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力学 V · 能量法与弹性力学入门

层次：本科核心 + 研究生入口｜ 这一页把前四页统一起来，并搭起通往有限元的桥。前面用的是"针对每种载荷推一个公式"的方法。能量法换一个视角：从系统的应变能出发，一举得到变形、超静定解、以及冲击响应。更重要的是——它是有限元法的理论基础（第二十一页）。

一、应变能

弹性体变形时储存的能量。对线弹性材料，单位体积应变能：

\[u = \frac{1}{2}\sigma\varepsilon = \frac{\sigma^2}{2E}\]

各种基本变形的总应变能：

\[U_{\text{拉压}} = \frac{N^2 L}{2EA}, \qquad U_{\text{弯曲}} = \int\frac{M^2}{2EI}dx, \qquad U_{\text{扭转}} = \int\frac{T^2}{2GI_p}dx\]

共同形式：\(U = \dfrac{(\text{内力})^2 \times \text{长度}}{2 \times \text{刚度}}\)。记住这个模式，各种情形都能类推。

二、卡氏定理：求变形的利器

Castigliano 第二定理：

\[\delta_i = \frac{\partial U}{\partial F_i}\]

应变能对某个力求偏导，等于该力作用点沿该力方向的位移。

为什么好用：

不必解微分方程，只需积分再求导；
特别适合复杂结构（曲杆、刚架、桁架）与组合变形；
想求某处没有外力作用的位移？加一个虚设力 \(F_0\)，求导后令 \(F_0=0\) 即可。这个技巧极其实用。

单位载荷法（莫尔积分）是它的等价形式，土木与机械都常用：

\[\delta = \int \frac{M \bar{M}}{EI}dx\]

\(\bar{M}\) 是单位虚载荷引起的弯矩。

三、超静定问题的统一解法

第一页说超静定需要"平衡 + 变形协调 + 本构"三条腿。能量法把它变成一个标准流程：

力法（柔度法）：

解除多余约束，代之以未知力 \(X_1, X_2, \dots\)，得到静定基本系统；
写出总应变能 \(U(X_i)\)；
用变形协调条件——被解除处的位移为零：

\[\frac{\partial U}{\partial X_i} = 0\]

解出 \(X_i\)。

这是一个漂亮的转化：把"几何协调"变成了"能量对多余未知力取极值"。

最小势能原理是它的一般化：真实的位移场使系统总势能取最小值。

\[\Pi = U - W_{\text{外力功}} \to \min\]

这就是有限元法的出发点（第二十一页）：把位移场用有限个节点参数近似，让总势能对这些参数取极小，就得到刚度方程 \(\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{F}\)。从这个意义上说，有限元法是能量法的数值化。

四、冲击与动载

能量法处理冲击特别方便：假设冲击过程中动能全部转为应变能（保守估计）。

对重物 \(W\) 从高度 \(h\) 落下冲击弹性体：

\[K_d = 1 + \sqrt{1 + \frac{2h}{\delta_{st}}}\]

\(K_d\) 是动荷系数，\(\delta_{st}\) 是静态挠度。动应力 \(= K_d \times\) 静应力。

两个极其重要的推论：

① 突加载荷（\(h=0\)）时 \(K_d = 2\)——突然放上的载荷产生的应力，是缓慢放置的两倍。这个"2 倍"必须记住。

② 结构越"软"（\(\delta_{st}\) 越大），动荷系数越小。

第二条反直觉但极其重要：要抵抗冲击，应该让结构更柔而非更刚。因为柔性结构变形大、能吸收更多能量、峰值力更低。

工程上到处是这个原理的应用：

汽车的溃缩吸能区（故意做软）；
弹簧垫圈、缓冲器、橡胶减震块；
登山绳必须有弹性（静力绳用于冲坠会伤人）；
长螺栓比短螺栓更耐冲击（同样变形量下应变能更大）——这是高强度螺栓连接设计中的一个要点。

"刚"未必安全——这是与"强度越高越好"同类的直觉误区。

五、弹性力学入门

材料力学靠假设（平截面假定、单向应力等）简化问题；弹性力学则从一般的三维方程出发：

三组方程（正是第一页"三条腿"的严格形式）：

\[\underbrace{\sigma_{ij,j} + f_i = 0}_{\text{平衡}}, \qquad \underbrace{\varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})}_{\text{几何}}, \qquad \underbrace{\sigma_{ij}=\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij}}_{\text{本构}}\]

15 个未知量（6 应力 + 6 应变 + 3 位移）、15 个方程，加上边界条件构成完整的边值问题。

解析解极少（只有少数经典问题有：厚壁筒、圣维南扭转、孔边应力集中、赫兹接触），所以工程上主要靠数值解——这正是有限元存在的理由。

两个必须知道的经典结果：

① 圣维南原理：远离载荷作用区，应力分布与载荷的具体分布方式无关，只与其合力合力矩有关。

这个原理的实用价值极大：它使我们能用简化的载荷模型分析远场，也告诉我们局部细节只影响局部。"离作用点约一个特征尺寸之外，细节就不重要了" 是极有用的工程判断。

② 赫兹接触：两个弹性体接触时，接触区应力分布与压力、曲率、弹性常数的关系。最大切应力出现在表面以下约 0.5 倍接触半宽处——这解释了滚动轴承的疲劳剥落为什么起源于次表面（第十二页），而非表面。

六、要点

应变能的统一形式：\((\text{内力})^2 L/(2\times\text{刚度})\)；
卡氏定理用求导代替解方程，虚设力技巧可求任意点位移；
能量法把超静定的几何协调转为能量极值；最小势能原理是有限元的出发点；
突加载荷动荷系数 = 2；结构越柔越耐冲击——溃缩吸能、长螺栓、弹性绳都基于此；
圣维南原理：局部细节只影响局部；赫兹接触的最大切应力在次表面，解释轴承的疲劳起源。

线一结束：从力到应力、到变形、到失稳、到能量。下一线让结构动起来——动力学与振动，机械工程中最常见的现场问题来源。