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动力 I · 刚体动力学与转动惯量
层次：本科核心 ｜ 与物理站的分工：🔗 物理站从拉格朗日/哈密顿的角度讲力学（变分原理、相空间、守恒律）；本课讲工程动力学——机器的惯量分配、平衡、动反力，以及它们如何决定机器能转多快。 物理关心"运动的规律"，机械关心"这台机器转起来会不会抖、轴承受多大力、要多大电机"。
学习层：一只斜坡滚轮的 Newton–Euler 与能量双账
具体工程情境：让输送小车的实心轮无滑滚下检修坡道
把检修坡道上的一个实心轮简化为质量 \(m=18\,\mathrm{kg}\)、半径 \(R=0.12\,\mathrm{m}\) 的刚体，坡角 \(\theta=18^\circ\)，从静止滚过 \(s=1.50\,\mathrm{m}\)。实心圆柱的转动惯量写成 \(I=\beta mR^2\)，这里 \(\beta=1/2\)；地面和轮胎之间的静摩擦系数估计为 \(\mu_s=0.35\)。设计问题不是只求一个加速度，而是要同时回答：平动和转动如何分配重力功、静摩擦是否足够、以及 Newton–Euler 与能量两本账是否闭合。
必须提交的预测
- 在 \(m,R,\theta\) 不变时，把 \(\beta\) 从实心圆柱提高到薄壁圆环，加速度会变大、变小，还是不变？
- 轮子无滑向下滚时，接触处静摩擦方向是沿坡向上还是向下？它是否必然消耗机械能？
- 无滑滚动的可行性应检查 \(\mu_s\ge\beta\tan\theta/(1+\beta)\)，还是只检查 \(\mu_s\ge\tan\theta\)？
正式公式桥：平动、转动、能量与摩擦不等式
取沿坡向下为正。滚动约束为 \(v=R\omega\)、\(a=R\alpha\)，惯量写成 \(I=\beta mR^2\)。沿坡方向的平动和绕质心的转动方程为
消去 \(f\) 得
静摩擦是可行性不等式，不是先验等式，因此还要检查
从静止滚过距离 \(s\) 时，\(v^2=2as\)、\(\omega=v/R\)。重力势能账和动能账为
实验台逐项显示 \(R_t=ma-(mg\sin\theta-f)\)、\(R_r=I\alpha-fR\)、滚动约束残差 \(R_c=v-R\omega\)，再显示势能减去平动与转动动能的 \(R_E\)。四个残差同时接近零，才算两本账真正互相核对；若 \(\mu_s<\mu_{\rm req}\)，这些是“无滑候选解”，实际应转入滑动接触模型。
误区与模型边界
- 静摩擦的实际值由 Newton–Euler 平衡决定，只有 \(f\le\mu_sN\)；把静摩擦直接写成 \(\mu_sN\) 会把一个不等式误当成定值。
- 理想无滑滚动时接触点瞬时速度为零，静摩擦不做净功；摩擦仍然改变力矩分配，使一部分重力功进入转动动能。
- 这里假定刚体、圆形轮、刚性固定坡面、纯滚动、无滚动阻力和无空气阻力；轮胎变形、轴承摩擦、坡面不平和冲击都会改变能量账。
- \(\mu_s\) 不足时不能继续相信无滑加速度；滑动后应使用动摩擦、接触热和可能的自旋/滑移运动方程。
- \(I=\beta mR^2\) 只描述绕质心轴的转动惯量；轮轴偏心、轮毂柔性和悬架运动会增加自由度，不能靠改一个 \(\beta\) 全部吸收。
对应 lab 的静态 fallback
无 JavaScript 时仍可核对：默认 \(m=18\,\mathrm{kg}\)、\(R=0.12\,\mathrm{m}\)、\(\beta=0.5\)、\(\theta=18^\circ\)、\(s=1.50\,\mathrm{m}\)、\(\mu_s=0.35\)。
| 账本项 | 公式/默认读数 | 单位或判定 |
|---|---|---|
| 转动惯量 \(I\) | \(\beta mR^2=0.1296\) | kg·m\(^2\) |
| 加速度 \(a\) | \(g\sin\theta/(1+\beta)=2.021\) | m/s\(^2\)，沿坡向下 |
| 静摩擦 \(f\) | \(\beta mg\sin\theta/(1+\beta)=18.19\) | N，沿坡向上 |
| 法向力 \(N\) | \(mg\cos\theta=167.94\) | N |
| \(\mu_{\rm req}\) | \(\beta\tan\theta/(1+\beta)=0.1083\) | 无量纲；\(0.35\) 可行 |
| 末速度 \((v,\omega)\) | \((2.462,20.52)\) | m/s，rad/s |
| 势能 / 平动 / 转动 | \((81.85,54.57,27.28)\) | J；能量账闭合 |
| Newton–Euler / 能量残差 | \(R_t,R_r,R_c,R_E\approx0\) | N、N·m、m/s、J |
把 \(\mu_s\) 降到低于 \(0.1084\) 时，实验台会保留无滑候选数值但标红“静摩擦不可行”，提醒读者切换模型。
迁移问题
如果同一轮子改为带驱动扭矩的电动车轮，驱动扭矩增加时首先会改变哪一条方程、哪一个摩擦不等式？请说明如何把电机功、重力势能和转动/平动动能放进同一能量账，并指出何时会从静摩擦约束转为滑移。
一、转动惯量：机械动力学的中心量
平行轴定理：\(I = I_c + md^2\)（\(d\) 是到质心轴的距离）。
常用值（要有直觉）：
| 形状 | 绕质心轴 |
|---|---|
| 细杆（绕中点，长 \(L\)） | \(mL^2/12\) |
| 实心圆盘/圆柱 | \(mR^2/2\) |
| 薄壁圆环/圆筒 | \(mR^2\) |
| 实心球 | \(2mR^2/5\) |
注意圆环与实心盘差一倍：同样质量下，质量分布在外缘的转动惯量最大。
这个事实的两面性（机械设计中反复出现的权衡）：
- 想要储能与平稳（飞轮、发动机曲轴飞轮、储能飞轮）→ 把质量放外缘，最大化 \(I\)；
- 想要快速响应（伺服电机转子、机器人关节、机床主轴）→ 把质量集中在中心，最小化 \(I\)。
伺服系统常用惯量比（负载惯量 / 电机惯量）作为匹配指标。惯量比过大可能使响应变慢、带宽受限或整定更敏感，但实际结果还取决于减速比、传动刚度、摩擦、反馈带宽和控制器；把质量放在哪里是机械与控制共同的设计变量。
二、刚体动力学方程
平面运动：
三维一般运动（欧拉方程，绕主轴）：
耦合项 \((I_3-I_2)\omega_2\omega_3\) 是三维转动一切怪异现象的来源：陀螺进动、网球拍定理（绕中间主轴旋转不稳定）、以及高速转子的陀螺效应（第九页会用到）。
达朗贝尔原理（工程上极实用）：引入惯性力 \(-m\vec a\) 后，动力学问题变成形式上的静力学问题——可以直接画受力图、写平衡方程。这是分析加速运动构件（连杆、活塞、离心机）时的标准手法。
三、平衡：不平衡的代价
旋转机械的不平衡是常见的振动源之一。 在单一偏心质量近似下，一个质量 \(m\) 在半径 \(e\) 处以 \(\omega\) 旋转，产生离心力：
在该近似下关键在 \(\omega^2\)：转速加倍时不平衡力增大四倍。这解释了为什么低速时尚可接受的转子，升速后可能出现剧烈振动；高速旋转机械的残余不平衡限值还要结合支承、转子模态、载荷谱和验收等级确定。
两类平衡：
- 静平衡：质心在旋转轴上，可消除一阶合力；对足够薄、轴向分布可忽略且工况单一的盘状件可能已经足够，但仍要看支承和精度要求；
- 动平衡：还要控制惯性力偶和轴向分布。对长转子（曲轴、电机转子、涡轮轴）通常需要多平面校正，但具体平衡等级、转速范围和支承柔度决定所需校正量。
工程实践：长转子动平衡常在两个或更多校正平面上加/减配重，并用动平衡机测量；薄盘或单一工况也可能采用单平面方案。平衡等级（如 ISO 的 G 级）按"许用偏心 × 转速"分级——转速越高，允许的残余不平衡通常越小。
往复机械的平衡更难：活塞的往复惯性力含一阶（\(\omega\)）与二阶（\(2\omega\)）分量。二阶力不能由单一的静态配重普遍消除；某些四缸布局会采用以 \(2\omega\) 运行的平衡轴，而直列六缸在理想几何和点火相位下能较好抵消部分一、二阶力/力矩，但附件、曲轴柔性和制造误差仍会留下振动。发动机平顺性因此是布局、配重、结构和控制共同的结果。
四、功率、扭矩与转速
这个简单公式支配了整个传动系统的设计逻辑：
- 同样的功率，转速越低，扭矩越大；
- 扭矩常是轴径、齿轮模数和键连接的主要载荷来源之一，但疲劳、弯曲、刚度、热、转速、冲击和制造约束也会共同决定尺寸；功率通过 \(P=T\omega\) 与转速一起进入设计；
- 减速器低速级通常扭矩较大，但不代表输出级在所有结构、材料和布置下都“总是”最大最重。
在电机效率、体积和成本占优且能接受回差与柔性的场合，常见方案是较高速电机 + 减速器来换取输出扭矩；但直驱、低速大扭矩电机或无齿轮传动在密封、回差、噪声、效率和可靠性要求下也可能更合适。
代价：减速器带来回差（间隙）、摩擦、效率损失、以及额外的惯量与柔性——🔗 又一次成为自动化站的控制难题（第十九页的机器人关节柔性）。
五、转动的能量与冲击
动能：\(T = \frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}I_c\omega^2\)（平动 + 转动）。
飞轮储能：\(E = \frac{1}{2}I\omega^2\)。注意 \(\omega^2\)——在给定质量和安全约束下，提高转速可能比增加惯量更有效。储能飞轮常采用高强度复合材料转子并在真空中高速旋转；其转速和尺寸上限还取决于材料比强度（\(\sigma/\rho\)）、缺陷、包容结构、转子动力学和制造质量。
转动惯量对冲击的影响：大惯量意味着转速变化慢——发动机飞轮正是靠这个把断续的做功冲程"抹平"成近似连续的输出。
六、要点
- 转动惯量的分布影响机器性格：外缘质量利于储能与平稳，中心质量利于快速响应；惯量比是伺服匹配的重要指标之一，但不是唯一决定因素；
- 不平衡力 \(\propto \omega^2\)，高速机械对平衡的要求通常会快速收紧；长转子通常需要按工况做动平衡；
- 往复机械的二阶惯性力在某些布局下可用平衡轴降低——是否采用取决于气缸排列、成本、振动目标和结构方案；
- 扭矩、弯曲、疲劳、刚度和热共同影响尺寸；"高速电机 + 减速器"是常见方案之一，代价是回差与柔性；
- 飞轮储能 \(\propto \omega^2\)，极限由材料比强度决定。
下一页：让结构振起来。单自由度振动虽然简单，却包含了共振、阻尼、隔振的全部核心思想——而它们是机械现场问题的主要来源。