途：

一个实践要点：有限元算出的固有频率往往偏高，因为模型中的连接（螺栓、焊缝、导轨）通常被建得过于刚硬，而真实连接有柔性与间隙。"计算频率比实测高 10–30%"是常见现象，模型修正的主要工作就是调这些连接刚度。

五、连续体的振动

杆、梁、板、壳有无穷多自由度。经典解给出解析的频率与振型。

梁的横向振动（欧拉-伯努利）：

\[EI\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + \rho A\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega_n = \beta_n^2\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}\]

注意频率与刚度的平方根、与长度的平方成反比（\(\beta_n \propto 1/L\)，故 \(\omega \propto 1/L^2\)）。长度加倍，固有频率降为 1/4——细长件极易低频共振，这是长轴、悬臂刀具、机械臂的通病。

振动的"频率上限"直觉：结构越轻越刚，固有频率越高。这就是为什么高速机床追求"轻质高刚"——它要把结构的第一阶固有频率推到工作转速的谐波之上（第九页、第十八页）。

六、模态在设计中的用法

避开共振是首要目标。标准做法：

  1. 计算/实测结构的前几阶固有频率；
  2. 列出所有激励频率（转速及其谐波、齿轮啮合频率、叶片通过频率——第七页那张表）；
  3. 画坎贝尔图（Campbell diagram）：横轴转速、纵轴频率，画出各阶固有频率线与各激励谐波线（斜线），交点即为潜在共振转速；
  4. 通过改刚度/质量，把共振点移出工作转速范围；移不出去的，要么快速通过（不长时间停留），要么加阻尼。

坎贝尔图是旋转机械设计的核心工具（下一页的转子动力学会正式用到）。

七、要点

下一页：把振动理论用到旋转机械上。转子动力学有一些反直觉的现象——比如转速超过临界转速后，转子反而会"自动对中"。