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传动 III · 轴系、轴承与摩擦学
层次：本科核心 + 业界日常 ｜ 摩擦学是机械中最被低估的学科。 机器的能量损失与失效，很大一部分发生在两个表面接触的地方。据广泛引用的估计，摩擦与磨损消耗了全球相当可观比例的一次能源。本页讲轴系设计、两类轴承的原理，以及支撑它们的摩擦学。
学习层：让轴承的寿命、油膜和损失各自记账
具体机械情境：评估一台连续运转的输送机支承
输送机轴承承受当量载荷 \(P=5.0\,\mathrm{kN}\)，轴承额定动载荷 \(C=20.0\,\mathrm{kN}\)，转速 \(1500\,\mathrm{r/min}\)。工程师同时拿到两条表面粗糙度 \(Rq_1=0.20\,\mu\mathrm{m}\)、\(Rq_2=0.30\,\mu\mathrm{m}\) 和一项润滑油黏度估计 \(\eta=30\,\mathrm{mPa\cdot s}\)。只报一个 \(L_{10}\) 会漏掉润滑边界，只报一个摩擦系数又会漏掉载荷寿命敏感性，所以实验把寿命、膜厚比和摩擦/功率拆成三本账。
必须提交的预测
- 球轴承的 \(P\) 加倍时，\(L_{10}\) 约变成原来的 \(1/2\)、\(1/4\) 还是 \(1/8\)？
- 其余条件不变而两表面更粗糙时，\(\sigma=\sqrt{Rq_1^2+Rq_2^2}\) 和膜厚比 \(\lambda\) 会怎样变化？
- 黏度增大是否保证总摩擦功率单调下降？请先在“保证 / 不保证”中选择。
正式模型：标准寿命 + 明示的教学润滑代理
滚动轴承的额定寿命用百万转计
其中 \(p=3\) 对球轴承，\(p=10/3\) 对滚子轴承；\(L_{10}\) 是 90% 可靠度寿命，不是保证每一只轴承达到的寿命。表面合并粗糙度为
为了让变量关系可追踪，实验明示采用一个教学代理（输入单位为 mPa·s、r/min、kN，输出为 \(\mu\mathrm{m}\)）：
这里的 \(h_{\min}\) 不是轴承 EHL 的标准解；实验只用 \(\lambda<1\)、\(1\le\lambda<3\)、\(\lambda\ge3\) 标出边界、混合和全膜润滑的教学分区。摩擦账采用透明的 Stribeck 型代理，令 \(G=\eta n/P\)：
在转矩式中先把页面输入换成 SI：\(\tilde P=1000P\,\mathrm{N}\)（把 \(P\) 的 kN 换成 N），\(\tilde d_m=10^{-3}d_m\,\mathrm{m}\)（把 \(d_m\) 的 mm 换成 m）。分式项 \(0.080/(1+G/500)\) 随 \(G\) 增大而下降，黏性项 \(0.0000025G\) 随 \(G\) 增大而上升；因此黏度提高可以增大教学膜厚，却不保证总损失单调下降。默认值给出 \(L_{10}=64.0\times10^6\,\mathrm{rev}\)、约 \(711.1\,\mathrm{h}\)，\(\sigma=0.361\,\mu\mathrm{m}\)、\(h_{\min}\approx1.897\,\mu\mathrm{m}\)、\(\lambda\approx5.26\)；摩擦与功率是上述代理的账，不是轴承目录的精确损失。
误区与模型边界
- \(L_{10}\) 只描述额定载荷下的统计寿命；安装偏差、污染、电蚀、静载压痕、温度和实际载荷谱可能成为主导失效机制。
- \(h_{\min}\) 与 \(\mu\) 都明确标为教学代理，不可冒充 Hamrock–Dowson、完整滚动接触 EHL 或厂商摩擦力矩模型。
- \(\lambda\) 只比较膜厚和合并粗糙度，不说明膜内温升、添加剂化学、表面纹理、滚动体滑移或局部接触应力。
- Stribeck 型代理用于展示“边界接触项”和“黏性损失项”的权衡；黏度、转速或载荷变化后的真实摩擦必须用试验、厂商数据或更高阶模型复核。
- 热膨胀、固定–游动布置和预紧会改变 \(P\) 与润滑状态；不能把一个静态 \(L_{10}\) 小时数直接当成检修周期。
对应 lab 的静态 fallback
无 JavaScript 时仍可核对：默认球轴承 \(C=20.0\,\mathrm{kN}\)、\(P=5.0\,\mathrm{kN}\)、\(p=3\)、\(n=1500\,\mathrm{r/min}\)、\(d_m=50\,\mathrm{mm}\)、\(\eta=30\,\mathrm{mPa\cdot s}\)。
| 轴承账本 | 默认读数 | 单位或判定 |
|---|---|---|
| \(L_{10}\) | \(64.0\times10^6\) | rev |
| \(L_{10,h}\) | 711.1 | h |
| 合并粗糙度 \(\sigma\) | 0.361 | \(\mu\mathrm{m}\) |
| 教学代理 \(h_{\min}\) | 1.897 | \(\mu\mathrm{m}\) |
| 膜厚比 \(\lambda\) / 润滑区 | 5.26 / 全膜 | \(\lambda\ge3\) 的教学分区 |
| 代理摩擦系数 \(\mu\) | 约 0.0327 | 无量纲；Stribeck 代理 |
| 摩擦转矩 / 功率 \(T_f,W_f\) | 约 4.09 / 0.643 | N·m / kW；代理账 |
脚本可用时，改变 \(P\)、粗糙度和黏度会分别更新寿命、\(\lambda\) 与摩擦功率；结果揭示后调参不会重新锁回预测门。把黏度调高后若功率先降后升，是代理明确展示的权衡，不是绘图动画。
迁移问题
如果一台高温电机把油温升高、黏度降低，同时轴承预紧力提高，你会如何拆分“载荷寿命”“膜厚比”“摩擦发热”三项证据？请指出至少一个需要温度相关黏度、接触应力或厂商数据才能补上的量。
一、轴的设计
轴同时承受弯矩（齿轮径向力、带的张力、自重）与扭矩（传递功率），是典型的组合变形（承第三页）。
设计流程：
- 按扭矩初估轴径（经验公式），定出最小直径；
- 画弯矩图与扭矩图，找危险截面；
- 按弯扭组合校核：\(\sigma_{eq}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}\)（注意系数 3）；
- 校核刚度：挠度与偏转角。齿轮轴的偏转角超限会造成齿面偏载，比强度问题更常见；
- 疲劳校核（第十四页）——轴的失效绝大多数是疲劳，而非静强度不足。
轴的结构设计要点（这些细节决定实际寿命）：
- 阶梯轴便于定位与装配，但每个台阶都是应力集中源；
- 过渡圆角必须尽可能大；键槽、退刀槽、螺纹处是疲劳高发区；
- 过盈配合的边缘是严重的应力集中处——常在此起裂；
- 结构设计要保证零件能装进去、能拆出来、能定位、能拧紧。
"轴的疲劳裂纹几乎总起源于应力集中处"——这就是为什么机械设计中"画圆角"是一项严肃的工作，而非美化。
二、滑动轴承与流体润滑
核心思想：让两个表面被一层流体膜完全隔开，从而不发生固体接触。
流体动压润滑：轴颈旋转把润滑油带入收敛的楔形间隙，产生压力把轴"托"起来。
关键认识：压力是由旋转"泵"出来的，不是外加的。所以：
- 停机与启动时没有油膜，处于边界润滑 → 磨损主要发生在启停时刻；
- 频繁启停的设备寿命远低于连续运行的设备；
- 大型机组因此配顶轴油泵（静压），启动前先把轴顶起来。
流体静压轴承：外部泵供高压油，静止时也有油膜。刚度极高、无磨损、精度极高——用于精密机床主轴、大型望远镜。代价是需要供油系统、成本高。
Stribeck 曲线（摩擦学的核心图）：摩擦系数随 \(\eta N/p\) 变化，分三区——
| 区 | 特征 | 摩擦系数 |
|---|---|---|
| 边界润滑 | 表面微凸体直接接触，靠油性添加剂形成分子膜 | 最高（0.05–0.15） |
| 混合润滑 | 部分接触、部分油膜 | 过渡，摩擦最低点在此附近 |
| 流体润滑 | 完全隔开 | 低（0.001–0.01），仅剩粘性剪切 |
设计目标是进入流体润滑区；但启停必然经过边界区，故需要抗磨添加剂与合适的轴瓦材料（巴氏合金等软材料，能"埋入"磨粒、保护轴颈）。
三、滚动轴承
用滚动代替滑动，摩擦系数低（0.001–0.005）、启动摩擦小、标准化程度极高。
寿命计算（业界标准做法）：
\(C\) 为额定动载荷，\(P\) 为当量动载荷。
必须理解 \(L_{10}\) 的含义：它是 90% 可靠度的寿命——即一组同样轴承中，10% 会在此之前失效。这不是"保证寿命"，而是一个统计量。这是机械设计中少见的、直接以概率表述的指标（🔗 自动化站第十四页的可靠性思想）。
注意指数 3：载荷增加 26%，寿命减半。轴承寿命对载荷极度敏感——这使得"稍微超载一点"的后果远比直觉严重。
滚动轴承的失效：
- 接触疲劳剥落（正常寿命终结方式，起源于次表面最大切应力处——承第五页赫兹接触）；
- 磨损、压痕（异物或装配敲击）、电蚀（变频电机轴电流击穿油膜，是电驱系统的典型问题，需绝缘轴承或接地环）；
- 润滑失效（占实际失效的很大比例）。
轴承故障诊断：滚动体经过缺陷时产生周期性冲击，其特征频率（外圈 BPFO、内圈 BPFI、滚动体 BSF、保持架 FTF）由几何与转速决定，且不是转速的整数倍——这正是频谱诊断能识别它的原因（承第七、九页的诊断表）。早期故障常先在高频包络谱中出现。
四、轴系的支承方案
必须解决三个问题：承受径向力、承受轴向力、允许热膨胀。
两种经典方案：
- 固定–游动：一端轴承固定（承受双向轴向力），另一端可轴向游动。长轴、温差大的场合必须用——否则热膨胀会把轴承压死；
- 两端固定（对称)：适合短轴，需留轴向游隙。
"必须给热膨胀留一条出路" 是轴系设计的铁律。忽略它会导致轴承过载、异常发热、迅速失效——这是现场常见的设计错误。
预紧：对角接触轴承施加预紧力，可消除游隙、提高刚度与旋转精度（机床主轴必需）。代价是摩擦发热增加、寿命下降——又一次权衡。
五、摩擦学：磨损与润滑
磨损的主要机制：
- 粘着磨损：微凸体焊合又被撕开（Archard 定律：磨损量正比于载荷与滑动距离、反比于硬度）；
- 磨粒磨损：硬颗粒切削表面。过滤是最有效的对策——液压与润滑系统的清洁度等级直接决定寿命；
- 疲劳磨损：反复接触应力导致剥落（轴承、齿轮的主要模式）；
- 腐蚀磨损、微动磨损（微小往复位移处，如过盈配合边缘、螺栓连接面，是疲劳裂纹的常见起源）。
润滑的作用远不止减摩：散热、冲走磨粒、防锈、密封。很多"润滑失效"实际是散热或清洁功能失效，而非油膜承载不足。
表面工程是重要手段：渗碳、氮化、镀层、DLC 涂层、织构化表面——用极薄的表层改变摩擦磨损行为，而基体保持韧性。"表面决定摩擦与磨损，芯部决定强度与韧性"是表面工程的基本逻辑。
六、密封
常被忽视却是现场故障的高发点：
- 接触式（唇形密封、O 圈、机械密封）：密封好、有磨损与摩擦；
- 非接触式（迷宫、气封）：无磨损、允许微量泄漏，用于高速。
密封失效往往不是密封件本身的问题，而是轴的跳动、表面粗糙度不当、温度超限、或介质不相容。诊断时应先怀疑工况而非零件。
七、要点
- 轴的失效绝大多数是疲劳，起源于应力集中处——圆角与过渡设计至关重要；
- 流体动压靠旋转"泵"出油膜，故磨损集中在启停；静压轴承刚度极高但成本高；
- Stribeck 曲线的三区决定润滑策略；
- \(L_{10}\) 是 90% 可靠度寿命，且寿命 \(\propto (C/P)^3\)——载荷增 26% 寿命减半；
- 必须为热膨胀留出路（固定–游动方案）；预紧以摩擦与寿命换刚度；
- 表面决定摩擦磨损，芯部决定强度——表面工程的基本逻辑。
下一页：本线的最后一块——工程流体。机械工程师不必成为流体力学家，但必须会算管路阻力、选泵与风机，并理解为什么阻力与流量的平方成正比。