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力学 I · 静力学与受力分析
层次：本科核心——这是机械工程师的第一副眼镜。 静力学的方程只有两条（力平衡、力矩平衡），初看简单到不值一讲。但真正的技能不在解方程，而在正确地画出受力图——判断哪些力存在、约束提供什么、力从哪里流向哪里。这一步错了，后面所有精确计算都是精确的错误。
学习层：先签名，再让反力通过三本账
具体工程情境：仓储车的简支叉臂
把一根 \(L=4.0\,\mathrm{m}\) 的叉臂看成平面内的简支梁：左端销轴 A 能提供 \(A_x,A_y\)，右端滚轮 B 只提供竖直接触力 \(B_y\)。叉臂上的货物给出向下的 \(P\)，侧向导向件给出向右的 \(H\)；载荷作用点距 A 为 \(a\)。这不是“把一个力平均分给两个支座”的问题：载荷位置决定力矩账，滚轮接触还带有只能推、不能拉的物理不等式。
必须提交的预测
在打开实验台前，先判断：
- \(P>0\) 向下时，把货物从 A 向 B 移动，\(B_y\) 会增大还是减小？
- 如果计算得到 \(B_y<0\)，能否仍把它当成滚轮的“负反力”？
- 用 \(+x\) 向右、\(+y\) 向上、逆时针为 \(+M_A\) 时，哪个残差应等于 \(B_yL-Pa\)？
正式公式桥：一个自由体、三条可审计的平衡式
约定 \(P>0\) 表示向下、\(H>0\) 表示向右，支座反力的正方向为右和上。把整根叉臂隔离出来：
因此
实验台同时把三本账显示出来：力残差 \(R_x=A_x+H\)、\(R_y=A_y+B_y-P\) 与 A 点矩残差 \(R_M=B_yL-Pa\)。精确解的残差在浮点数容差内为零；残差为零不等于支撑假设物理有效，还要检查 \(0\le a/L\le1\) 与单侧滚轮的接触条件 \(B_y\ge0\)。
误区与模型边界
- \(B_y<0\) 意味着滚轮要“拉住”叉臂；普通滚轮不能提供这种力，实际会失去接触，必须重新画接触状态的 FBD，或加入压板/拉杆等能受拉构件。代数解仍可能有零残差，但不再是原支撑模型的物理解。
- \(a/L\) 超出 \([0,1]\) 时，公式只是把点载荷外推到简支跨外；若真有悬臂或外伸段，载荷边界和未知反力都要重新建模。
- 销轴不提供纯力矩，滚轮不提供切向力；把它们画成固定端会凭空增加未知量。
- 圆孔的 \(K_t\approx3\) 是无限宽板、远离边界的圆孔、线弹性名义应力这一理想化结果；有限宽度、孔边距、载荷方式和圆角都会改变它。尖锐内角的“趋于无穷”是线弹性连续体模型的应力奇异性，真实材料的塑性、有限圆角和制造尺度会截断它，不能把无穷值直接当作实测应力。
对应 lab 的静态 fallback
无 JavaScript 时仍可核对：默认取 \(L=4.0\,\mathrm{m}\)、\(a/L=0.35\)、\(P=12.0\,\mathrm{kN}\)（向下）、\(H=2.0\,\mathrm{kN}\)（向右）。
| 账本项 | 公式/默认读数 | 单位或判定 |
|---|---|---|
| 载荷位置 \(a\) | \(0.35L=1.40\) | m |
| \(A_x\) | \(-H=-2.00\) | kN，向左 |
| \(A_y\) | \(P(1-a/L)=7.80\) | kN，向上 |
| \(B_y\) | \(Pa/L=4.20\) | kN，向上 |
| \(R_x,R_y,R_M\) | \(0,\ 0,\ 0\) | kN、kN、kN·m |
| 接触检查 | \(B_y=4.20\ge0\) | 滚轮仍接触 |
图中的箭头遵守同一符号约定；把 \(P\) 改成负值可观察“向上载荷导致滚轮抬离”的边界，把 \(a/L\) 移出 \([0,1]\) 可观察模型失效提示。
迁移问题
一台带压板的夹具允许 B 点提供拉力。此时 \(B_y<0\) 是否仍然意味着“方程错了”？请说明支撑类型改变后，哪一个不等式约束被移除了，以及为什么残差账本仍然必须保留。
一、平衡方程
刚体静力平衡：
三维给出 6 个方程，二维给出 3 个（\(\sum F_x\)、\(\sum F_y\)、\(\sum M_z\)）。
核心技能是隔离体图（free-body diagram, FBD）：把研究对象从周围环境中"切"出来，用力代替所有被切断的联系。
画 FBD 的纪律（这是最容易出错的地方）：
- 明确切出的是谁——边界在哪里；
- 画上所有外力：重力、外载、以及每个约束提供的反力；
- 约束提供什么力，取决于它限制什么运动——这是判断反力的唯一依据；
- 不要漏掉、也不要凭空添加。
二、约束与反力：一一对应
约束限制什么方向的运动，就在那个方向提供反力。这个对应关系必须成为条件反射：
| 约束 | 限制 | 提供的反力 |
|---|---|---|
| 光滑接触面 | 法向平动 | 1 个法向力 |
| 铰链（销轴） | 两个方向平动 | 2 个分力（无力矩） |
| 固定端 | 平动 + 转动 | 2 个分力 + 1 个力矩 |
| 滚动支座 | 1 个方向平动 | 1 个力 |
| 绳索 | 沿绳拉伸 | 只能受拉 |
铰链不传力矩、固定端传力矩——这个区别决定了整个结构的内力分布，也是后面梁分析的起点。
三、静定与超静定
静定：未知反力数 = 独立平衡方程数 → 仅凭平衡方程即可求解。
超静定（静不定）：未知数多于方程 → 平衡方程不够用。
这是一个关键的概念分水岭：超静定结构的内力分布取决于各部分的刚度——刚的地方分担更多载荷。要解它，必须补充变形协调条件（几何上各部分变形必须相容）与材料本构关系（应力应变关系）。
这三条腿构成了本线的全部框架（第五页会正式给出）。有限元法（第二十一页）本质上就是让计算机自动完成这三件事。
工程含义（不只是数学分类）：
- 超静定结构有冗余传力路径，一处失效不一定整体垮塌——这是安全设计的重要手段（🔗 自动化站功能安全的冗余思想）；
- 但超静定结构对装配误差与温度变化敏感：强行装配会产生装配应力，温升受阻会产生热应力。静定结构则不会——它可以自由变形。
- 所以"要不要超静定"是设计决策：要冗余还是要免于附加应力。
四、桁架与力流
桁架分析（节点法、截面法）是训练"看力流"的最好练习。理想桁架的杆件只受拉压、不受弯——因为节点是铰接的（不传力矩）。
为什么这重要：受拉压的杆件，材料全截面均匀受力，效率最高；而受弯的梁，中性轴附近的材料几乎不出力（第三页会看到）。所以在同等重量下，桁架比实心梁能跨越更大跨度——桥梁、起重机臂、屋架都用桁架，正是这个道理。
"让材料受拉压而非受弯"是结构效率的第一原则。
五、摩擦
摩擦是机械中无处不在的非线性（🔗 自动化站第十五页把它当作控制的敌人；这里它常常是朋友）。
库仑摩擦模型：
注意静摩擦是不等式——它的值由平衡条件决定，只有上限，不是定值。这是初学者最常犯的错误：把静摩擦直接当作 \(\mu_s N\) 来算。
自锁：当驱动角小于摩擦角时，无论施加多大的驱动力，机构都不会反向滑动。螺纹、蜗轮蜗杆、楔块夹具全靠这个原理——螺栓不会自己松开、蜗轮减速器不能被负载倒拖。自锁是"用摩擦换安全"的经典设计，代价是效率低（自锁蜗杆效率常低于 50%）。
六、应力集中的伏笔
平衡方程告诉你总的力有多大，但不告诉你力在截面内怎么分布。
力流的直观图景：想象力像水流一样从加载点流向支撑点。当截面突变（孔、槽、台阶、尖角）时，力流被迫绕行并挤在一起 → 局部应力远高于平均值——这就是应力集中。
\(K_t\) 是应力集中系数；圆孔的 \(K_t\approx3\) 只是在无限宽板、圆孔远离边界且采用线弹性名义应力的理想化下成立，有限宽度、孔边距、载荷方式和圆角都会改变它。尖锐内角的“趋于无穷”是线弹性连续体的应力奇异性；真实材料会受有限圆角、塑性和制造尺度限制。
这个概念极其重要，因为：
- 静强度上，塑性材料可以靠局部屈服"钝化"应力集中（应力重分布），所以静载下常不致命；
- 但疲劳几乎完全由应力集中主导（第十四页）——绝大多数疲劳裂纹起源于应力集中处；
- 对策：加大过渡圆角、避免尖角、卸载槽、把开孔放在低应力区。"设计圆角"这件看似琐碎的事，是机械设计中最有价值的习惯之一。
七、要点
- 画对受力图比解对方程重要；约束限制什么，就提供什么反力；
- 静定 vs 超静定：后者需要"平衡 + 变形协调 + 本构"三条腿，且带来冗余与附加应力的权衡；
- 让材料受拉压而非受弯——结构效率第一原则；
- 静摩擦是不等式；自锁是用摩擦换安全；
- 应力集中由力流被迫拐弯造成，是疲劳失效的主要起源。
下一页：把视角从整体移到内部——应力与应变。同样的力作用在不同截面上，材料承受的"压力"完全不同；而材料如何响应，决定了它是弹回来、永久变形、还是断裂。