交流 I · 相量、阻抗与频率响应

学习层：为什么电流没有和电压同时到达峰值

1. 具体情境：传感器激励线的幅度看似没变，读数却变了

低压节点给一个传感器桥或测试负载施加正弦激励。示波器上源电压仍然接近设定值，但串联电流的峰值和相位随着频率变化：低频时电容性支路让电流超前，高频时电感性支路让电流滞后，接近抵消点时电流达到相对峰值。若只用 \(V=IR\)，就会把由储能元件承担的相位差错误地解释成“电阻变了”。

以下数值是教学设定：\(R=10\ \Omega\)、串联寄生 \(r_p=2\ \Omega\)、\(L=10\ \mathrm{mH}\)、\(C=10\ \mu\mathrm F\)、\(f=500\ \mathrm{Hz}\)、\(V_s=1.0\ \mathrm{V_{rms}}\)。它故意把观察频率放在模型固有频率约 \(503\ \mathrm{Hz}\) 附近，便于看到相量几乎抵消、但元件端电压可能大于源电压的现象。

2. 揭示前预测：先预测相位和适用条件

在打开实验前回答：

1. 对串联 RLC，从远低于固有频率扫到远高于固有频率，电流相位大致是“先超前后滞后”还是“先滞后后超前”？
2. 当感抗 \(X_L\) 和容抗 \(X_C\) 大小相等时，总阻抗的幅值相对两侧频率会变大、变小还是达到局部最小？
3. 相量法直接描述的是启动瞬间的暂态，还是正弦稳态？

提交后再调整频率和元件。实验的 Bode 图绘的是全串联电阻 \(R_{\mathrm{tot}}\) 端口电压/源电压的教学传递量，和右侧相量图中的端口电压向量是同一个复数模型的不同投影。

3. 公式桥：把微分器件换成复阻抗

采用余弦参考 \(v(t)=\sqrt2 V\cos(\omega t+\phi)\)，用相量 \(\underline V=V\angle\phi\) 表示 rms 幅值和相位。对线性、时不变的理想元件，

其中 \(j^2=-1\)，\(\omega=2\pi f\)，\(f\) 的单位是 Hz，\(\omega\) 的单位是 rad/s。串联电路可以直接相加：

单位检查：\(\omega L=(\mathrm{rad/s})\cdot\mathrm H=\Omega\)，\(1/(\omega C)=\Omega\)，因此 \(X\) 与 \(R\) 可以相加；\(V/Z=\mathrm V/\Omega=\mathrm A\)。默认教学值在 \(500\ \mathrm{Hz}\) 时 \(X_L\approx31.4\ \Omega\)、\(X_C\approx31.8\ \Omega\)，净电抗只有约 \(-0.4\ \Omega\)，总阻抗约 \(12.0\ \Omega\)，电流约 \(83\ \mathrm{mA_{rms}}\)，相位约 \(+2^\circ\)（电流相对源电压超前）。这些是模型算例，不是测量读数。

相量图要保持同一个参考方向。本实验以源电压为参考，\(\underline V_s=V_s\angle0^\circ\)；电流相位为 \(-\angle Z\)，所以 \(\underline V_R=R_{\mathrm{tot}}\underline I\)、\(\underline V_L\) 超前电流 \(90^\circ\)、\(\underline V_C\) 落后电流 \(90^\circ\)。在共振附近，\(\underline V_L\) 与 \(\underline V_C\) 可以分别大于源电压，但矢量和仍然等于 \(\underline V_s\)。

对电阻端口的传递函数，

这里的观察端口包含显式电阻和串联寄生，即全串联 \(R_{\mathrm{tot}}\) 两端；在 \(f=f_0\) 时 \(X=0\)，故 \(|H_R|=1\)。幅值用 \(20\log_{10}|H_R|\) 表示 dB，相位为 \(-\angle Z\)。Bode 图的横轴通常是对数频率；在一段足够宽、且元件模型仍然可信的频率范围内，斜率和相位共同揭示极点/零点，而不是一条“美化后的波形”。互动图按曲线实际 dB 范围留出边界，因此合法的高 \(Q\) 尖峰不会被固定坐标裁掉。

4. 互动实验：相量链、复阻抗和 Bode 投影

5. 真实修正：复数不是自动变真的仪器模型

• 寄生阻抗是频率相关的：线圈 DCR 和磁芯损耗、引脚电感、电容 ESR/ESL、源输出阻抗和探头输入阻抗会让 \(Z\) 变成 \(Z(f, V, T)\)，而不是三个理想常数的简单和。
• 参考地会带来相位错误：两通道探头的地夹线、触发抖动、仪器带宽限制和通道延迟会让小角度相位差不可信。接近 \(0^\circ\) 的结论更需要校准和重复测量。
• Bode 斜率只在模型区间内有意义：跨过器件自谐振或放大器稳定带宽后，低频集总模型的极点不再是全部物理。
• 非线性会破坏单一相量：磁芯饱和、二极管导通、压敏电阻动作或时变开关会产生谐波；此时一个基波相量只能描述一个投影，不能描述完整波形。

实验结果与测量证据应分开标记：曲线由 compute 函数生成的是模型结果；扫频仪或示波器的幅相数据才是测量证据；额定值和 EMC 限值属于器件/标准要求，不能用 Bode 图替代。

6. 测量方案：先校准相位，再相信相量图

在低压限流条件下，函数发生器输出小幅正弦。示波器 CH1 测源电压，CH2 测电阻端电压或已知分流电阻两端电压。用两通道的时间差 \(\Delta t\) 估计 \(\phi=360^\circ f\Delta t\)，但先用同轴直连或同点校准通道延迟；再逐点改变 \(f\)，记录 rms 幅值、相位、探头设置和重复散布。不要把游标分辨率当作不确定度，也不要在未知地参考下夹接地线。

把测得的 \(V_R/V_s\) 和相位与 \(H_R(j\omega)\) 对齐时，先判断频率轴、rms/峰值和参考相位是否一致，再拟合 \(R_{\mathrm{tot}}\)、有效 \(L\)、有效 \(C\)。测量计划应该能回答“差异来自参数、寄生还是仪器”，而不是只追求一条贴合曲线。

7. 模型失效、适用边界与项目迁移

相量法要求在观测窗口内系统近似线性、时不变，并且输入是单频正弦稳态；对非正弦但可线性分解的输入，可以逐个频率分量分析，再叠加结果。它不直接包含启动暂态、强非线性、频率随时间变化的 chirp、饱和、限幅和数字采样保持的瞬态。若边界条件变化比一个周期还快，先回到时域模型。

迁移到贯穿项目时，保存一张端口定义图：电压参考、正方向、观测端口和回流路径必须明确；保存一张带单位的阻抗/频响表；再保存一份相位校准与测量不确定度记录。迁移问题：若电流相位从 \(+30^\circ\) 变为 \(-30^\circ\)，净电抗经历了什么符号变化？若 Bode 幅度看似吻合但相位整体偏移 \(8^\circ\)，你会先检查通道延迟、模型寄生还是参考方向？