本页目录

进阶 IV · 系统辨识与自适应

层次：研究生核心 + 业界实用｜🔗 与 AI 站的监督学习共享大量数学。 系统辨识不是“把曲线拟合得越像越好”，而是在一个可说明的激励、噪声、模型结构和验证协议下，得到足够支持控制设计的模型。自适应控制再把这个模型或控制器放进运行回路，但参数收敛、闭环跟踪和安全有界性是不同的证明目标。

学习层：给温控过程做一次可复核的 ARX 辨识

1. 具体工程情境：一条短实验数据，真的能分出对象增益和记忆吗？

把一台小型温控箱在一个工作点附近简化为一阶离散对象：

\[ y_{k+1}=a y_k+b u_k+e_{k+1},\qquad \phi_k=\begin{bmatrix}y_k\\u_k\end{bmatrix},\quad \theta=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}. \]

工程师可以选择激励：丰富交替输入能覆盖更多动态方向，单次阶跃的频谱和回归向量更受限，无激励则只是在记录自然衰减。实验用固定公式生成 \(e_k\)，而不是每次拖动都抽一批随机数；这样能把“参数改变”与“数据换了”分开。

预测门，必须先作答：

  1. 对两个 ARX 参数，丰富的动态激励与全程零输入，哪一个更可能让 \(\Phi^\mathsf T\Phi\) 可逆且条件较好？
  2. 用训练段拟合后，验证残差主要检验什么？
  3. 在激励固定时增大输出噪声，残差和参数不确定性会变小、变大，还是完全不变？

2. 正式模型：最小二乘、条件数与训练/验证要各自记账

把训练样本排成

\[ y_{k+1}=\phi_k^\mathsf T\theta+e_{k+1},\qquad \hat\theta=(\Phi^\mathsf T\Phi)^{-1}\Phi^\mathsf Ty, \]

其中 \(\Phi\) 的每一行是 \([y_k,u_k]\)。只有当训练 Gram 矩阵 \(G=\Phi^\mathsf T\Phi\) 非奇异且条件可接受时，这个闭式解才有可辨识意义；近奇异时，参数小扰动就可能引起很大的估计变化。

本页把数据按时间切成训练段和验证段。训练段用于计算 \(\hat a,\hat b\)；验证段只计算一步预测

\[ \hat y_{k+1|k}=\hat a y_k+\hat b u_k,\qquad e_k^{val}=y_{k+1}-\hat y_{k+1|k}. \]

训练 RMSE、验证 RMSE、输入—残差相关、残差 lag-1 相关和 \(\operatorname{cond}_2(G)\) 互相补充：没有一个单独的数字能替代完整验证。

3. 动手实验：看激励、噪声和外推残差怎样分开

先提交三项预测，再选择“丰富交替激励”“单次阶跃激励”或“无激励边界”，调激励幅值、确定性噪声幅值和样本数。上图画实测输出与训练得到的一步预测，下图分色画训练/验证残差；ledger 逐行保留 \(u_{k-1},y_{k-1},y_k,\hat y_k,e_k\) 和 split。证书区列出 \(G\) 的三个元素、行列式与条件数；无激励时显示不可辨识，而不是把奇异矩阵硬算成一个参数。

JavaScript 失效时的静态 fallback：默认对象为

\[ y_{k+1}=0.82y_k+0.28u_k+e_{k+1}, \]

取 80 个样本、前约 65% 为训练段、丰富交替激励幅值 1、确定性噪声幅值 0.04。最小二乘账本的关键读数为：

项目 读数
\(\hat a\) \(0.8270\)
\(\hat b\) \(0.2803\)
\(G_{11}\) \(3.582\)
\(G_{12}\) \(-0.655\)
\(G_{22}\) \(18.167\)
\(\det G\) \(64.648\)
\(\operatorname{cond}_2(G)\) \(5.122\)

残差账为：训练 RMSE \(0.0205\)、验证 RMSE \(0.0176\)；训练段输入—残差相关约 \(0.000\)，验证段约 \(0.125\)。固定的确定性噪声并非白噪声，故训练/验证 residual 的 lag-1 相关仍约为 \(0.933/0.902\)；这正是“残差看起来小”不等于“创新已经白”的提醒。若选择无激励且噪声为 0，\(G\) 奇异，\(a,b\) 不可由这批数据唯一确定。

4. 误区与模型边界

  • PE 不是万能安全证书：持续激励/足够丰富的回归向量主要服务于参数可辨识和参数收敛；闭环跟踪、有界性和安全还需要稳定化控制器、参考/扰动假设、约束处理以及相应 Lyapunov 或鲁棒分析。为了识别而注入的激励甚至可能暂时损害跟踪。
  • 残差白性与输入不相关是有条件的诊断：在正确阶次、噪声是白创新且开环输入外生等条件下，它们可提示漏掉的动态；闭环反馈会让输入与噪声相关，直接套开环最小二乘或把“不相关”当定理会产生偏差，需闭环辨识、工具变量或专门噪声模型。
  • 训练拟合好不代表控制外推好：验证段应覆盖未来工作范围；一步预测好也不自动意味着多步预测、约束预测或闭环稳定好。
  • 条件数是数值警报，不是完整统计结论：量纲、正则化、样本相关性和噪声分布都会影响参数方差；必要时应做尺度归一化、置信区间和重复实验。
  • 确定性 fallback 不是随机统计证明：本实验固定噪声是为了可复现，不能据此估计现实噪声的完整概率分布。

迁移问题：如果温控箱必须在闭环运行中辨识，而且温度不能离开安全带，你会如何安排小幅多正弦/伪随机激励、验证窗口和备用控制器？请分别写出参数收敛证据、跟踪/有界性证据和残差诊断的前提。

一、辨识流程与实验设计

一个可审计的流程是

\[ \text{实验设计}\to\text{采集与时间对齐}\to\text{模型结构}\to\text{参数估计}\to\text{训练/验证}\to\text{控制验证}. \]

实验设计决定了数据里有没有想辨识的方向。阶跃、PRBS、多正弦和扫频各有频带、幅值与安全代价；“持续激励”不是一句固定的频率数量口诀，而是关于输入/回归矩阵在指定阶次和窗口内的秩、最小特征值或 Gram 条件的条件。输入幅值太小会被噪声淹没，太大又可能激发非线性、饱和或不允许的工况。

辨识目的也要先说清：预测、控制设计、故障诊断和数字孪生需要的频段与验证方式不一样。为控制而辨识通常优先保证穿越频率、延迟、增益和约束附近的模型可信，而不是追求全频段的最高拟合分数。

二、ARX 与最小二乘

ARX 可写成

\[ A(q)y_k=B(q)u_k+e_k, \]

其中延迟算子 \(q^{-1}\) 把过去的输入输出组成回归向量。它的优点是线性参数化、最小二乘可解、易于在线递推；缺点是噪声进入输出回归时，过去的 \(y\) 也带噪，可能造成偏差，且固定阶次、延迟和噪声结构会限制表达能力。

ARMAX 在 ARX 上增加噪声模型，OE 把误差放在输出端；PEM 通过预测误差最小化选择参数。更复杂的结构不自动更可靠：阶次越高越容易改善训练拟合，也越需要独立验证、正则化和物理约束。

三、验证：残差不是一句“白噪声”

残差分析至少包含：训练与验证误差、残差均值和方差、残差自相关、残差与输入/参考的相关，以及多步预测或闭环仿真。若模型阶次正确、噪声是白创新、数据采集满足外生性，残差接近白且与输入不相关是有力诊断；若条件不满足，这些统计形状只能作为线索。

尤其在闭环辨识中，控制器把输出噪声反馈到输入，\(u\) 与扰动不再独立。此时一个看似合理的一步 ARX 拟合可能把控制器和对象的相关性混在参数里。可以使用工具变量、预测误差法的闭环版本、已知参考/扰动结构或专门的闭环实验，并把开环/闭环协议写在报告里。

四、PE、跟踪与有界性不是同一个目标

在适当的线性模型、噪声和算法假设下，持续激励能让参数误差持续受到信息约束，支持参数收敛或渐近辨识。它不单独证明：

闭环控制还要处理探索—利用冲突：稳态调节会减少激励，主动激励又会制造跟踪误差。常见补救是安全激励、投影/死区/遗忘因子、鲁棒备用控制器、离线批量辨识或只在换批次时自整定。每一种方法都要说明参数收敛与闭环安全分别由什么条件支持。

五、自适应控制路线

间接自适应（如自校正调节器）先在线估计对象，再按估计结果更新控制器；直接自适应（如 MRAC）直接调整控制器参数，使闭环接近参考模型。两者都不能把“估计误差变小”自动等同于“闭环稳定”。未建模高频动态、延迟、噪声、饱和和激励切换可能破坏理论前提。

工业上常见的折中是增益调度、自整定、参数监视而不自动切换，或在安全包络内做有限的在线更新。投运系统还需记录每次参数变化、回退条件和人工接管路径。

六、与机器学习的关系

系统辨识与监督学习都使用回归、损失函数、正则化和验证，但辨识面对时序相关、主动实验、闭环相关性和稳定约束；预测误差的下降并不自动给出可部署的控制器。子空间方法从 Hankel 矩阵和奇异值构造状态空间模型，适合 MIMO；深度模型可表达复杂非线性，却更需要安全包络、可解释诊断和闭环验证。

七、要点

下一页：把前面所有工具用到一个具体而完整的对象上——机器人。运动学、动力学、轨迹规划与状态估计，是控制理论最集中的应用场。