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力学 I · 静力学与受力分析

层次：本科核心——这是机械工程师的第一副眼镜。 静力学的方程只有两条（力平衡、力矩平衡），初看简单到不值一讲。但真正的技能不在解方程，而在正确地画出受力图——判断哪些力存在、约束提供什么、力从哪里流向哪里。这一步错了，后面所有精确计算都是精确的错误。

一、平衡方程

刚体静力平衡：

\[\sum \vec{F} = 0, \qquad \sum \vec{M} = 0\]

三维给出 6 个方程，二维给出 3 个（\(\sum F_x\)、\(\sum F_y\)、\(\sum M_z\)）。

核心技能是隔离体图（free-body diagram, FBD）：把研究对象从周围环境中"切"出来，用力代替所有被切断的联系。

画 FBD 的纪律（这是最容易出错的地方）：

  1. 明确切出的是谁——边界在哪里；
  2. 画上所有外力：重力、外载、以及每个约束提供的反力；
  3. 约束提供什么力，取决于它限制什么运动——这是判断反力的唯一依据；
  4. 不要漏掉、也不要凭空添加。

二、约束与反力：一一对应

约束限制什么方向的运动，就在那个方向提供反力。这个对应关系必须成为条件反射：

约束 限制 提供的反力
光滑接触面 法向平动 1 个法向力
铰链（销轴） 两个方向平动 2 个分力（无力矩）
固定端 平动 + 转动 2 个分力 + 1 个力矩
滚动支座 1 个方向平动 1 个力
绳索 沿绳拉伸 只能受拉

铰链不传力矩、固定端传力矩——这个区别决定了整个结构的内力分布，也是后面梁分析的起点。

三、静定与超静定

静定：未知反力数 = 独立平衡方程数 → 仅凭平衡方程即可求解。

超静定（静不定）：未知数多于方程 → 平衡方程不够用。

这是一个关键的概念分水岭：超静定结构的内力分布取决于各部分的刚度——刚的地方分担更多载荷。要解它，必须补充变形协调条件（几何上各部分变形必须相容）与材料本构关系（应力应变关系）。

\[\text{平衡} + \text{变形协调} + \text{本构} = \text{完整的固体力学问题}\]

这三条腿构成了本线的全部框架（第五页会正式给出）。有限元法（第二十一页）本质上就是让计算机自动完成这三件事。

工程含义（不只是数学分类）：

四、桁架与力流

桁架分析（节点法、截面法）是训练"看力流"的最好练习。理想桁架的杆件只受拉压、不受弯——因为节点是铰接的（不传力矩）。

为什么这重要：受拉压的杆件，材料全截面均匀受力，效率最高；而受弯的梁，中性轴附近的材料几乎不出力（第三页会看到）。所以在同等重量下，桁架比实心梁能跨越更大跨度——桥梁、起重机臂、屋架都用桁架，正是这个道理。

"让材料受拉压而非受弯"是结构效率的第一原则。

五、摩擦

摩擦是机械中无处不在的非线性（🔗 自动化站第十五页把它当作控制的敌人；这里它常常是朋友）。

库仑摩擦模型：

\[F_{\text{摩擦}} \le \mu_s N \ (\text{静止}), \qquad F = \mu_k N \ (\text{滑动}), \qquad \mu_k < \mu_s\]

注意静摩擦是不等式——它的值由平衡条件决定，只有上限，不是定值。这是初学者最常犯的错误：把静摩擦直接当作 \(\mu_s N\) 来算。

自锁：当驱动角小于摩擦角时，无论施加多大的驱动力，机构都不会反向滑动。螺纹、蜗轮蜗杆、楔块夹具全靠这个原理——螺栓不会自己松开、蜗轮减速器不能被负载倒拖。自锁是"用摩擦换安全"的经典设计，代价是效率低（自锁蜗杆效率常低于 50%）。

六、应力集中的伏笔

平衡方程告诉你总的力有多大，但不告诉你力在截面内怎么分布。

力流的直观图景：想象力像水流一样从加载点流向支撑点。当截面突变（孔、槽、台阶、尖角）时，力流被迫绕行并挤在一起 → 局部应力远高于平均值——这就是应力集中。

\[\sigma_{\max} = K_t \cdot \sigma_{\text{名义}}\]

\(K_t\) 是应力集中系数，圆孔约 3、尖角可以趋于无穷。

这个概念极其重要，因为：

七、要点

下一页：把视角从整体移到内部——应力与应变。同样的力作用在不同截面上，材料承受的"压力"完全不同；而材料如何响应，决定了它是弹回来、永久变形、还是断裂。