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传动 I · 机构运动学
层次：本科核心。 机构学研究如何用刚性构件的连接产生想要的运动：把旋转变成往复、把连续变成间歇、让一点沿指定轨迹移动。它是机械工程最古老的分支之一，也是机器人学的直接前身（🔗 自动化站第十九页的运动学与本页是同一套数学，只是自由度更多）。
学习层：四杆不是动画，而是一个必须闭合的几何约束
具体工程情境：电机连续转动，输出究竟是摇摆还是整周转动
设一台分度机构用电机驱动输入曲柄 \(a\)，机架长度 \(d\)，连杆 \(b\)，输出杆 \(c\)。试点默认尺寸为 \(a=40\)、\(b=90\)、\(c=40\)、\(d=90\,\mathrm{mm}\)，输入角为 \(60^\circ\)。先不要把输出杆预先叫成“摇杆”：设计者真正要判断的是这个角度能否装配、闭环残差是否为零、传动角是否接近死点，以及输入和输出能否整周转动。
必须提交的预测
- 用 \(s,l,p,q\) 排序后，默认尺寸满足还是不满足 \(s+l\le p+q\)？等号意味着什么？
- 在 \(\theta=60^\circ\) 时，以 B、D 为圆心、\(b,c\) 为半径的两圆能否交出 C？
- 当连杆与摇杆共线，传动角 \(\gamma\) 会趋近 \(0^\circ\)、\(90^\circ\) 还是 \(180^\circ\)？
提交后再切换 open/crossed 分支和长度，观察“同一输入角可以有两种装配”与“有些输入角根本没有装配”的区别。
正式公式桥：从长度不等式到位置闭环
平面四杆的 Grashof 判据先只看长度：
它说明最短杆有机会整周转动，但运动类型还取决于哪根杆固定，以及是否出现等长特例。本页默认值同时满足 \(a=c\)、\(b=d\)，是平行四边形换点机构：open 分支的输入杆与输出杆都能整周转动，不能把它误标为普通曲柄摇杆。当前位置的几何构造取 \(A=(0,0)\)、\(D=(d,0)\)，给定输入角 \(\theta\) 后
令 \(R=|D-B|\)，两圆相交的装配条件是
沿 \(D-B\) 的单位向量取
则 \(C=B+xu\pm y u_\perp\) 给出 open/crossed 两个装配分支。计算出的 C 还必须回代检查 \(|C-B|-b\) 与 \(|C-D|-c\) 的闭环残差。
传动角取连杆与摇杆夹角的锐角部分：
当两向量共线时，\(R=b+c\)（伸直）或 \(R=|b-c|\)（折叠），\(\gamma\to0^\circ\)，这就是死点/传力恶化的几何证书。默认 \(s+l=p+q=130\,\mathrm{mm}\)，因此是换点边界，正好能在 \(\theta=0^\circ\) 和 \(180^\circ\) 看到两个候选死点。
误区与模型边界
- Grashof 判据只告诉长度关系与可能的整周转动，不替代某个具体 \(\theta\) 的圆交点装配，也不告诉你 open/crossed 应选哪一支；有重复最短杆或平行四边形时，还必须单独识别特例。
- 自由度公式 \(F=3(n-1)-2p_L-p_H\) 判断“理论上有几个自由度”，不提供 C 点的位置、速度或加速度；虚约束会让机械实际表现偏离公式。
- 传动角接近 \(0^\circ\) 是传力方向恶化，不是“角度越大越好”的单调指标；工程上通常约束最小传动角，而不是只看某一个漂亮位置。
- 本实验是平面刚性杆、理想转动副、无间隙无摩擦的静态位置模型；柔性杆、销轴变形、碰撞、速度/加速度峰值和制造误差需要进一步动力学或公差模型。
对应 lab 的静态 fallback
无 JavaScript 时仍可核对：默认 \(a=40,b=90,c=40,d=90\,\mathrm{mm}\)，\(\theta=60^\circ\)，先读 open 分支。
| 账本项 | 默认读数 | 判读 |
|---|---|---|
| \(s+l\) | \(40+90=130\,\mathrm{mm}\) | |
| \(p+q\) | \(90+40=130\,\mathrm{mm}\) | Grashof 等号，换点边界 |
| 运动类型 | 平行四边形双曲柄 | \(a=c\)、\(b=d\) 的换点特例 |
| \(BD\)（\(\theta=60^\circ\)） | \(78.1025\,\mathrm{mm}\) | \(50\le BD\le130\)，可装配 |
| 闭环残差 | \(0\,\mathrm{mm}\)（数值误差内） | 两个圆交点构造闭合 |
| 传动角 \(\gamma\) | \(60.000^\circ\) | 当前不在死点 |
| 死点候选 | \(\theta=0^\circ\) 折叠；\(\theta=180^\circ\) 伸直 | \(\gamma\to0^\circ\) |
| 0--360° 离散可行率 | \(100\%\)（默认采样） | 仍需检查分支与局部传动角 |
换成 crossed 分支会得到另一侧的 C；若调整长度使 \(BD\) 超出 \([|b-c|,b+c]\)，应诚实显示“不可装配”，而不是让动画穿过不存在的几何位置。
一、自由度：机构能不能动
Grübler–Kutzbach 公式（平面机构）：
\(n\) 为构件数（含机架），\(p_L\) 为低副（转动副、移动副，各约束 2 个自由度），\(p_H\) 为高副（凸轮、齿轮接触，约束 1 个）。
判读：
- \(F=1\)：单自由度机构——一个输入决定全部运动。绝大多数机器都是这样（一个电机驱动整台机器）；
- \(F=0\)：静定桁架，不能动；
- \(F<0\)：超静定（过约束）结构；
- \(F>1\)：需要多个驱动（机器人、并联机构）。
一个重要的工程细节：公式会"算错"某些机构。 存在虚约束（重复的、不减少自由度的约束）与局部自由度（如滚子绕自身轴的转动）。典型例子是平行四边形机构加一根平行的辅助杆——公式算出 \(F=0\)，实际仍能动。
这不是公式的缺陷，而是提醒：虚约束在实际中要求极高的制造精度（几根平行杆必须严格等长），否则会卡死或产生巨大内力。设计中要么保证精度，要么消除虚约束（如把一端改为球铰）。
二、四杆机构：机构学的原子
平面四杆机构是最基本也最重要的机构。按各杆长度关系，可实现不同运动。
Grashof 准则：设最短杆 \(s\)、最长杆 \(l\)、其余两杆 \(p,q\)。若
则最短杆能整周回转（Grashof 机构）。进一步按哪根杆作机架，得到：
- 曲柄摇杆机构（最短杆的邻杆为机架）：连续旋转 → 往复摆动；
- 双曲柄机构（最短杆为机架）；
- 双摇杆机构（最短杆的对杆为机架）。
若 \(s+l > p+q\)，则任何杆都不能整周回转——只能得到双摇杆。
这个简单的不等式决定了机构的全部运动类型，是机构设计的第一判据。
三、三个关键的工程概念
① 死点（死位）：从动件的传力方向与其运动方向垂直时，无论多大的驱动力都无法推动。
两面性（这是机构学最有趣的一点）：
- 有害：内燃机活塞在上下止点处、缝纫机在某位置可能卡住 → 靠飞轮的惯性冲过去（第六页），或用多缸错开相位；
- 有用：夹具、快速夹钳、飞机起落架锁定故意工作在死点附近——外载荷再大也推不回来，实现自锁。
"同一个物理现象，视用途而定是缺陷还是特性"——这在工程中极常见。
② 传动角 \(\gamma\)：连杆与从动件之间的夹角。\(\gamma\) 越接近 90°，传力越有效；\(\gamma\to0\) 即接近死点。设计规范通常要求最小传动角 \(\gamma_{\min} \ge 40°\)——这是四杆机构尺寸设计的主要约束。
③ 急回特性：曲柄等速旋转时，摇杆往复行程的时间不等。用行程速比系数 \(K\) 度量。
这个特性被主动利用：牛头刨床、往复输送机构让工作行程慢（切削）、空回行程快（省时间）——用机构本身实现了"变速"，无需额外控制。这是纯机械时代的智慧，至今在高速自动机械中仍有价值（比伺服控制更可靠、更快、成本更低）。
四、凸轮机构
凸轮能实现任意指定的从动件运动规律——这是它相对连杆的最大优势。
设计的核心是选择运动规律，判据不是位移曲线，而是它的导数：
| 运动规律 | 加速度特性 | 后果 |
|---|---|---|
| 等速 | 首末无穷大加速度 | 刚性冲击，不可用于高速 |
| 等加速等减速 | 加速度有限但突变 | 柔性冲击 |
| 简谐（余弦） | 加速度连续，但首末段有突变（若与停歇段相接） | 中速可用 |
| 摆线（正弦加速度） | 加速度连续、且首末为零 | 高速首选 |
| 多项式（如 3-4-5 次） | 可指定更高阶导数连续 | 高速精密 |
核心原则：加速度不连续 → 冲击力不连续 → 振动与噪声。更严格的高速设计还要求跃度（jerk，加速度的导数）连续——这与机器人轨迹规划的要求完全一致（🔗 自动化站第十九页：限制 jerk 以减少振动）。机械凸轮设计与现代运动控制，遵循同一条原理。
压力角是凸轮的另一关键约束：过大会导致侧向力过大、从动件卡死，通常限制在 30° 以内（移动从动件）。
五、其他常用机构
- 间歇机构：槽轮（马耳他十字）、棘轮、不完全齿轮——把连续转动变成间歇转动（自动机械的分度）；
- 螺旋机构：旋转 → 直线，且可自锁（承第一页）。丝杠是精密进给的主力；
- 行星轮系：紧凑、大速比、可实现差速与功率分流（第十一页）；
- 并联机构：Stewart 平台、Delta 机器人。刚度高、惯量小、精度好，但工作空间小、正运动学难解（与串联机器人正好相反——🔗 自动化站第十九页）。
六、从机构到机器人：一个历史转折
传统机构用纯机械的方式"编码"运动规律：凸轮的轮廓、连杆的长度、齿轮的齿数一旦制造出来就固定了。
优点：极其可靠、速度极快、成本低、无需控制系统。至今在高速自动包装、印刷、纺织机械中大量使用——每分钟上千次动作，伺服系统难以企及。
缺点：不可编程。换一个产品规格就要换凸轮、改连杆。
现代趋势是"机械凸轮 → 电子凸轮"：用伺服电机 + 控制器实现同样的运动规律，运动曲线变成软件里的一张表。柔性大幅提升，代价是成本、复杂度与可靠性。
这是一次典型的"用可编程性换取硬件简洁"的转移——与 🔗 微电子站"专用电路 vs 通用处理器"、自动化站"机械凸轮 vs 运动控制"是同一种权衡。而选择的依据同样是：产量与柔性需求。
七、要点
- 自由度公式判断机构能否运动；虚约束要求高精度，需谨慎；
- Grashof 准则（\(s+l\le p+q\)）决定四杆机构的运动类型；
- 死点既是缺陷也是特性（自锁夹具）；传动角 \(\ge40°\) 是设计约束；
- 凸轮设计的核心是加速度连续性，高速用摆线或多项式规律——与机器人轨迹规划同理；
- 机械凸轮 → 电子凸轮是"用可编程性换硬件简洁"的典型转移。
下一页：齿轮——机械传动的核心。它看似只是"带齿的轮子"，实际上其齿廓形状由一个严格的运动学要求决定。