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03 · 用守恒找错：KCL、KVL、节点分析与残差
传感器节点的电压表读到 3.094 V，源支路电流约 19.06 mA，负载支路却只有 14.06 mA。有人说“电流表不准”，有人说“地不对”。在猜原因前，先让每个节点和每个回路接受守恒审计。
学习层：节点方程是工程账本，不是记号游戏
1. 具体故障情境：三个读数为什么不闭合
在低功耗环境节点中，电源通过源电阻到达一个节点；节点一支路给负载，另一支路代表传感器偏置或保护网络吸走一股电流。按本页默认设定，源支路约 \(19.06\ \mathrm{mA}\)、负载支路约 \(14.06\ \mathrm{mA}\)，两者相差约 \(5\ \mathrm{mA}\)，正好是电流汇支路；另一个独立的反例才是电流表多报 \(1\ \mathrm{mA}\)。这个差值可能来自表计偏差、漏掉的支路、参考方向相反，也可能来自一个模型没有表示的动态电流。
KCL、KVL 和节点分析给出三种互相校验的视角。KCL 在节点上核对电荷流入和流出，KVL 沿闭合回路核对电势变化，节点分析则选择一个参考节点，把未知量压缩成节点电压。只要参考方向和单位写清楚，残差就能告诉我们“哪里还没有被解释”。
2. 揭示前预测：改变负载、参考和测量会发生什么
揭示结果前先判断：
- 源电阻和电流汇不变，把负载电阻增大，负载电流是降低、升高还是不变？
- 只改变电压坐标的参考节点偏移，元件两端电压差和 KCL 残差会不会跟着改变？
- 如果电流表把负载电流多报 \(1\ \mathrm{mA}\)，测得的 KCL 残差仍会严格为零吗？
第三问故意把模型结论和测量证据分开：理想方程可以闭合，带偏差的读数不一定闭合。不要为了让账本好看而把残差直接四舍五入成零。
3. 公式桥：从节点电压到两个残差
把地选为参考节点，令节点电压为 \(V_n\)。对本实验的源电阻 \(R_s\)、负载 \(R_L\) 和向下吸收的电流 \(I_{\mathrm{sink}}\)，KCL 写成
整理得
电阻的单位桥是 \(\mathrm{V}/\Omega=\mathrm{A}\)，所以方程两侧都是电流。定义
则 KCL 理想残差为
沿源到负载的闭合回路，KVL 可写为
代数上二者都应接近零，但“接近”必须和仪器分辨率、容差与时间窗口一起报告。把参考节点整体抬高 \(\Delta V_{\mathrm{ref}}\) 只会让绝对坐标变为 \(V_n+\Delta V_{\mathrm{ref}}\)；两端电压差和守恒式不变。
本实验还把电流汇视为单电源器件：教学顺从区写成 \(0\le V_n\le V_s\)。若节点方程算出 \(V_n<0\) 或 \(V_n>V_s\)，代数上的 KCL 仍可能闭合，但恒流汇已经超出这个物理顺从区；此时 complianceValid=false，负节点或超出供电范围的数值只能标为模型外推，不能当作真实输出。
4. 互动实验：静态 fallback 表与节点图
无 JavaScript 时的静态 fallback：这是教学设定：\(V_s=5.0\ \mathrm{V}\)、\(R_s=100\ \Omega\)、\(R_L=220\ \Omega\)、电流汇 \(I_{\mathrm{sink}}=5.00\ \mathrm{mA}\)、参考偏移 \(0.80\ \mathrm{V}\)、表计偏差为 \(0\)。解得 \(V_n=3.09375\ \mathrm{V}\)，处于单电源顺从区 \(0\le V_n\le V_s\)。
| 账本项 | 默认读数 | 单位 / 解释 |
|---|---|---|
| 节点电压 \(V_n\) | 3.09375 | V；相对参考节点 |
| 绝对坐标电压 | 3.89375 | V；加上教学参考偏移 |
| 源支路电流 \(I_s\) | 19.06250 | mA |
| 负载电流 \(I_L\) | 14.06250 | mA |
| KCL 理想残差 | 0 | mA；\(I_s-I_L-I_{\mathrm{sink}}\) |
| KVL 理想残差 | 0 | V；源回路闭合 |
| KCL 测量残差 | 0 | mA；默认表计偏差为零 |
| 负载功率 | 43.5059 | mW；\(V_nI_L\) |
| 单电源电流汇顺从区 | 有效 | \(0\le V_n\le V_s\)；不在区间时结果为模型外推 |
图中红色节点、箭头和地符号是语义标记，表格中的残差同时给出数值；颜色不是判断守恒的唯一依据。
5. 模型边界：节点方程何时会骗你
上述推导把负载看成线性电阻，把电流汇看成已知常数，并假定测量发生在准稳态。真实传感器可能是非线性端口，输入电流随电压和温度变化；电容、ESD 结构和 MCU 唤醒会让 \(I(t)\) 随时间变化。此时 KCL 仍然成立，但支路关系不能继续写成一个固定的 \(V/R\)。
理想“地”也有边界。实验中的参考节点是电压坐标原点，不自动等同于保护地、机壳地或大地。回流路径存在阻抗时，不同位置的“地”可能有电压差；远端节点的 KCL 残差还可能包含互连的寄生和测量带宽效应。
6. 真实修正：把残差变成证据链
真实修正应先保留原始读数，再注明符号约定、测量时间窗、仪器不确定度和未建模支路。可以分别改变 \(R_L\)、电流汇和参考偏移：若只有参考偏移改变而差分电压不变，说明问题可能是坐标误读；若负载改变带来可重复的残差，说明应补充支路模型；若残差随带宽、探头或触发改变，先查测量链。
节点分析适合形成“可复算的中间产物”：每个节点的参考、每条支路的方向、计算电流、实测电流、残差及其解释。工程结论应标注模型结论、实验结论或器件/标准约束，三者不能混在一列。
7. 测量纪律与常见误判
测量电流前先确认回路仍由低压限流源供电，且不会因为接入表计而改变节点；所有改线先断电。测电压时记录两个探头端点和参考节点，不把探头地夹在未知回流点；测动态电流时记录带宽、采样率和触发位置。用残差分析时保留足够有效数字，随后再用不确定度判断它是否有意义。
常见误判包括：
- 把电流方向的负号当成电流“消失”，没有统一参考方向；
- 把电压坐标原点和真实安全地、机壳地混为一谈；
- 把同一个支路在 KCL 中计算两次，或漏掉偏置/保护支路；
- 用四舍五入后的电流判断残差，而不是用原始读数；
- 看到理想残差为零，就声称真实硬件一定没有漏电、寄生或时变电流。
贯穿项目产物
本讲给项目留下“节点与残差表”：参考节点定义、节点方程、支路方向、KCL/KVL 残差、表计偏差假设和测量点。它将成为后续 Thevenin 等效、工作点和瞬态测量的共同坐标系。
资料与边界
- MIT OpenCourseWare 6.002: Circuits and Electronics：KCL、KVL、节点和网络分析入口。
- OpenStax College Physics 2e：基本电路、电流、电压和功率的教材入口。
- MIT OpenCourseWare 6.071J: Introduction to Electronics, Signals, and Measurement：把测量和不确定度纳入判断的实验入口。
本页的电阻、电流汇、参考偏移和表计偏差都是教学设定。KCL/KVL 是模型和测量的审计工具，不是市电施工或带电市电排故步骤；真实系统仍须保持低压、限流、可断电。
小结
KCL 记账流量，KVL 记账电势，节点分析把未知量组织成可复算的方程；残差则把“没有解释的部分”留在纸面上。参考节点是坐标约定，不是自动的安全证明。下一讲把多源线性网络压缩到端口，观察负载为何会让理想源电压下垂。