本页目录
动力 IV · 转子动力学与工程振动
层次：本科接触 + 研究生/业界专门方向。 旋转机械（电机、汽轮机、压缩机、泵、主轴、涡轮增压器）是工业设备的主体。它们的振动有一些反直觉的性质——在理想 Jeffcott 模型中，越过临界转速后，转子的质量中心可趋近轴承线，但这不等于几何中心静止，也不等于真实机器“高速更稳”。本页讲清这些现象，并给出旋转机械设计的基本判据。
学习层：用一台 Jeffcott 转子读出不平衡、相位和支承力
具体工程情境：电机转子升速穿越一阶临界
把一台电机转子约化为无质量弹性轴和中部圆盘：圆盘质量 \(m=12\,\mathrm{kg}\)，横向支承刚度 \(k=300\,\mathrm{kN/m}\)，残余偏心 \(e=0.80\,\mathrm{mm}\)，阻尼比 \(\zeta=0.05\)。现场工程师需要在升速试验中预测一阶临界转速、同步振幅的相位翻转和传给轴承的支承力，而不是只看“振幅有没有变大”。
必须提交的预测
- 不平衡激振力 \(F_u=me\omega^2\) 随转速加倍会变为几倍？
- 转子越过 \(r=\omega/\omega_n=1\) 后，位移相对于不平衡力的相位会向 \(180^\circ\) 靠近还是仍接近 \(0^\circ\)？
- 临界转速 \(\omega_n=\sqrt{k/m}\) 是否由偏心距 \(e\) 决定？哪一个量会明显改变共振峰高度而不是临界频率：阻尼比还是偏心距？
正式公式桥：Jeffcott 稳态响应、相位和支承力
线性各向同性 Jeffcott 模型的横向方程可写成两个正交标量方程
其中 \(\omega_n=\sqrt{k/m}\)、\(\zeta=c/(2\sqrt{km})\)、\(r=\omega/\omega_n\)。同步稳态位移幅值、相位滞后和支承力为
当 \(\zeta<1/\sqrt2\) 时，位移放大峰在 \(r_p=1/\sqrt{1-2\zeta^2}\) 附近；工程上仍把无阻尼固有频率对应的 \(r=1\) 称作一阶临界附近。这里的 \(A\) 是转盘几何中心相对于轴承线的涡动幅值。由于高频时 \(A/e\to1\) 且相位趋近 \(180^\circ\)，偏心质量中心（几何中心再加上旋转偏心矢量）可趋近轴承线；几何中心本身仍可绕轴承线涡动约 \(e\)，不能写成“几何中心稳定”。支承力满足 \(F_b=\sqrt{(kA)^2+(c\omega A)^2}\)；在忽略黏性项的理想弹簧主导极限才可说趋近 \(ke\)，有阻尼时 \(c\omega e\) 项仍需保留。实验台同时画 \(A/e\)、\(F_b/F_u\) 的扫速曲线，并把当前点、临界线和相位写入同一账本。
误区与模型边界
- 临界转速是同步不平衡激励扫过横向模态的共振条件；它不是说轴承力在所有频率都最大，也不等于转子永远只有一个固有频率。
- 阻尼会压低临界附近的位移峰并改变相位；偏心距会线性放大位移、以 \(\omega^2\) 放大激振力，但在该线性模型中不移动 \(\omega_n\)。
- \(F_b\) 是由线性弹簧和黏性阻尼传给支承的同步幅值；它不是包含重力、轴向载荷、非同步油膜力或冲击峰值的轴承额定载荷。
- 实验台是单盘、无陀螺耦合、各向同性支承、定常同步激励的线性稳态模型；升速瞬态、转子弯曲/质量分布、交叉刚度、油膜失稳、碰摩和非线性支承都需要更高阶转子模型。选择超临界运行还必须有穿越临界的升速策略、阻尼/稳定性裕度、碰摩间隙和支承动载证书，不能从一条稳态曲线直接推出“高速更稳”。
- 当振幅进入间隙、碰摩或材料非线性尺度，继续外推线性稳态曲线会产生“数值很整齐、物理很错误”的结论；应以试验和 Campbell 图/复特征值分析复核。
对应 lab 的静态 fallback
无 JavaScript 时仍可核对：默认 \(m=12\,\mathrm{kg}\)、\(k=300\,\mathrm{kN/m}\)、\(e=0.80\,\mathrm{mm}\)、\(\zeta=0.05\)、转速 \(1340\,\mathrm{rpm}\)。
| 账本项 | 公式/默认读数 | 单位或判定 |
|---|---|---|
| \(\omega,\omega_n\) | \((140.32,158.11)\) | rad/s |
| 临界转速 | \(\omega_n60/(2\pi)=1509.9\) | rpm |
| 频率比 \(r\) | \(0.8875\) | 临界下方 |
| 不平衡力 \(F_u\) | \(me\omega^2=189.0\) | N |
| 位移幅值 \(A\) | \((A/e)e=2.738\) | mm；几何中心涡动 |
| 相位 \(\phi\) | \(22.68^\circ\) | 相对不平衡力滞后 |
| 支承力 \(F_b\) | \(824.5\) | N，弹簧/阻尼同步幅值 |
| 线性稳态边界 | 单盘、线性 \(k,c\)、定常同步激励 | 适用前提 |
把转速调到临界以上，曲线会显示相位继续向 \(180^\circ\) 走、\(A/e\) 趋近 1；把阻尼调大则会压低临界峰，但不能把“无碰摩”的线性假设一并扩大。
迁移问题
如果长转子有明显陀螺效应、两个支承的刚度和阻尼还不相同，你会保留这个 Jeffcott 曲线作一阶筛查，还是直接建立 Campbell 图和复模态模型？请说明要增加哪些自由度或交叉系数，以及如何用实测相位/支承力验证模型。
一、临界转速与 Jeffcott 转子
最简模型：一根无质量弹性轴中间带一个偏心圆盘（偏心距 \(e\)）。设轴的横向刚度 \(k\)、圆盘质量 \(m\)，则
当转速 \(\omega\) 接近 \(\omega_n\) 时发生共振——这个转速称为临界转速。
注意一个概念区分（常被混淆）：临界转速在数值上等于横向固有频率，但物理上是旋转不平衡这个特定激励与之共振。所以：转速 = 激励频率，这是旋转机械的特点——激励频率随工况连续变化，因而必然要扫过临界转速。
稳态振幅：
二、理想模型中的质量中心趋线：不等于高速更稳
\(r\gg1\) 时几何中心的 \(A/e \to 1\)，且响应与激励反相约 180°；对旋转偏心矢量叠加后，质量中心才可能趋近轴承线。
物理含义：在理想单盘图像里，几何中心仍绕轴承连线涡动约 \(e\)，而转盘质量中心的轨道半径可变小；偏心的动力学效应被部分补偿。支承动载的相对比值可能下降，但绝对支承力仍由 \(kA\) 和 \(c\omega A\) 共同决定，不能笼统写成“轴承动载一定下降”。
工程后果极其重要：
- 一些高速机械会在完成转子、支承和控制验证后设计成超临界运行；
- 启停过程要有经过验证的穿越临界策略，不能只凭“快速”二字，也不能在未经评估时长时间停留在峰值附近；
- 需要足够阻尼和正的稳定性裕度把过临界峰值、油膜/交叉耦合与瞬态响应压住，挤压油膜阻尼器只是可能的设计手段之一。
“质量中心趋线”是理想 Jeffcott 模型的反直觉结论；“更快反而更稳”只有在穿越临界、稳定性和支承载荷都经过验证时才可能成为工程策略。
三、陀螺效应
盘状转子高速旋转时，其角动量使它抵抗轴线倾斜——陀螺力矩（承第六页欧拉方程的耦合项）。
后果：转子的固有频率随转速变化。
- 正进动（涡动方向与自转同向）：陀螺效应提高固有频率；
- 反进动：降低固有频率。
所以旋转机械的"固有频率"不是一个数，而是转速的函数——这正是坎贝尔图（第八页）在旋转机械中必不可少的原因：图上的固有频率线是随转速倾斜的曲线，与激励线（\(1\times\)、\(2\times\) 等斜线）的交点才是真正的临界转速。
四、失稳：比共振更危险
共振振幅由阻尼限制、且只在特定转速发生。转子失稳则是自激振动（承第七页），一旦越过阈值转速就持续存在且可能发散。
主要机制：
① 油膜涡动 / 油膜振荡：滑动轴承中的油膜可能诱发约半频（\(\approx0.42\)–\(0.48\times\) 转速）的涡动。当转速升至临界转速的两倍以上时，半频涡动频率恰好接近固有频率，锁定并剧烈发展——称为油膜振荡，可迅速破坏机器。 对策：可倾瓦轴承（几乎消除交叉刚度）、改变轴承间隙与供油。
② 内摩擦失稳：转子内部（如过盈配合面、叠片）的摩擦在超临界时引入切向失稳力。
③ 密封与气流激振（Alford 力）：叶顶间隙不均引起的切向力，在高压压缩机中是重要失稳源。
识别特征：失稳的频率接近固有频率而非转速的整数倍——这是频谱诊断中区分"共振/不平衡"与"失稳"的关键。看到明显的非同步（尤其接近半频）分量，就要警惕失稳。
五、旋转机械的实用判据
振动烈度标准：工业上按机器类型与安装方式规定振动速度有效值（mm/s RMS）的评价区间（相关国际标准给出 A/B/C/D 区）。用速度而非位移，是因为速度的有效值在较宽频段上与疲劳损伤相关性更好。
平衡精度（承第六页）：按"许用偏心 × 转速"分级，高速转子要求极严。
诊断的频谱特征表（现场最实用的一张表）：
| 频率成分 | 典型故障 |
|---|---|
| \(1\times\) 突出 | 不平衡 |
| \(2\times\) 突出、轴向大 | 不对中 |
| \(0.42\)–\(0.48\times\) | 油膜涡动/振荡（失稳） |
| 多倍频 + 底噪抬升 | 松动、摩擦 |
| 齿数 × 转速及边带 | 齿轮故障（第十一页） |
| 轴承特征频率 | 滚动轴承损伤（第十二页） |
| 接近固有频率的非同步 | 失稳或共振 |
六、几类工程振动问题
- 扭转振动：轴系的扭转模态。它在横向振动传感器上往往测不到（需专门测量），却能造成断轴与齿轮打齿。柴油机轴系、长传动链必须做扭振计算，常配扭振减振器；
- 叶片振动：叶片自身的模态与叶片通过频率、尾流激励耦合。高周疲劳是叶片失效的主因（第十四页）；
- 管道振动：泵/压缩机的脉动激励与管系声学模态耦合，是石化装置的常见问题；
- 机床颤振：切削过程的自激振动（第十八页）。
七、要点
- 临界转速处共振；理想 Jeffcott 模型中超临界时质量中心可趋近轴承线，几何中心仍可涡动约 \(e\)；
- 超临界运行必须有穿越策略、阻尼/稳定性和支承动载证书，不能把它概括成高速更平稳；
- 陀螺效应使固有频率随转速变化，故必须用坎贝尔图判定临界转速；
- 失稳（油膜涡动等）比共振危险：持续、可能发散，特征是非同步、约半频；
- 频谱特征表是现场诊断的核心工具；
- 扭转振动往往测不到却能断轴——需专门关注。
线二结束。下一线转向机器的"骨骼与关节"：机构如何把运动变成想要的形式，齿轮如何传递动力，轴承如何承载并减少摩擦。