光学 II · 像差与光学系统设计
层次：本科核心 + 研究生/业界专门方向（光学设计师是一个独立职业）。 上一页的成像公式建立在近轴近似（\(\sin\theta \approx \theta\)）之上。真实系统中光线角度不小，光线不再精确交于一点——这就是像差。校正像差的历史几乎就是光学工业的历史，也是光学设计这门手艺的核心。
一、像差从哪来
把 \(\sin\theta\) 展开：
- 保留一次项 → 近轴光学（理想成像）；
- 保留三次项 → 三阶像差（Seidel 像差），即经典的五种单色像差；
- 更高阶 → 高级像差，大孔径大视场系统必须考虑。
所以像差不是"制造缺陷"，而是几何本身的必然结果——即使加工完美，球面透镜也不能完美成像。 这一点常被误解。
二、五种单色像差（Seidel）
| 像差 | 现象 | 依赖 | 典型对策 |
|---|---|---|---|
| 球差 | 边缘光线与近轴光线焦点不同 | 孔径³ | 非球面、透镜组合、收小光圈 |
| 彗差 | 轴外点成彗星状拖尾 | 孔径²×视场 | 对称结构、光阑位置 |
| 像散 | 子午与弧矢焦线分离 | 孔径×视场² | 弯月透镜、场镜 |
| 场曲 | 像面是弯曲的 | 视场² | Petzval 条件、场平坦化 |
| 畸变 | 形状失真（桶形/枕形） | 视场³ | 对称结构、软件校正 |
几个重要的工程认识：
① 球差与孔径的三次方成正比 → 收小光圈能显著改善画质，这是摄影常识的物理根源。但收小到一定程度后，衍射极限开始主导（第四页），画质反而下降——存在一个最佳光圈。
② 场曲由 Petzval 和决定：
要平场，必须有负透镜参与。这是"为什么好镜头必须多片、且有正有负"的根本原因之一——不是厂商想卖贵，而是数学上必需。
③ 畸变不损失清晰度，只改变几何 → 它是唯一可以用软件完美校正的像差。现代手机镜头正是利用这一点：故意允许较大畸变以换取其他像差的校正与体积的缩小，再由 ISP 实时校正。这是"光学 + 计算"分工的最早、也最成功的例子（第十一页会展开）。
三、色差
折射率随波长变化（色散） → 不同颜色焦点不同。
- 纵向色差：不同波长焦点前后不同；
- 横向色差（倍率色差）：不同波长放大率不同 → 边缘出现彩边。
消色差（achromat）：用正冕牌 + 负火石两片胶合，使两个波长（通常 F、C 线）共焦。
原理：两片玻璃的色散不同（阿贝数 \(V_d\) 不同），可以让焦距相等而色散相消：
复消色差（apochromat）：三个波长共焦，需要特殊色散玻璃（ED、萤石）——这正是高端镜头昂贵的主要原因之一。
反射镜完全没有色差 → 大型天文望远镜与部分光刻系统采用反射式（🔗 微电子站：EUV 因所有材料吸收，只能全反射式）。
四、光学设计：一个优化问题
现代光学设计的本质是数值优化：
- 变量：曲率半径、厚度、间隔、玻璃牌号（离散！）、非球面系数；
- 目标（评价函数）：各视场、各波长、各孔径的光线偏差加权平方和，或直接优化 MTF；
- 约束：焦距、后工作距、外形尺寸、可加工性、成本、公差敏感度；
- 方法：阻尼最小二乘（DLS）为主 + 全局搜索。
这是一个典型的非凸优化问题（🔗 grad-math），存在大量局部极小。所以光学设计师的核心技能不是"会点软件"，而是：
- 选对初始结构（从经典结构出发：双高斯、库克三片、Petzval…）；
- 理解各像差之间的平衡关系（消一个往往激起另一个）；
- 判断何时该加一片透镜、改玻璃、还是引入非球面。
这与 🔗 微电子站的模拟电路设计极其相似——都是"低维但高度耦合的非凸设计空间，依赖经验与拓扑选择，难以完全自动化"。两个行业的资深设计师都同样稀缺。
五、公差与装调：设计之外的一半
这是学校讲得最少、工业上最要命的部分。
一个在软件中完美的设计，若对元件偏心、倾斜、间隔误差、面形误差、折射率批次波动过于敏感，就无法量产。
公差分析（蒙特卡洛为主）给出：在给定加工与装配公差下，成品性能的分布（承 🔗 机械站第十五、十六页的统计思想）。
关键判断：设计时就要为公差留裕度。有经验的设计师会主动牺牲一点标称性能，换取对公差的不敏感——因为"标称最优但装不出来"的设计毫无价值。这与机械站"能松则松"、微电子站"可制造性先于优雅"是完全同一种工程成熟度。
装调：干涉仪检测面形、自准直仪对轴、主动补偿。高端光学系统（光刻物镜、空间望远镜）的装调本身就是一门极高门槛的技艺，且往往是良率与成本的决定环节。
六、非球面与自由曲面
- 非球面：一个非球面可替代多片球面，显著减小体积重量。手机镜头全部是塑料非球面（模压成型，成本极低）；玻璃非球面则需精密模压或磨抛，成本高；
- 自由曲面：无旋转对称性，用于 AR/VR 光学、离轴系统、汽车照明。设计与检测难度都大幅上升——"能设计出来但测不出来"是自由曲面的现实瓶颈；
- 衍射光学元件（DOE）：利用衍射而非折射，色散符号与折射相反 → 可与折射元件配合做消色差（"混合光学"），且极轻薄。缺点是有衍射级次杂散光。
七、要点
- 像差是几何必然，不是加工缺陷；三阶展开给出五种单色像差；
- 球差 ∝ 孔径³ 解释了收小光圈的效果，但受衍射极限限制存在最佳光圈；
- 平场需要负透镜（Petzval 条件）——好镜头必须多片有正有负；
- 畸变可由软件完美校正，这是"光学+计算"分工的起点；
- 消色差靠两种色散不同的玻璃；反射系统无色差；
- 光学设计是非凸优化，初始结构与经验决定成败，与模拟电路设计同构；
- 公差不敏感性比标称性能更重要——装不出来的设计等于不存在。
下一页：换一副眼镜看光。把光当作波，立刻得到几何光学永远给不出的东西：干涉、相干性，以及精密测量的基础。